第三章 圆锥曲线的方程 B卷能力提升卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

第三章 圆锥曲线的方程 B卷能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1,抛物线y=4x的焦点到双曲线x一号=1的渐近线的距离是 ) A号 B号 C.1 D.3 2.已知椭圆C的两个焦点分别为F,(一3,0)，F2(3,0),点P为椭圆C上一点，且|PF,|十|PF2| =10,那么椭圆C的短轴长是 ( A.6 B.7 C.8 D.9 3.在平面直角坐标系Oxy中，动点P关于x轴对称的点为Q,且OP·OQ=2,则点P的轨迹方 程为 ) A.x2+y2=2 B.x2-y2=2 C.x十y2=2 D.x-y2=2 4设上上，分别是椭图C号+ =1(a>b>0)的左，右焦点，点P在椭圆C上，线段PF的中 北 点在y轴上，若∠PFF2=30°.则椭圆C的离心率为 ( A号 c D吉 5.已知F,F2是椭圆 =1的两个焦点.P为椭圆上一点，且△FPF2是直角三角形，则 △F,PF,的面积为 () 如 A165 取8 c165或8 n85或8 数 6.已知抛物线C:y=8.x的焦点为F,准线为l,P是1上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 FP=3FQ,则|QF1 ( A. R号 C.3 D.2 7.已知椭圆十y2=1(a>1)的上顶点为A,左顶点为B,点P为椭圆上任意一点，△PAB面积 咖 的最大值为2+1，若点M-30.N(3,0),且点Q为椭圆上任意一点，则0十QM的 最小值为 ( A.2 B号 C.3 D.3+2√2 8,设A,B分别是双曲线x-兰=1的左、右顶点，设过P(号，)的直线PA,PB与双曲线分别交 于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点，且SQ=2QT, 则△BST的面积为 A0丽 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是 ( A.设A,B为两个定点，k为非零常数.|PA一|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线 &过定圆0上一定点A作圆的动弦AB,0为坐标原点，若OP-(O+O店.则动点P的轨 迹为椭圆 y C.若曲线C:,乙6十1为双曲线，则<1或>4 D.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y=4x有且仅有一个公共点，这样的直线有2条 10.在平面直角坐标系Oxy中，动点P到两个定点F,(一1,0)和F,(1,0)的距离之积等于8，记点 P的轨迹为曲线E.则 () A.曲线E经过坐标原点 B.曲线E关于x轴对称 C.曲线E关于y轴对称 D.若点(x,y)在曲线E上，则一3≤x≤3 山.已知R,R分别是双曲线后芳=1a>0,6>0)的左，右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支 上一点.若PF=2PF|,且△PF,F2的最小内角为30°，则 A.双曲线的离心率为√3 B.双曲线的渐近线方程为y=士√2x C.∠PAF,=45 D.直线x十2y一2=0与双曲线有两个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.与双曲线号-等-1有共同的渐近线，且过点(3,2)的双曲线方程为 13.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点，F(2,0)为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若 ∠MFO=120°，N(-2,0),则p= ,△MNF的面积为 ,(本题第一空2分， 第二空3分) 14.已知F,F2是椭圆的两个焦点，满足MF,·MF2=0的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知椭圆C的焦点为F,(0,一2)和F,(0,2),长轴长为25，设直线y=x十2交椭圆 C于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)求弦AB的中点坐标及AB. 26 16.(15分)已知抛物线C:y=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3. (1)求抛物线C的方程及其准线方程： (2)过（一1,0）的直线I交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=一4于点E,直线BF交直 线x=一1于点D.是否存在这样的直线1，使得DE∥AF？若存在，求出直线L的方程：若不 存在，请说明理由. 17.(15分)设Mx,)与定点F1,0)的距离和它到直线4：x=3的距离的比是常数号记点M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： (2)过定点F的直线1，交曲线C于A,B两点.以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行 四边形OAPB,若点P刚好在曲线C上，求直线2的方程. —27 1817分)已知半椭圆+后-1(>0>6>0)和半圆：+了=8(y≤0)组成曲线C如图所 示，半椭圆内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的任意一点.当 点P位于点M-号）处时，△AGP的面积最大. (1)求曲线C的方程： (2)连接PC,PD分别交AB于点E,F,求证：|AE2+BF为定值. 19.(17分)设圆x十y2-2.x一15=0的圆心为M,直线1过点N(-1,0)且与x轴不重合，l交圆 M于A,B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C. (1)证明|CM+CN|为定值，并写出点C的轨迹方程： (2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点，点R为曲线E上一点， 若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形，求△RPQ面积的最小值. 28-18.解：设P(xy),则M(-4,y). 因为A(-2,0),所以AM=(-2,y),AP=(x十 0而=0=1+流- 2,y), 因为AM.AP=一4，所以-2x-4+y=-4,即 OE= +是 k2+1 y=2.x. 12-是12 所以曲线E的方程为y=2.x. (2)①若直线1的斜率不存在，则1与曲线E无公 六当十上-2-楼+12=4=8 OD OE 1+k 1+k 共点，因此1的斜率存在： 若1的斜率为0，则1与曲线E只有一个公共点， 因此1的斜率不为0. OE OD 设1：y=k(x+2),k≠0， (3)设直线n的方程为y=m(x一t),m≠土√3， 由红+20释y-是+4=0：所以4=是 1y=2.x 由/12x-46=1, y=m(x-t), -16>0.解得-2<<号且0. 得(12-4m2)x+8mtx-(4mt+1)=0(等). 2 设B1y),C(4),则十y4=yy=4 “>-得方程(·)落有两个不相等的解。 因为B为线段AC的中点，所以y=2y· 设M(x1y),N(xy). 又折十=是所以-品： 4 则五十2编4=一 -8m21 12一4m 因比%是=4：将以=士号特合一号小 当xx2>0,即m>3时，x1,x2均为正数， <且k≠0， >9->9- a 6" 所以直线1的方程为y=士号+2》， 设x<1x2· ②因为点B,D关于x轴对称，所以D(x1·一y1) 则报号-兴兰导 于是点D到直线1的距离为d=kx十y十+2则 1+k 整理得x。=一 +2x是 12-4m=1 周为y=A(+2),所以d=2y 21+,8n 12t 12-4m 1+k 又AC1=/1+k1x4+21, 1<1=@,符合题意， ,x。122a 所以S=2+1+21×2=,+2) 当xx<0,即m<3时，x1一正一负，设x1>0, 1+k %=停+2 则>x,≥@-5. a 61 经兴释要会会理释工成 1 周为为兴=4州十为=后 To-x3 1-Iz 所以5=2%+2-青 1<1=口，符合题意. >g-122a 又周为-号<k<号且≠0，周此S>8, 六春在直线6：=x(关中红。<四）使得 即△ACD面积S的取值范国为(8，十∞). 10,解：D依题意得，方-(2）广=子，即6=4，由新 删成立，比时= 第三章圆锥曲线的方程 近线方程得，√日=厅，周光a=12 B卷能力提升卷 故双曲线的方程为12x2一4y2=1. 1.B抛物线y2=4x的焦点为(1,0).到双曲线x2一 2)设直线OD的外率为，显然<3县日<3， 苦=1的一条新近线，x一y=0的距离为 则直线OD的方程为y=kx, 由2得12 1 X1-号故选B y=kx, √(w3)+(-1) 56 2C设描圈C的标准方程为号+芳-1a>6>0以 联立方程，得 +. 消去y,可得 依题意得，2a=10,.a=5,又c=3, .b=a”一c=16,即b=4, y= a十m 因此椭圆的短轴长是2b一8，故选C 2.x+2am.x十am2-a2=0, 3.B设P(xy),Q(x,-y), 令△=4a°n2-8(am2-a2)=0,得m=2, 则OP·OQ=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2,故 易知m=一√2（正值舍去），所以切线的方程为y 选B. 占-区，易释0，-②)为切线上的点 4.A设，点P的横坐标为x,F,(一，0)， 设此时切线到直线AB的距离为d, 线段PF的中点在y轴上， .一c十x=0,x=c. 即(0，一2)到直线AB的距离为d, ∴.P与F:的横坐标相等，∴PF⊥x轴 则d= W2+1 a(W2+1) ∠PF,F=30°， +(-1)9 √a2+1 PF.I-2IPF,l, 又AB=a+,所以2AB1·d=2+1, PF,+IPF:I=2d.PF:I= 3a, 解得a=2,则M(一√3,0)，N(3,0)分别为椭圆的 2a 左、右焦点， IPF:L_3_3 ∴an∠PFF=F,F,-2e3 所以QM+QN=2a=4,所以0N十dM -一-得故选 (+oM·QM+QN)=1+ 5.B由题意得a=10,b=8, .c2=a2-b=2, +0+8>号 设椭圆的上顶点为B,由c<b得， 当且仅当1QM=2QN|时取等号.故QN+ ∠FPF≤∠FBF<90°， 固此PF⊥F,F,戎PF⊥FF, Q的藏小值为是 当PF⊥FF时，PF,|=在=8 a10 8.A 双曲线x一兰=1的左、右顶点分别为 Sam-FR,PR,=名×2E×后 √/10 A(-1,0),B1.0,又P(侵小直线PA的方程 85同里，当P听1FR时，S所=85故 为r-器-1，PB的方程为=一名十1，联立 选B. 6.A:FP=3FQ,点Q在 器可得得-小少--0解得0 3.x2-y2=3 P,F之间，过Q作QM⊥I,垂 36 足为M,由抛物线的定义知 或y27行将) 736代入x=-1可得 27-417 2 QF=|QM,设抛物线的准 线1与x轴的交点为N,则 华中有M留 |FN1=4,又易知△PQM △PFN,湖别-9脚 3.x2-y2=3 1QM=2 12t 4 3 得=0我y=#y=代入=一盖 QM1=,即QF= 3 +1可释脚N后”》 故选A. 设Q(s,0),由M,N,Q三点共线，可得k=kawv 7.B由题意得直线AB的方程为，y=x+1(a>D。 即有w二八= IM-IN IN-S 当△PAB的面积取得最大值时， 将M,N的坐标代入化简可得 设过点P且与AB平行的切线方程为y=二x十m -12t 121 9-4t-3-4r-s(3-4r) (m≠1)， 解得s=2,即Q=(2,0), 57 设过Q的直线方程为x=my+2, 联立3x-y3得(3m-1Dy+12my+9=0, 4a2=4c+16a-2×2cx4a× 2， (x=my++2 整理得c2-2√5ac十3a=0, 设S(x1y,),T(y),可得y十= 12m 3m-1' 即(c-√3a)°=0，∴.c=5a, 9 yy=3m-4=144m2-36(3m2-1)>0位 .1F,F2|=2c=23a,b=√e-a=√2a. 成立， “双尚线的离心率e=￡=Ba=3,A正确： 双SQ=2QT.∴.y1=-2y2 -2.,144m2 9 双曲线的渐近线方程为y=土么x=士②=士2， (3m-1)3m-1' B正确： 解得m- 根据前面的分析可知，△PFF:为直角三角形，且 ∠PF2F,=90°. 可得S=BQ1·y-为=y-y 若∠PAF2=45°，则|PF2|=|AF,1. -+-4 又知|PF2|=2a, |AF2=a+c=a+√3a=(1+√3)a≠|PF,l, . 935 ∠PAF:≠45°，C不正确： 3m2-1 1 16 直线x+2y-2=0,即y=- 2x+1, 故选A. 9.ABD根据双曲线的定义，必须有k<|AB|,动，点 共率为-宁-号[-巨回. P的轨迹才为双曲线，故A的说法不正确：，OP .直线x十2y一2=0与双曲线有两个公共点， D正确.故选ABD 2(O+O丽P为弦AB的中点，放∠AP0= 90°，则动，点P的轨迹为以线段AO为直径的圆，故 12,解析：设所求的双南线方程为号-苦-1以≠0) B的说法不正确：显然C的说法正确：过点(0,1)作 直线，使它与抛物线y=4x有且仅有一个公共点， 又点3,23在双南线上一号等-元解得=2 这样的直线有3条，分别为直线x=0,y=1、y=x 故双尚线方程为后-苦1 十1，故D的说法不正确.故选ABD. 10.BCD P(x,y).PF,PF:=8, 答案看--1 ∴w(x+1)+y·(x-1)+y=8. 因此，(x2+y2+2.x+1)(x+y2-2x+1)=64.① 13.解析：由抛物线的焦点为F(2,0),得号=2，解得 令x=0,y=0,则①→1=64，不成立，A错误： p=4. 以一y代替y,则①→(x2+y+2.x+1)(x2+y2 设抛物线y=8x的准线为1，则l与x轴的交点 2.x十1)=64，方程不变.因此曲线E关于x轴对 即为N(一2,0)，作MP⊥1于点P,FQ⊥MP于 称，B正确： 以-x代替x,则①→(x+y2-2.x十1)(x2十y”十 点Q. 2x十1)=64，方程不变，因此曲线E关于y轴对 ,∠MF0=120°，.∠MFQ=30°， 称，C正确： 由①得，(x°+y+1)2-4x2=64, ÷MQ=2MF 由抛物线的定义可知，|MF=MP|, 从而x2+y+1=/4x+64>x2+1, .x+2.x2+1≤4.x2+64→x-2.x2-63≤0→(x ÷MQ=IMP-PQ=MF-p=专 +7)(x-9)≤0，又x2+7>0, x2一9≤0，-3≤x≤3，D正确.综上所述， IMF]. 选BCD. 即MF-4=号MF, 11.ABD依题意得，|PF,|-|PF:|=2a. 又知|PF=2PF:, ∴.|MF|=8,.|MQ1=4, .PFI=4a,|PF:|=2a. ∴.|FQ=43, 又|F,F|=2c,且a<c, 在△PFF。中，PF是最小的边， ∴Snm=NFIxIFQI=号×4X45=85. ∴.∠PFF2=30°， 答案：4：83 58 14.解析：不妨设焦点在r轴上·则椭国的方程为+ 令△=(2k-8)2-4k>0,解得-√2<k<2. 所以一2<k<√2且k≠0 岩=1(a>6>0.焦点分别为F(一c,0Fc.0: 由根与系数的关系得十工-8一2火 图所示 解法-直线BF的方程为y=产2一2， -3y2 又xn=-1,所以n一4-2' 所以D(-1》 若点M满足MF,·MF,=0,则MF1⊥MF,可得 因为DE∥AF,所以直线DE与直线AF的斜率 点M在以F,F,为直径的圆上运动， 相等. ,满足MF,·MF。=0的点M总在椭國内部， -3k+3 以FF,为直径的圆是椭圆内部的一个图，即圆 又E(一4，一3k),所以 :-2 =y1 的半径小于椭圃的短半轴长. -3 x1-2 由此可得b>c,即√a-c>c,解得a>√2e. 垫理得=产2计产。 因此椭国的离心率=二<号，六椭国离心率的 即=（十1D+k(红+1） 凸-21 x2-2 取值范周是(0，号》 化简得1=马十1++1 x1-2T2-2 答案：0，) 1即6+=7 15.解：(1)依题意，椭圆的焦点在y轴上，设其方程为 a+6=1(a>6>0). 所以82=7，装理得=号 2 解得=士2经检验k=士2巴特合题意 易知c=2,a=5, 31 3 又a=b+c2,.b=1, 所以存在这样的直线，使得DE∥AF,直线I的 故精周C的标准方程为号十=1 方程为y=2(x+1)战y=22+1D. 3 3 (2)设A(m,),B(x2,y),且AB的中点为 M(zo.y), 解法二：因为DE∥AF,所以BA=BF。 BETBDI· y=x+2, 所以二西=一2 由 十x2=1, y 消去y,得6.x十4.x-1=0. x+4x十1 整理得4+G十)=8，即8-2=7. 32= 1 k8 6 则五=-%=+= 整理得-号 3 所以孩AB的中点M的坐标为（子，营）》】 解得长=士2，经位食=士2行合超念 所以存在这样的直线L,便得DE∥AF,直线I的 ABI=2XI-:1=2X+x)-4 方程为y=2(x+1D成y=-22(+1D. =×后+晋-5 3 3 16.解：(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所 17.解：1)由题意得，十立=5 x-3 3 以1+号=3，解得p=4 则3[(x-1)+y2]=(.x-3)”, 所以y=8.x, 即22+3-6六营+号-1. 所以准线方程为x=一2. (2)显然直线【的斜率存在，设直线1的方程为y 故周线C的方程为写+号=1 =k(x+1)(k≠0)，A(x1y1),B(2·y). (2)设直线l4的方程为x=my十1，P(xo·y,): 由信1消去得+(-8叶 A(y).B(:y). 由m。消去， k2=0. 12.x2+3y2=6, 59 得(2m2+3)y2+4my-4=0. 19.解：(1)证明：国为国x+y一2x-15=0可化为 则y1十= 2m+8x+x=m(y十y2)+2 一4m (x-1)2+y2=16, 所以圆心M(1,0),半径MB=4, 一4m十2= 6 又因为过点N作AM的平行线交BM于点C, 2m2+3 m+31 所以AM∥NC, 6 一4m 。=4+4-2m+3%-y+%2m+3 又因为|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM= P出在精圈写+号-1上， ∠NBC,所以CNI=CB, 所以CM川+ICN|=ICM+ICB|=|MB=4> 12 8m |MN|=2, 六(2m+3) (2m2+3=1, 所以点C的轨迹为椭圆，由辅国定义可得，点C的 中2m+3-4,解得m-士号 轨选方程为行+苦-1≠0， 2y+1, 直线2的方程为x=气y十1或一2 (2)由可知点C的载选方程为号十号-16≠0 即2.x-y-2=0或2x+y-√2=0. 易知≠0，设P(x1y） (y=kr, += 消去y,得(3+4k)x2=12. =12 解得 3+4· 18解：)因为点M在丰国上，所以=(）十 y-12 3+4k (）-1.又6>0.所以6=1 1212k 121十k) 则1OP√+J3++3计被3+W 当半圆在点M处的切线与直线AG平行时， :△PQR是以PQ为底边的等腰三角形， △AGP的面积最大. R0 LPQ.kw·kw=-1,则6n=-2 因为k=一号所以k=号-反 又b=1,所以a=2, 12[+(D 同理，OR 12(1+k) 3k2+41 C的方程为2+21(y>0 3+4- =1(y≤0). .S△= ×PQIX IOR (2)证明：由题意得C(1,√2)，D(一1，w2), 设P(x。,y)(y<0), =×2×4 12(1+k) 12(1+k) w:y2=x-1 3k+4 2◆y=0,得x=2。， 2- 12(1+k2) V(3+4)(4+3k 即E20小则m:y2=号 %-V2x十1 所以S△rQ 12(1+k) √(3+4k)(4+3k) 令y=0,得r= 2x。十如. 12(1+k) 12(1+k)_24 √2-y 3+4k+4+3k 中d小 2 名1+6码 当且仅当3十4k=4十3k”,即k=士1时取等号. 又A(-1,0),B(1,0),x+y6=1, (Sm=4 所以|AE+|BF甲 2一业+1)+2- 2.x十四-1 第二次月考滚动检测卷 2-y 1.D由题意知点P的坐标为(-一c,名)浅（一c,一仁） (2x-2y十2)+(2.x+2y。-2) (w2-y) ∠R,PE,=602= =4x+8-82+4=4. (2-y%) 即2ac=v3b=3(a2-c). 60