第三章 圆锥曲线的方程 A卷基础巩固卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

第三章 圆锥曲线的方程 A卷 基础巩固卷 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. -1上一点M到左焦点F.的距离是2,N是MF,的中点,O是坐标原点,则ONl A.8 B.4 C.3 D.2 2.已知点M是平面a内的动点,F.,F。是平面g内的两个定点,则“点M到点F.,E。的距离之和 为定值”是“点M的轨迹是以F,F。为焦点的圆”的 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 r 上,则sinA+sinC_ sinB B C.5 D.无法确定 4.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为 ( ) 行 1 -1(:0) } D -1(y0) -1(y-0) --1(y-0) 半焦距为直径的圆恰与直线BF相切,则双曲线的离心率为 ) B./2 C.③ f D.2 6.设抛物线v一2)x(>0)的焦点为F,准线为/.过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分 。 别过A,B作/的垂线,垂足为C,D.若AF一3 BF ,且三角形CDF的面积为/3,则的值为 ( ) 1# A.2 2_3 7.已知抛物线y*-4x,F为其焦点,抛物线上两点A、B满足|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点 ( 到v轴的距离等于 _~ A.2 B.3 C.4 D.6 21 8.已知抛物线C.x{}一2y(>0)的焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M(1.y)在抛 _ 1 C A.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知A、B两点的坐标分别是(一1,0),(1,0),直线AP、BP相交于点P,且两直线的斜率之积 为实数,则下列结论正确的是 ) A.当三一1时,点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点 B.当一1<m0时,点P的轨迹为焦点在x轴上的圆(除去与x轴的交点 C.当0m1时,点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线 D.当>1时,点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点 ,_ A. PF 十PF-2/② _ B.离心率一 C.△PFF。面积的最大值为/② D.以线段F.F。为直径的圆与直线x十y一/2一0相切 11.如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入 以月球球心F为一个焦点的圆轨道I绕月飞行,之后卫星在点P第二次变 轨进入仍以F为一个焦点的圆轨道II绕月飞行,最终卫星在点P第三次变 轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行,若用2c.和2c。分别表示圆轨道 I和II的焦距,用2a。和2a。分别表示圆轨道I和II的长轴长,则下列式子 C 正确的是 ) A.a十c-a十c2 B.a.-c--C2 D._ C.caC: .2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 距,△POF的面积为6,则一 线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若OF三 FB ,则双曲线E的离心率是 --1(a>6>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为圆的右焦点, 22 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (1)求圆的标准方程; (2)过点P(0,1)的直线与该圆交于A,B两点,O为坐标原点,若AP一2PB,求△AOB的面积 F.F。一23,P是圆C上的一个动点。 (1)求圆C的标准方程; 17.(15分)已知圆的两个焦点分别为F(-1,0),F。(1,0),且直线v=x一3与圆相切 (1)求圆的方程; (2)过F.作两条互相垂直的直线/,1.,与圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的 面积的最大值与最小值 2 18.(17分)在平面直角坐标系Oxv中,点A(一2,0),过动点P作直线x三一4的垂线.垂足为M. 且AM·AP一-4.记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)过点A的直线/交曲线E于不同的两点B,C ①若B为线段AC的中点,求直线/的方程; ②设B关于:轴的对称点为D,求入ACD面积S的取值范围 19.(17分)双曲线C:ax*-by-1(a>0,b0)的虚轴长为1,两条渐近线方程为y=士、3x (1求双曲线C的方程; 是定值; (3)如图2,经过点P(t,0)()的直线n与双曲线C有两个交点M,N,直线n的倾斜角是 0.0 人、分别是点M,N到/。的距离)?若存在,求出x。的值;若不存在,请说明理由 ### 图1 阁2 ,19.解：(1)证明：，四边形AACC是正方形.AA⊥2.C若点M到点F1,F:的距离之和恰好为F,F: AC.又平面ABC⊥平面AA,CC,平面ABC∩ 两，点之间的距离，则点M的轨迹不是椭圆，所以前 平面AA,CC=AC..AA,⊥平面ABC. 者不能推出后者.由椭圆的定义知，椭圆上一点到 (2)由AC=4,BC=5,AB=3,得AC+AB= 两焦点的距离之和为常数2，所以后者能推出前 BC.AB⊥AC. 者.故“点M到点F,,F:的距离之和为定值”是“点 建立如图所示的空间直角坐标系，则A,(0,0,4), M的轨迹是以F,F。为焦点的椭圆”的必要不充 B(0,3,0).B(0,3,4),C(4,0,4),.BC=(4, 分条件，故选C. -3,4),BA=(0,-3,4),BB=(0,0,4). 3.A由题意，知A、C为椭圆的左、右焦点，且|AC =8,1AB1+|BC=10. 所以sinA+sinC=IBC十lABL=10_5 sin B AC 8 4 4.A依题意得1CA|+{CB=10>8,∴.点C的轨迹 是以A,B为级点的精圆，设共标准方程为后+芳 =1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b=9. 设平面ACB的法向量为n1=(·y1·1),平面 又A、B,C三，点不共线，∴点C不在x轴上，点C B,CB的法向量为n=(x2y2) n·BC,=4x1-3y1+4=0, 的软莲方程为号+号=1y≠0，其该入 则 5.A不妨设F(c,0),B(0,b),因此直线BF的方程 n1·BA,=-3y1+41=0, 令y1=4,则x1=0,21=3,n1=(0,4,3) 为若+若=1，即r+ey-bc=0, |n·BC=4.x-3y:+4e=0, 依题意得，圆心到直线BF的距离d=10+0一bc 2·BB,=4x2=0, √W+c 令x2=3,则y=4,n2=(3,4,0). :cos(nn:川=mm-5X525 n1·n21616 =→2=36a2=e2-6=26,∴e==6 a2· 故选A, “个面ACB与平面BCB夫角的余孩位为尝 6.C如图所示，过点B作BM (3)证明：设，点D的竖坐标为t(0<t<4),在平面 ⊥AC于点M,设|BD=x, BCB中作DELRC于点E,易得D,4- 期AC=,从而=受 /F Ai=(,是4-0小 .AM=2x,1AB|=4x,因 此，|BM=23x, 由(1)知AB=(0,3,-4), :Ai1A,店Ai.A店=0，即0+号4-) Sam=号CD1·p=2lBM·p =0,解释一器肥--品 =×2x·p=号×2Bx号= 第三章圆锥曲线的方程 p-2解得-（负值合去），做选C A卷基础巩固卷 7.B设线段AB的中点为M,如图 1.B设楠国的右焦点为F,连接MF:,NO,如图 所示，1是抛物线的准线，过A点 所示。 作AA:⊥1于A点，过M点作 MM1⊥I于M1点，交y轴于N 点，过B点作BB,⊥I于B1点， AFI=IAA1.BFI=BB .lAA,|+|BB=8. 由椭圆的定义得MF,+|MF:|=10, 由点M是线段AB的中点知， .MF=2.∴.MF,|=8, IMMI-(IAA,+IBB D)-4. 又O是FF:的中点，N是MF,的中点， 2p=4,∴.p=2. 六ON=2MF,=4,故选B 因此M,N=1,.|MN=3,故选B 53 8.D过M向抛物线的准线作垂线，垂足为N, 剩MN=美+号-5头，故%=2功 ∴.6=12，又b>0,∴.b=23. 答案：23 13.解析：如图所示，过F向另一条渐近线引垂线，垂 足为D. 又M1)在抛物线上，故。一2D,于是2p=2办， 解得p=2MN=5头=5， 4 an∠FAM=a∠AMN=AN-号 由题意得，双曲线的新近线方程为y=士b。 。x,则 故选D, 9.ABD由题意知直线AP,BP的斜率均存在，设点 F(c,0)到浙近线的距离d=bc=,即FA a+b P的坐标为（工y,则直线AP的斜率w并 =FD=6. 则OA=|OD=a.|AB1=b+c, (红≠-1.直线BP的斜率km产x≠1D. :△OFB为等腰三角形， 由己知得帝X之=m≠士 .D为OB的中点..1OB引=2a, AB⊥OA, 点P的载选方程为十n1G≠士1，结合 .|OBP=1OA2+|AB2=a2+(b+c)2, 即4a2=a2+(b+c)2. 选项知ABD正确. 整理得2-bc-2b=0,∴.c=2h. 10.AD由2十y=1得a=2,6=1c2=1. 则2a=3,∴e=￡_23 ∴.PF,1+PF:|=2a=2√2，因此A正确： 一后方号要因先B维 苦案 14.解析：如图所示，设椭国的左焦点为F,连接 当点P在椭图的上顶点或下顶点时，△PF,F,的 AF,,BF,则四边形AFBF,为矩形， 面款最大，且(Sm,）=号×2Xb=号×2X1 =1≠√2，因此C错误：以线段FF2为直径的圆 的方程为x十y2=1. 且0+0一回=1，图此D正确 .AB=FF|=2c,AF+BFI=2a. /+1 AF|=2csin a,BF =2ccos a. 故选AD. ..2esin a+2ccos a=2a, 11.BC由题图可得41>ac>.a1十c>4十 1 1 .e= 故A不正确：|PF|=a1一c,|PF|=a2一c2 na+cosa2sin(a+买） .a1一G一a:一C,故B正确：由a1一G1一a:一cg 得(a1十c)=(a,十c)2,即a-c+2a:=a-cd ae[臣] +2ac1,亦即b+2a1c2=b2+2a2c1,b,>b, aG>a1G49>9,故C正确.D不正确.故 a+牙∈[肾] 选BC. m(e+)[停.4 12.解析：设P.则后+芳-1.① asme+)e[,1月 x2+y2=e2,@ 由②得x2=c2-y,代入①式得 立国的商心来e[-1， +若-1y-- a 答案：5-1.写 54 1.解：1)设描国的标准方程为号+芳=1(a>6> 1以，解：①设能国方程为号+芳=10>6>0。 0),为椭圆的半焦距，由题意可得抛物线的焦点 因为直线y=x一√3与该椭圆相切， 为(2,0)，所以c=2, + 因为描闻的离心奉=后=号所以=2 所以方程组 只有一组解， y=x-√3 又6=a2-c2=2, 消去y,整理得(a2+b)x2-2√3ax十3a2-ab 所以结圆的标准方报为气+ 21 =0, 所以△=(-2√3a)2-4(a2+6)(3a-a6)=0. (2)设A(x1,y),B(x为)，则AP=(-x1,1 得a+b=3. y),PB=(xy-1). 又焦点为F(一1.0)，F(1,0), 南-成得 所以a°-b=1,所以a=2,b=1, 所以椭圈的方程为号十y=1. 验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方 程为y=kx十1， (2)若直线PQ的斜率不存在（或为0），则 代入箭圆方程，整理得(2k+1).x2十4k.x一2=0， S-MNI:PQI_22. 2 一 -2 2 所以上+2欢十4·2 若直线PQ的斜率存在且不为0，设为k(k≠0)， 将-2代入上式，可得(0禁)广- 则直我MN的针率为一 2中解得= 1 所以直线PQ的方程为y=kx十k,设P(y1), Q(ry:). 所以△A0B的面积S=号OP·x- 由2+y=1·得(2+1)x2+4+26-2 +)-4x西=1.2V8A+2_3/4 y=kx+k, 2 2 2k2+1 8 =0, 16解：：销周C号+芳-1o>6>0)经点 所以十背西一器异 -4k 所以PQ=√/1+k|x1-x M1,)F,F是描国C的两个焦点，F,F, =/1+)[16k-4(2k2-2)(2k+1刀 =25, 2k2+1 2c=25, a=2, =22×+1 2k2+11 +-1，解得6 1 同理可得，MN=2,B×号 la2=6+c, c=w3, “精司C的标准方程为+y-1 所以S,达都AaN= PQ·IMNI 2 =4× (k2+1)月 (2+k)(2k+1) =4×+262+1 (2)设P(x,y)(x>0,y>0),c=3, 2k+5k2+2 F(-3,0),F2=(w3.0), =4× =4× 则PF,=(-3-x,-y),PF,=(-√3-x,-y), 4k+4+10 2 2k+5k+2 .PF,·PF2=(-√3-x,-y)·(3-x,-y)= x2+y2-3, 图为+是+10≥· +10=18(当且仅 又军+y=1,即y-1- 当k=1时取等号)， 4 所以一 1一 17 Pmp厘=+-8=+1军-3 +是+10 (0i8] -}ar-8< +是+0小[2 1 所以4X 解得-√3≤x≤5， x>0,.0<x≤3， 综上所述，四边形PMQN的面积的最小值为l6, 点P的横坐标的取值范围是(0,3). 最大值为2. 55 18.解：设P(xy),则M(-4,y). 因为A(-2,0),所以AM=(-2,y),AP=(x十 0而=0=1+流- 2,y), 因为AM.AP=一4，所以-2x-4+y=-4,即 OE= +是 k2+1 y=2.x. 12-是12 所以曲线E的方程为y=2.x. (2)①若直线1的斜率不存在，则1与曲线E无公 六当十上-2-楼+12=4=8 OD OE 1+k 1+k 共点，因此1的斜率存在： 若1的斜率为0，则1与曲线E只有一个公共点， 因此1的斜率不为0. OE OD 设1：y=k(x+2),k≠0， (3)设直线n的方程为y=m(x一t),m≠土√3， 由红+20释y-是+4=0：所以4=是 1y=2.x 由/12x-46=1, y=m(x-t), -16>0.解得-2<<号且0. 得(12-4m2)x+8mtx-(4mt+1)=0(等). 2 设B1y),C(4),则十y4=yy=4 “>-得方程(·)落有两个不相等的解。 因为B为线段AC的中点，所以y=2y· 设M(x1y),N(xy). 又折十=是所以-品： 4 则五十2编4=一 -8m21 12一4m 因比%是=4：将以=士号特合一号小 当xx2>0,即m>3时，x1,x2均为正数， <且k≠0， >9->9- a 6" 所以直线1的方程为y=士号+2》， 设x<1x2· ②因为点B,D关于x轴对称，所以D(x1·一y1) 则报号-兴兰导 于是点D到直线1的距离为d=kx十y十+2则 1+k 整理得x。=一 +2x是 12-4m=1 周为y=A(+2),所以d=2y 21+,8n 12t 12-4m 1+k 又AC1=/1+k1x4+21, 1<1=@,符合题意， ,x。122a 所以S=2+1+21×2=,+2) 当xx<0,即m<3时，x1一正一负，设x1>0, 1+k %=停+2 则>x,≥@-5. a 61 经兴释要会会理释工成 1 周为为兴=4州十为=后 To-x3 1-Iz 所以5=2%+2-青 1<1=口，符合题意. >g-122a 又周为-号<k<号且≠0，周此S>8, 六春在直线6：=x(关中红。<四）使得 即△ACD面积S的取值范国为(8，十∞). 10,解：D依题意得，方-(2）广=子，即6=4，由新 删成立，比时= 第三章圆锥曲线的方程 近线方程得，√日=厅，周光a=12 B卷能力提升卷 故双曲线的方程为12x2一4y2=1. 1.B抛物线y2=4x的焦点为(1,0).到双曲线x2一 2)设直线OD的外率为，显然<3县日<3， 苦=1的一条新近线，x一y=0的距离为 则直线OD的方程为y=kx, 由2得12 1 X1-号故选B y=kx, √(w3)+(-1) 56