第一次月考滚动检测卷[范围：第一、二章]-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

第二部分月考滚动检测卷 第一次月考滚动检测卷 [范围：第一、二章] (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知点A(0,1,0),B(一1,0，一1)，C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为( A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 2.如图所示，在正方体ABCD-A,BCD,中，AB=2,E,F分别为AD,DC的中 D 点，则B,B与平面B,EF所成角的正弦值为 )A A B.317 17 C. n 单 北 3.已知直线1经过点P(1,2)和点Q(一2，一2)，则直线1的单位方向向量为 A.(-3,-4) B(--) C(±±) D±（停） 4.正方体ABCD一A,BC,D,中，M是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A,B上任 意一点，则直线OP与直线AM所成的角是 A开 B.3 如 数 c D.与P点的位置有关 5.平面直角坐标系中，设A(一0.98,0.56)，B(1.02,2.56),点M在单位圆上，则使得△MAB为 直角三角形的点M的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(4,3),点B是圆(x十1)2十y2=4上的动点，则线段AB 的中点M的轨迹方程是 咖 黄 A(-广+-)-1 B(e-}+-)=4 C.(x-3)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-3)2=2 7.设P是圆(x一3)2+(y十1)2=1上的动点，则点P到直线y=x的距离的最大值为 ( A.22+1 B.√2+1 C./10+1 D.2W2-1 8.过直线1：2x十y十4=0与圆C:x+y+2x一4y十1=0的交点，且面积最小的圆的方程为() A++--8 (+9)'+-- c(++}-9 n.(++(-)- 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知点Mx)在函数y=一2x十8的图象上，当x∈[2,5]时，的取值可能为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知直线l过点P(1,0,一1)，其方向向量平行于向量a=(2,1,1),直线1与点M(1,2,3)在 平面a内，则平面a的法向量可能是 () A.(1,-4,2) B(分-12》 c(-1.-》 D.(0,-1,1) 11.如图所示，为一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论，其中正确的是( A.AN⊥GC B.CF与EN所成的角为60 C.BD∥MN D.二面角E一BC-N的大小为45 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.圆C,:x2+y+2.x+2y=0和圆C2:x2+y2-6.x+2y+6=0的公切线的条数为 13.定义：点M(xy)到直线l:ax十by十c=0(a+6≠0)的有向距离为a,+b+ .已知点 √a+6 A(-2,0),B(2,0),直线m过点P(4,0),若圆x2+(y一6)2=36上存在一点C,使得A,B,C 三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m的斜率的取值范围是 14.如图所示，在直三棱柱ABC-A1BC1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=1,则 异面直线BC,与A,B,所成角的大小为 :平面ABC,与平面CBC1的 夹角的余弦值是 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知圆M过C(1,一1)，D(-1,1)两点，且圆心M在x+y一2=0上. (1)求圆M的方程： (2)设点P是直线3x十4y十8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四 边形PAMB的面积的最小值. 18 16.(15分)已知圆C:x2+y2十2.x一4y十m=0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P 作圆C的切线，切点为M (1)求圆C的圆心坐标及半径： (2)若点P运动到（一2,4）处，求此时切线1的方程； (3)求满足条件PM=2|PO引的点P的轨迹方程， 17.(15分)如图所示的几何体中，BE⊥BC,EA⊥AC,BC=2,AC=2√2， ∠ACB=45°，AD∥BC,BC=2AD. (1)求证：AE⊥平面ABCD: (2)若∠ABE=60°，点F在EC上，且满足EF=2FC,求平面FAD与平E 面ADC的夹角的余弦值. 19 18.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠DAB=60°，∠ADP=90°，平面ADP⊥平面ABCD,F为棱PD的 中点。 (1)在棱AB上是否存在一点E,使得AF∥平面PCE?并说明理由： (2)当二面角D-FC-B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所 成的角. 19.(17分)如图，在三棱柱ABC-ABC,中，四边形AA,C,C是边长为4的正方 形，平面ABC⊥平面AA,CC,AB=3,BC=5. (1)求证：AA,⊥平面ABC: (2)求平面A,CB与平面B,C1B夹角的余弦值： (3)证明：在线段BC1上存在点D(不与B、C重合)，使得AD⊥A1B,并求 肥的值 —20则 ONO ONP-45$$ '.sin ONQ= QQ (4 -)++(- 4. ON .ON<2② 由点N(x。,y)为直线y=-x十3上一动点,得 (S ww)-4,此时直线/的方程是2x+y-4 +y-x十(3-x。)<8 #解得3737 -0 18.解;(1)由题意可知直线/的斜率存在,设直线/的 2 方程为y-k(r-4),即kx-y-4k-0,所以圆心 (3)存在定点S(1,0),使得 AMO-BMO恒成 C.(-3,1)到直线/的距离a--3-1-41 立,如图②所示。 ^十(-1){ 设直线AB:y-kx十m(k 0),直线AB与圆O的交点 -(23)-一1. 为A(r,y),B(x,y),联 {y-k十n,得(1十 #### 立方程 化简得24^}+7-0,解得 -0或 -- +y-4. *)r+2kmx+m-4-0. 图② x十x:-- 2hm 则 #1, 即y-0或7x+24y-28-0. (2)设点P的坐标为(n,”),不妨设直线1,。的 #__ I起} 方程分别为y-n-k(x-n),y-n=- -m), 由AMO- BMO,得 +{=0,$$$ 即 'r-y+n-k'm-o,-1-y+n+m-o. 由M(4,0),得2kxx+(m-4)(x.+x)-8m -0. 因为直线/.被园C. 截得的弦长与直线l。被园C 截得的弦长相等,两圈的半径也相等,所以圆心 C.(一3,1)到直线1.的距离与圆心C.(4,5)到直 化简得m--. 线。的距离相等, 此时直线AB:y-kx-k,恒过定点S(1,0). 即1-3-1+n-k^m - 4-$+n+ 当直线AB的斜率不存在时,由园的对称性知直 线过S(1,0)时也满足 AMO- BMO. +(-1) (一是)#+(-1) 由此存在定点S(1,0),使得 AMO- BMO恒 成立. 化简得(2-m-n) -n-n-3或(m-n+8)$$ 第二部分 月考滚动检测卷 一n十n一5,关于k的方程有无穷多解,则 第一次月考滚动检测卷 n-n-3-0 lm+n-5-0. { 1.C 由题知AB=(-1,-1,-1),AC-(2,0.1). __一 PA=(-r,.-).'PA|AB,PA |AC..'PA 解得 -1十0解得 .AB-PA.AC-0.. 2, 1-2x-z-0. 故满足条件的点P的坐标为 {x-1.:.P(-1,0.2).故选C. (.))(-.3). -2. 2.B 由题意,分别以DA,DC,DD 19.解;(1)由直线/.r-③y-4一0,得原点到直线的 所在的直线为x轴、y轴、轴建立 如图所示的空间直角坐标系,则B 1十3 (2.2.0).E(1.0,0).F(0.1,0).B (2)过N作圆O的切线,切点为Q,如图①所示, (2,2.2),可得FF-(-1,1,0). EB.-(1.2,2).BB.(0.0.2). 设乎面B.EF的法向量为n一(x,y,),则 _n·EF--x+y=o. 解得 ln.EB-x+2y+2-0. 不妨 图① 取y-2,则n-(2,2.-3).设B.B与平面B.EF所 49 n·BB 由直线/的方程为2x+y十4-0,CD1AB可得, 成的角为o,则sin0-lcos(n,BB)|= |n·BB1 ^二 -12×0+2×0+(-3)×213v17 317,故选B. 13. 17×2 2r+y+4=0. +1).联立 3.D 由题意得,直线/的一个方向向量为PQ-(-2 -1.-2-2)=(-3,-4),则1Pl= (-3)*+(-4)*-5. D(-13.). 因此直线/的单位方向向量为士 又圆心C到直线1的距离d一 12×(-1)+2+41 21 -4)-士(3,),故选D. . 4.C 如图所示,分别以DA,DC 所以|Bp{-7--2#-(45#-2. DD.所在直线为工轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系,设正方 所以以AB为直径的圈的方程为(+13){}+ 体的校长为2,则A(2,0,0). M(0.0.1),0(1.1.0).设P(2. (##)}一#_故选B# n12)..AM-(-2.0.1),0P =(1.n-1,2).AM·OP--2X1+0(m-1 # +1X2-0..'AM1OP,即AM1OP.'直线OP 与直线AM所成的角为芸.故选C. 5.B 若 AMB为直角,则M在以AB为直径的圆 上,其方程为(x-0.02)+(y-1.56)-8. 因为圆心距d-0.02+1.56<2②-1. 9.AB 所以两圈内含,没有交点, 所以以AMB为直角的直角三角形不存在,若 意义是过M(x,y). 之ABM为直角,则过点B与直线AB垂直的直线 N(一1,一1)两点的直线的斜 显然与单位圆相离,所以以 ABM为直角的直角 率,因为点M在函数y--2x 三角形不存在. 十8的图象上,且x[2,5],所 若 BAM为直角,则过点A与直线AB垂直的直 以设该线段为AB且A(2,4). 线1:y-0.56=-(x+0.98)→x+y+0.42-0 圆心(0,0)到直线x+y+0.42-0的距离d- B(5,-2),如图. 0.42 1.所以直线1与单位圆相交,故满足题意的 因为二 /2 所以的取值范国为[一-.]#,故选AB. 点有两个,故选B. 6.A 设B(m,n).M(x,v).则根据中点坐标公式得 {1-2-4.由点B在圆(x+1)”+y-4上,将点 10.ABC 由题意可知所研究平面的法向量垂直于向 n-2-3. 量a=(2,1,1)和向量PM,而PM-(1,2,3)-(1. B(2x-4,2y-3)代入圆的方程,得(2x-3)②+(2y 0.-1)-(0,2,4).选项A,(2.1,1)·(1,-4,2) 3) -4,即(x-3){}+(y-3){}=1,故选A. -0.(0,2,4)·(1,一4,2)-0,满足题意,故正确; 选项B.(2,1,1)·(,-1.)-0.(0.2,4)· 7.A 依题意可知,圆(x-3)^{}十(y十1)}-1的圆心 为(3,一1),半径为1,且圆心到直线y=r的距离 (1.1.)-0,满足题意,故正确:选项C.(2. /2 1.1).(-.1.-)-0.(0.2.4)· 大值是2/②+1.故选A. 8.B 由题知,圆C;*++2x-4y+1-0的圆心 (一1.一)-0,满足题意,故正确;选项D. 为C(一1,2),半径r-2.设直线/与圆C的交点为 A、B,如图,过C作CD AB,则经过A、B两点面 (2,1,1)·(0,-1,1)-0.但(0,2,4)·(0,-1,1) 积最小的圆是以AB为直径的圆. 关0,故错误,故选ABC. 50 11.ABD 还原正方体,如图所 CBC的一个法向量为n=(1,0,0),cosn:m 示,设正方体校长为2,以 - E() n.n 3,故平面ABC。与平面 DA.DC,DG所在直线分别 n.n ③×1 为工轴、y轴、:轴建立空间 直角坐标系,则A(2,0,0). 3. N(0.2.2),G(0.0.2).C(0.2.0).所以AN·GC 答案:。 (-2.2,2)·(0.2.-2)-0.所以AN1GC,故A 正确,由于EN/AC,所以CF与EN所成的角为 15.解:(1)设圆心M(a,b),圆M的方程为(x一a)十 FCA,而在 FAC中,AF=FC=CA,即△FAC (y-b)-”(r>0). (1-a)十(-1-b)-. 是等边三角形,故 FCA一60{},所以B正确,由于 根据题意得 (-1-a)十(1-b)-r*,解得 EN/AC,而AC与BD相交,故BD,MN不平 行,C错误.由于EB BC,FB BC,所以 EBF a十6-2-0. 即是二面角E一BC-N的平面角,易得△EBF /=1. b=1,故所求圆M的方程为(x-1)*十(y-1)* 是等腰直角三角形,所以 EBF一45^{*},故D正确 -2. 故选ABD -4. 12.解析:根据题意,园C,x+v+2x+2-0的标 (2)由题易知,四边形PAMB的面积S一Sraw+ 准方程为(x十1)十(y十1)一2.其圆心坐标为 SoAM||Al+1BM·|PB. C.(-1,-1),半径R=②,C:+y-6x十 2y+6-0的标准方程为(x-3)十(y十1)-4. 又|AM|-BM -2.PA- PBl. 其圆心坐标为C.(3,-1).半径,一2.两圆的圆心 距 CC1-3-(-1)-4>2+v2.即两圆外离,则 而PA - PM-AM-PM -4, 公切线有4条,故答案为4. 答案:4 即S-2 PM*-4. 因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值 13.解析:易知直线n的斜率存在,设直线m的方程 即可, 为y-k(x-4),即hx-y-4k-0,设C(x,y),则 即在直线3x十4y+8-0上找一点P,使得|PM A,B,C三点到直线m的有向距离之和为 -2-4 2-4x-y-4 -0.化简得bx 的值最小,因为当|PM|所在直线垂直于直线3x 十4y十8-0时,|PM|取得最小值,所以|PM| 1十高 1十高 /1十6{ -13×1+4×1+81-3. -y-12-0.又点C在圆r+(y-6)-36上. ③+4 所以直线x-y-12k-0与圆x*+(y-6)②-36 $ 所以四边形PAMB的面积的最小值为S= 21PM-4-2V3-4-2v5. 1十^2 答案:[- 16.解:(1)圆C:x+y+2x-4y+m-0化为标准形 式为(x+1)+(-2)-5-n,故圆C的圆心坐 标为(一1,2).由于圆C与y轴相切,所以/5-m 14.解析:直三校柱ABC一A.BC 中,ACB-90*$ '.CC1BC.CC1AC.AC1BC,如图所示,以C 一1,得n-4,所以圆C的半径为1. (2)当过点P(一2,4)的直线斜率不存在时,此时 为坐标原点,分别以CA,CB,CC.所在直线为x 直线/的方程为x一一2.圈C的圆心(一1,2)到直 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), 线x=-2的距离为1,所以直线1:x=-2为圆C B(0.1.0).C(0,0.0),C(0.0.1),B(0.1,1). 的切线. A(1,0.1).BC-(0.-1.D,AB-(-1,1,0). 当过点P(一2,4)的直线斜率存在时,设直线方程 为y-k(x十2)十4,由直线与圆相切得 +2 .cos(BC.AB)- BC1·AB +1 -1. 面直线BC.与AB。所成的角为设平面ABC。 解得二一 n.AB-0. 的法向量为n一(x,y,z),则 即 n.BC.-0. 综上,满足条件的切线/的方程为x一一2或y y十:-0. 51 (3)设P(x,y),则|PM|=|PC|-MCl-( 18.解:(1)在校AB上存在点E,使得AF/平面 +1)+(y-2)-1,Pol=x*+y, PCE,且E为校AB的中点. 由于 PMl-2|POl,所以(x+1)+(y-2)-1 理由如下:如图,取PC的中点Q,连接EQ。FQ -4(r十y). 整理得(-){}+(+){}-17 所以点P的轨迹是以()为心#1#为半 径的圆. 17.解:(1)证明:在△ABC中,BC-2,AC=2② ACB-45*. 由余弦定理可得AB^{}-BC+AC*-2XBCXAC Xcos45*-4.所以AB-2(负值含去). 因为AC^{-AB+BC, 所以AE/FQ且AE-FQ 所以△ABC是直角三角形,ABBC 所以四边形AEQF为平行四边形 又 BE BC. ABOBE=B 所以AF/EQ 所以BC 平面ABE 又EQ二乎面PCE,AFC平面PCE. 因为AEC平面ABE.所以BC|AE. 所以AF/乎面PCE. 因为EAAC,ACOBC-C. (2)连接BD、DE,由题意知/ABD为正三角形 所以AE1平面ABCD. 所以ED AB.即ED1CD,又ADP-90{*,所 (2)由题易得EB一2AB-4.由(1)知,BC1平面 以PD AD,且平面ADP 平面ABCD,平面 ABE,所以平面BEC 平面ABE,如图,以B为 ADPO平面ABCD-AD. 原点,过点B且垂直于平面BEC的直线为;轴, 所以PD |平面ABCD,故以D为坐标原点建立 BE,BC所在直线分别为工,y轴,建立空间直角坐 如图所示的空间直角坐标系, 设FD-a.则由题意知F(0,0,a),C(0,2,0). 标系Bxyz,则C(0.2,0),E(4.0.0).A(1.0.3). D(1.1.③). B(/3.1,0). # 则FC-(0,2.-a),CB-(3,-1,0). 设平面FBC的法向量为m-(x,y,z). m·FC-2y-az=0. 则 CB-3x-y0. 因为EF-2FC.所以F(44,o), 令x-1,则y-3,23 所以n-(1、/2{). 易知AD-(o,1,0),AF-(,4.-3). 易知平面DFC的一个法向量n=(1,0,0),因为 设平面FAD的法向量为n-(r,y,z). 二面角D-FC-B的余弦值为,所以|cos(m, 则 过1.二。##{# mn= 令-3,则x-9,所以n=(9,0.③). ##4# 由(1)知EA1平面ABCD,所以EA-(-3,0.③ 值舍去). 为平面ABCD的一个法向量,设平面FAD与平 因为PD 平面ABCD,所以PB在平面ABCD 面ADC的夹角为a, 内的射影为BD. EA.n 24 2/7 所以 PBD为直线PB与平面ABCD所成的角。 则cosa 123×2/21 lEA.nl 由题意知在Rt△PBD中,tan PBD一 所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值 2#7.# 所以直线PB与平面ABCD所成的角为45^{} 52 19.解:(1)证明:.四边形AACC是正方形...AA 2.C 若点M到点F,F。的距离之和恰好为F,F。 AC.又:平面ABC1平面AA.C.C,平面ABCO 两点之间的距离,则点M的轨迹不是圆,所以前 乎面AA.C.C=AC...AA平面ABC. 者不能推出后者,由圆的定义知,圆上一点到 (2)由AC=4.BC-5,AB=3,得AC+AB 两焦点的距离之和为常数2a,所以后者能推出前 BC...ABAC. 者,故“点M到点F.,E。的距离之和为定值”是“点 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,4). M的轨迹是以F,,F。为焦点的圈”的必要不充 B(0,3,0).B.(0.3,4),C.(4,0,4)..'BC.=(4. 分条件,故选C. -3,4),BA.-(0.-3,4),BB.-(0.0,4) 3.A 由题意,知A、C为园的左、右焦点,且lACl △2 -8.1AB]+BC -10. ## 所以sin A+sinCIBC+ABl10_5. 1AC sinB 4 4.A 依题意得lCAl+CB -108.'点C的轨迹 -1(a>b>0),则a-5,c-4,从而6-9. 设平面AC.B的法向量为n一(r,y,),平面 又A、B、C三点不共线..点C不在工轴上.'点C B.C.B的法向量为n.-(r。,y,). -1(y-0).故选A. n.·BC-4x-3y.+4z.-0. ln·BA--3y+4z.-0. 5.A 不妨设F(c,0),B(0,b).因此直线BF的方程 令y=4,则x-0,z-3..n-(0,4.3). 为王+号-1,即bx+cy-bc=0. n.·BC-4.x。-3y:+4.-0. .l0+0-bel 依题意得,圆心到直线BF的距离d一 n.·BB-4z.-0. # 令x-3,则-4..,n。-(3,4,0). ln.n二 .lcos(n,n)一 |n n -552 1616 故选A. 6.C 如图所示,过点B作BM (3)证明:设点D的竖坐标为t(0 t<4),在平面 1AC于点M,设BD|-:. BCC.B. 中作DEL BC于点E,易得D(4.3(4-).t), 则lAC-3x,从而- .AD-(v,3(4-).:). .AM|-2x,AB -4x,因 此,BM-2/3x. 由(1)知A.B-(0.3.-4). .So-](CD·-1BM·” ####< 第三章 圆锥曲线的方程 A卷 基础巩固卷 7.B 设线段AB的中点为M,如图 1.B 设圆的右焦点为F。,连接MF。,NO,如图 所示,/是抛物线的准线,过A点 所示. 作AA 1/于A. 点,过M点作 MM 1/于M点,交y轴于N 点,过B点作BB|/于B 点, “|AF|-lAA ,BF-BB |. .AA1+|BB|-8. 由圈的定义得MF |+|MF。|一10. 由点M是线段AB的中点知. .MF1-2...1MF1-8. 又O是FF。的中点,N是MF。的中点. .2-4...-2. 因此|M.N -1..|MN-3,故选B 53