第四章 数列 A卷基础巩固卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

第一部分 章末过关检测卷 第四章数列 A卷基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.在等差数列{a.}中，首项a1=0,公差d≠0.若ae=a1十a2十a3十…十a,则k= A.22 B.23 C.24 D.25 2.已知S.是等差数列{an}的前n项和，a2十a,十a6=12,则S,= A.20 B.28 C.36 D.4 3.记等差数列{a.}的前n项和为Sm.若2a=5,a4十a1g=9,则S1。= A.34 B.35 C.68 D.70 单 4.若数列{a,}是公差为1的等差数列，则数列{a2,-1十2a2n}是 北 A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列 5.设正项等比数列{a,的前n项和为S.,且21<1.若a,十a,=20,aa,=64,则S,=( A.63或126 B.252 C.120 D.63 6.设数列{an}的前n项和为S。,若对于n∈N'都有Sn+1,S,S+2成等差数列，且a2=4,则a。= ( 数 A.-512 B.512 C.1024 D.-1024 7.已知数列{a.}为等比数列，a,=4,as十a=10,则a1十a1 A.32 B.17 C.10 D.8 8.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日 尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两 侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天 剂 黄 多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？ 两鼠相逢需要的天数最小为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在公比g为整数的等比数列{an}中.Sn是数列{an}的前n项和，若a1十a,=18,a2十aa=12,则 下列说法正确的是 () A.g=2 B.数列{S。十2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{Igan}是公差为2的等差数列 10.设数列{a.}为等差数列，其前n项和为S,已知a,和as是方程x2一20.x十99=0的两个根. 若对任意n∈N'都有S,≤S。成立，则k的值不可能为 A.8 B.9 C.10 D.11 11.设等差数列{a.}的前n项和为S。,n∈N”.若S12>0,S13<0,则数列{aI)的最小项不可能是 () A.第6项 B.第7项 C.第12项 D.第13项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.在正项数列{a.}中，a1=1,前n项和S.满足S。·√S。-1一S。-1·√Sw=2√S,·Sw-(n≥2)，则 d10 13.设等比数列{a.}的前n项和为S.,若a2a1=2a,且S,十S12=入S8,则入= 14.在等差数列{a.}中，a1>0,a1o·am<0.若此数列前10项和S1n=36,前18项和S18=12,则数 列{|an|}的前18项和T1s= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.13分)已知数列{a,的前n项和S.满足S,=a,+1),且a,>0. (1)求a1a2； (2)求{a.}的通项公式 (3)令b,=20一a,求数列{b.}的前n项和T.的最大值. 16.(15分)数列{a.}的前n项和记为S.a1=t,点(Sn,am+1)在直线y=3.x十1上，n∈N”. (1)当实数t为何值时，数列{a.}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设b.=log a+1cn=a,十bn,T。是数列{cn}的前n项和，求T· 17.(15分)设数列(a.}的前n项和为S,且a1=3,S.=aw+1十2n一3(n∈N). (1)求{a,}的通项公式： (2)设b,=2"+(一1)"入am,若对所有的n∈N”,都有bn+1>bn,求实数入的取值范围. 3 18.(17分)设{am)是公比大于1的等比数列，S,为数列{a.}的前n项和.已知Sg=7,且a1十3， 3a2,a3十4构成等差数列. (1)求数列{a,}的通项公式： (2)令b,=”,求数列{b,}的前n项和T. 19.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1一5am-85,n∈N°. (1)证明：{a.一1}是等比数列； (2)求数列S,)的通项公式，并求出n为何值时，S取得最小值，并说明理由.(og品≈13.9）参芳答案 第一部分 章末过关检测卷 首项，号为公比的等比数到，故A,=1X2》 1-2 第四章数列 2"-1.B= A卷基础巩固卷 x-(合】-（传》◆A+ 1一2 1.A由已加得a,+使-1Dd=7a,+7d,且长-1 B,≥5，即2-1+2-（侵）≥5，解得m≥3，故 =21,所以k=22. 选B. 2.B(an}是等差数列，∴.a:十a,十a6=3a,=12.解 9.ABC,'a1十a,=18,ae十a=12且公比g为整数， 得a,=45,=7a十a)_7X20=28,故选B. 2 2 fa1=16, 3.B由2a,=5得a-多.又a,十a:=9.故2a,=9 taa8:a2x01含. ag+ag=12,g=2q=2 得a,=号，期S=10a支8-5a,+a) 故A正确： 2 5=20二g2-21-2,5=510.故C正痛， 1-2 5(a1十a。）=35,故选B. S。十2=2，故数列Sn十+2是等比致列，故B正确： 4.C因为数列{a.}是公差为1的等差数列，所以 aw-1+2a2w-(aw-3+2a2w-2)=(a。-1-aw-3)+2 而lga.=lg2"=nlg2,故数列(lga.}是公差为lg2 (aw-aw-)=2+2×2=6(n>1,n∈N°).所以 的等差数列，故D错误，故选ABC 10.ACD,a4和a是方程x2-20x十99=0的两 {a2u1十2an}是公差为6的等差数列.故选C. 个根， 5.C设正项等比数列{a.}的公比为q,则0<g= .a1+a3=20,a,a;=99. a+1∠1. 设等差数列{an}的公差为d,:对任意nEN°都 a。 a1十a,=20,aza6=64=aa,解得a=16, 有S≤S。成立，即S是前n项和S。的最大值， ..d0. 4=4. ,∴.a1=11,a4=9,d=-2, 0=又0<1,解得g=2，=a×}=16. a.=a,+(n-4)×(-2)=19-2n. 当n≤9时，an>0,当n>9时，a。<0, 解得a1=64.∴S,= 64×1-(合门 1- =120.故 若对任意n∈N”都有S≤S,成立，则k=9.故 选ACD. 1l.ACD由题意Se>0,S1a<0及Se=6(a1十a2) 选C 6.A由题意得2Sn=S+1十St2,则S,-S+:=S.+1 =6a,+a,.S。=号a,十an)=13a得a+a 一S.,即-a+1-am+:=aw+1→a.+:=一2a.+1,可知 >0,a<0,所以a>0,a。>a|,且公差d<0,所 数列{a.}为公比为一2的等比数列.所以a=4× 以a,|最小.故选ACD. (-2)7=-2°=-512，故选A. 12.解析：由a>0得S>0.S,·√S,1-S.-1·√S 7.B设数列{a.}公比为g(q≠0)，因为a:=4,a十ag =2√S。·S,(n≥2).两边同时徐以S。·S。1, =10,所以十4女=10，解得分=2浅0=是当 得/S.-S.1=2.而S,=a1=1,∴S.=1+2(n -1)=2n-1,.S.=4n-4n+1根据4.=S。 g=2或2时，均有a十a1=g十4g=4× S。-1(≥2).得a.=8n-8(n≥2)，∴.am=8×10 (仔+4)=17，故选B -8=72. 答案：72 8.B设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列 13.解析：设数列{a.}的公比为q(g≠0). {a.},{b},它们的前n项和分别为A.,B。,则{a。 aat=2a,∴.a=2a,∴.g=2,.g≠1. 是以1为首项，2为公比的等比数列，{b,}是以1为 S+S=AS -37 a0-9）+1-y)_a1-g (2)由题意及a,=2"-1十2，得b.-2"+(-1)3 1-g 1-g 1-g (2"-1+2), 1-g+1-g”=A(1-g).将g=2代入可得 b.+=2"+1+(-1)1a(2"+2). 两式相减，并由b>b,得 b.+4-6.=2”+(-1)1(3×2-1+4)>0. 答案：号 当n为偶数时，2>A(3×21十4). 14.解析：设数列{a.}的公差为d.由a1>0,aw·an 所以A<3×21十军 2 <0知0，且a1o>0,am<0,.Ts=a1十a2十 2 …十ae-a1-a2-…-a1m=2So-Sw=60. 易知 3×2"1+4 单调递增， 答案：60 所以x+号： 22 15,解：1S,=a,+12=aa,=1. 当n为奇数时，2>-1(3×21十4)， S=a+1=a,ta…4,=3a,=-1舍去. 2" 所以λ> 3x2+4:易知{ 2" 3×21+4单调 (2)当m≥2时0，=S-S1=}[(a,+102 递减，所以入> 3x2+4- 2 a+10]=a-a2)+2a.-a. 锋上，实数入的取值范国是（一号，号》 由此得(an十an-1)(a。一a.-1一2)=0. 18.解：(1)设等比数列{an}的公比为q,且9>1. an十a。-1≠0，…a-a-1=2. S,=7,且a,十3,3aa,十4构成等差数列， 又a2一a1=2,∴.{a,}是首项为1，公差为2的等差 a1(1+q+q)=7, 数列， 16a19=a1+3+a1y2+4, ∴.a.=1+(n-1)×2=2n-1. 1a,=4, (3)6.=20-a.=21-2,∴.b—b.-1=-2,b=19. 解得a或1（会去） {b}是以19为首项，一2为公差的等差数列. g=24=2· T.-19n+nm2D×(-2)=-m+20n .a=a1g-l=2-. 2 2可 =-(n-10)+100. 故当n=10时，T,取最大值，最大值为100. 2+2 16.解：(1)点(S.,a+1)在直线y=3.x+1上， 1,1 .a+1=3S,+1,a.=3S.-1+1(n>1,且n∈N), 2"-7 aw+1-a。=3(S.-S.-1)=3a, .au+1=4am,n>1,且n∈N, 21-)-2" 2" a2=3S1+1=3a,+1=31+1, .当t=1时，a=4a1,数列{a,)是首项为1，公比 7=4g 为4的等比数列. 19,解：(1)证明：当n=1时，由S。=n-5a,一85可 (2)由(1)知，an+1=4a..a.+t=4",bn=loga+i 知，a1=-14:当n≥2时，a,=S。-S。-1=5a.十 =1, 5a,-1十1，即6a。=5a.-1十1.因此6a。-6=5a。- cn=an十b,=4-1十n, +1-6=5a4-1D,所以a,-1=吾(a4-D. T.=c1十c十…十cn 又a,一1=一15≠0.所以数列{a.-1)是等比数列. =(4°+1)+(4+2)+…+(4"-+) =(1+4+4+…+4"-1)+(1+2+3+…+) 2)a,-1-15(倍 =-1+n(n+1) 3 2 得a.=1-15(停)厂 17.解：(1)由a1=3及S=a+1十21-3，得a2=4. 从而=5·（倍） 十n-90,n∈N” 当n≥2，(n∈N)时，S。=a+1十2n-3,S。-1=a, +2(n-1)-3,两式相减得a+1=2a。-2,即a。- 解不等式8<…（）》厂<号m>g 一2=2(a.一2)，所以{a.-2}是以1为首项，2为 1≈14.9. 公比的等比数列，则an=2”1+2(n≥2). 与n≥15时，数列{S}单调递增； 显然，n=1时通项公式也成立.所以{a,}的通项 同理可得，当n≤15时，数列{S。}单调递减. 公式为an=2°1十2. 故当n=15时，S,取得最小值. 38