第三章 函数的概念与性质 B卷能力提升卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

B卷 能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 A.[03] B.(0.3] 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 C.(0,1] D.[3,+∞) 符合题目要求的， 5.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1, 1.下列各组函数中，表示同一函数的是( ∈[0，+∞)(x≠G),有，)-)<0. A.f(x)=/xFI/x-I,g(x)=Vx-1 则 B.f(.x)=F,g(x)=(F) A.f(3)<f(-2)<f(1) g)=x+1 C.fx)=2-1 B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(x)=r'.g(x)=V C.f(-2)<f(1)<f(3) x2-2x,x≥3， D.f(3)<f1)<f(-2) 2.已知函数f(.x)= 2x+1,x<3, 则f(f1)等 6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 于 10人推选一名代表，当各班人数除以10的 A.3 B.4 余数大于6时再增选一名代表，那么，各班 并 C.5 D.6 可推选代表人数y与该班人数x之间的函 3.AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质 数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于 量越好，当AQI不大于100时称空气质量为 x的最大整数)可以表示为 “优良”.如图是某市3月1日到12日AQI的 A=[ 统计数据.则下列叙述正确的是 ↑AQT c-[] n[结] 250 201 200 7.幂函数y=f(x)为偶函数，且在(0，十∞)上 144 150 =135 为减函数的是 ( 100 tm- 9奶85777克苑 A.f(x)=x? B.f(x)=x 茶 哈⊙，日6ddg日e1H期 C.f(r)=x2 D.f(x)=r A.这12天的AQI的中位数是90 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0 阳 B.12天中超过7天空气质量为“优良” 时，f(x)为增函数，且f(3)=0,那么不等式 C.从3月4日到9日，空气质量越来越好 xf(x)<0的解集是 D.这12天的AQI的平均值为100 A.(-3,-1)U(1,3) 4.已知函数f(x)=√3一ax,若f(x)在区间 B.(-3,0)U(3,十∞) (0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是 C.(-3,0)U(0,3) D.(-∞，-3)U(0,3) 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 出文字说明、证明过程或演算步骤。 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 -x十3，x≤0， 15.(13分)已知函数f(x)= 分，有选错的得0分。 4x,x>0. 9.函数y=f(x)的图象如图所示，则以下描述 (1)求f(f(-1)): 正确的是 (2)若f(x。)>2,求x的取值范围. 中，线 与直线x=4 无限接近仙 是水不相交 A.函数f(x)的定义域为[一4,4)》 B.函数f(x)的值域为[0，+o∞) C.此函数在定义域内是增函数 D.对于任意的y∈(5，十∞)，都有唯一的自 变量x与之对应 10.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函 数，则下列函数中是偶函数的是 ()】 A.y=f(x) B.y=f(x2) C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x 1山，关于函数八)-，马·下列结论正确的是 A.f(x)的图象过原点 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在区间(1，十∞)上单调递减 D.f(x)是定义域上的减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.若函数f(x)=x2+(a-2)x十3a是偶函 数，则(1)常数a (2)函数f(x)的值域是 (用区间 表示) 13.某商场将一批电视先按原价提高40%，然 后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果 每台电视比原价赚了270元，那么每台电 视原价是 元 14.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当 x≥0时，f(x)=x-2x,则f(x)在R上的 表达式是 26 16.(15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c, 17.(15分)定义在R上的f(x),在[0，+∞)上为 满足条件f(0)=0和f(x+2)一f(x) 增函数，且f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1, =4x. 求不等式f(x)+f(一2)>2的解集. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若函数g(x)=f(x)一2m.x+2,当 x∈[1，十o)时，求函数g(x)的最小值. 27 18.(17分)党的二十大大报告明确要求：我们 19.(17分)已知函数f(x)=aT十是定义域 要构建高水平社会主义市场经济体制，坚 1+x 持和完善社会主义基本经济制度，毫不动 为（一1,1）上的奇函数，且a>0. 摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、 (1)用定义证明：函数f(x)在（一1,1）上是 支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市 增函数； 场在资源配置中的决定性作用，更好发挥 (2)若实数t满足f(21一1)十f((-1)<0, 政府作用.这为我们深入推进非公有制企 求实数t的取值范围。 业改革发展指明了方向，提供了根本遵循. 某非公有制企业抓住机遇推进生产改革， 从单一产品转为生产A、B两种产品，根据 市场调查与市场预测，A产品的利润与投 资成正比，其关系如图(1)：B产品的利润 与投资的算术平方根成正比，其关系如图 (2)(注：所示图中的横坐标表示投资金额， 单位为万元》 Y 6 图1 图2 (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为 投资的函数关系式： (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部 投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配 这10万元资金，才能使企业获得最大利 润，最大利润是多少？ 28所以f(x2)-f(x1)<0, 即函数f(x)在R上单调递减. 所以f(x) 2t2+300x-20000.(0≤≤400) 1.【解】国为画数)=岩为定又在R上的寺高 100.x+60000(x>400) (2)当0≤x≤400时，f(x)= 数，所以f(0)=b=0. 72+30r-2000= (2)【证明】由1)可得f(x)=1十之，下面证明函数 -号-30)2+250， f(x)在区间(1，十o✉)上是减函数. 所以当x=300时，f(x)max=25000: 证明：设x2>x1>1, 当.x>400时，易知f(x)=一100x十60000是减函数， 则有f(x)-f2)=, 所以f(.x)<-100×400+60000=20000: 1+x11+x2 综上：当x=300时，f(x)msx=25000, x1十x1·x吃-x2-x2·xi_(x1-x2)(1-x1x2） 所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其 (1+x)(1+x) (1+x)(1+x2) 值为25000元. 再根据x2>r1>1,可得1十x>0,1十x>0,x1-x2< 0,1-1<0,所以二0二》0. B卷能力提升卷 (1十x)(1十x) 1.DA.f(x)的定义域为[1，+o),g(x)的定义城为 即f(x1)>f(x2), (一∞，-1门U[1,十∞)，故不是同一函数： 所以函数f(x)在区间(1，十∞)上是减函数. B.f(x)的定义城为R,g(x)的定义城为[0，十∞)，故不是 (3)【解】由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0, 同一函数 可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2.x+4) C.f(x)的定义域为{xx≠I},g(x)的定义战为R,故不 =f[(.x-1)2+3], 是同一函数： 再根据函数f(x)在区间(1，十o∞)上是减函数，可得1+ D.f(x)的定义域为R,g(x)的定义城为R,且两函数解析 2.x2<x2-2x+4. 式可转化为同一解析式 求得-3<x<1,故不等式的解集为{x一3<x<1. 18.【解】(1)当a=1时，f(x)=一4x2+4x-5的对称轴x 2A周为/)=r2-2xx≥3， 2.x+1.x<3, =?,开口向下， 所以f(1)=2+1=3, x∈[1,3]时，函数f(x)单调递减， 所以f(f(1))=f(3)=32-2×3=3. 当x=1时，函数有最大值f(1)=一5， 3.C对4个选项分别进行判断，可得结论.这12天的AQI 当x=3时，函数有最小值f(3)=-29, 的中位数是95104=99.5，故A错误： 故函数f(.x)的值拔为[-29，-5]. 2 (2)因为f(x)=-4.x2+4a.x-4a-a2的开口向下，对称 这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92， 故B错误； 轴x=2a… 从4日到9日，AQI数值越来越低，空气质量越来越好， ①当号a≥1，即a>2时，)在[0，l门上单拥递增，函数 故C正确， 的最大值为f1)=一4一a2. (67+72+77+85+92+95+104+111+135+ 令-4-a”=-5,得2=1，a=±1<2（舍去）. 144十201)≈110，所以D错误， ②当0<名a<1,即0<a<2时r=a时)取得最 故选C 大值，最大值为一4a, 4,B函数f(.x)=3-a.x,若f(x)在区间(0,1]上是减函 令-4a=-5,得a=号∈(0,2. 数，则1=3一ax在区间(0,1门上为减函数，且1>0，分析可 得a>0,且3-a≥0，可得0<a≤3，所以a的取值范国为 ③当24<0，即a<0时，fx)在[0.l门内单调道减， (0,3]. 所以x=0时，f(x)取最大值，最大值为一4a一a2, iA对任意的n,∈[0，十o∞0≠2，有）-儿)<0. 令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a 所以f(x)在[0，十∞)上单调递减，又∫(x)是偶函数，故 =1,其中-5∈(-0∞，0]. f(x)在（一c∞，0]上单调递增.且满足n∈N·时，f(一2）= 综上所遮a=号或a=-5, f(2),3>2>1>0,所以f(3)<f(-2)<f1). 19.【解】(1)根据题意， 6,B根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7,8,9时 当0≤x≤400时，f(x)=400x 22-2000-10r 可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加 =-2r2+30x-2000, 3,周光利用取整语数可表市为y=[],心了以月特 当x>400时，f(x)=80000-20000-100.x=-100.x+ 珠取值法，若，t=56,y=5,排除C,D,若x=57,y=6,排 60000. 除A. 73 7A时A/)==,期-)= .f(-x)=-f(x), 当x≥0时，f（x)=x2-2.x, f(x), ∴.f(-x)=x2+2x=-f(x), 故y=f(x)为偶函数，且在(0，十o)上为减函数，A正确： 则f(x)=-x2-2x, 对B:f(x)=T的定义域为[0，十∞)，即定义域不关于 x2-2x.x≥0 原点对称，故为非奇非偶函数，B错误： 故f(x)= -x2-2xx<0 对C:f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 1x2-2x,x≥0， 故y=f(x)为偶函数，且在(0，十∞)上为增函数，C错误： 故答案为f(x)= 1-x2-2xx<0. 对D:f(x)=(一x)3=-x3=一f(x),故y=f(x)为奇函 15.【解】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4, 数，D错误， 所以f(f(-1)=f(4)=4×4=16. 故选：A. (2)当x0≤0时，令2<-x0十3，得x0<1,此时x0≤0： 8.C,f(x)为奇函数，且在(0.十o∞)上是增函数，f(3)=0, .f(3)=一f(一3)=0，在(-0∞，0)内是增函数. 当0>0时，令2<0得0> xf)<0,期r>0, 学 x<0, 1 1f(x)<0=f(3)fx)>0=f（-3). 所以0≤0或0>2 根据在（一∞，0）和(0，十o∞)内都是增函数. 所以0的取值范国是{xoxo≤0或0> 1 解得：x∈(-3,0)U(0,3). 故选C. 16.【解】(1)由题意得， 9.BD由图可知，函数f(x)的定义城为[一4,0]U[1,4), c=0,a(.x+2)2+b(.x+2)-a.x2-b.x=4a.x+4a+2b 故A错误： =4x, 函数f(x)的值域为[0，十o∞)，故B正确： 即a=1,b=-2, 函数f(x)在定义域内不是单调函数，有两个单调增区间 所以f（x)=x2-2x. 为[-4,0]，[1,4)，故C错误： (2)g(x)=x2-2x-2m.x+2,x∈[1，+oo), 对于任意的y∈(5，十∞)，都有唯一的自变量x与之对 对称轴方程为x=m十1， 应，故D正确 ①当m+1≤1时，即m≤0，g(x)mm=g(1)=1-2m, 故选BD. ②当1<m十1时，即m>0,g(x)mn=g(m十1)=-n2-2m十L 10.ABC因为f(x)的定义城为R,又因为f(|一x|)= 1-2m,m≤0， f(x),所以A是偶函数： 令F(x)=f(x2),则F(-x)=f(x2)=F(x), 综上，g(x)mm={-m2-2m十1，m>0, 17.【解】依题意∫(xy)=f(x)十f(y),令x=y=1得 所以F(x)是偶函数，即B是偶函数： f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0:令x=y=-1得 令M(x)=x·f(x),则M(-x)=-x·f(-x)=x· f(1)=f(-1)+f(-1),即f(-1)=0:令y=-1, f(x)=M(x),所以M(x)是偶函数，即C是偶函数： 则f(一x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),故 令N(x)=f(x)+x,则N(-x)=f(-x)-x=-f(x) 一x=一[f(x)十x]=一N(.x),所以N(x)是奇函数，即 「(x)是偶函数.又因为f(2)=1,故不等式∫(x)十 D是奇函数. f(-2)>2即f(-2x)>2f(2),故f(-2.x)>f(4), 即f(|2x|)>f(4),所以|2x|>4,即|x|>2,故x< 1.AC画数)=与中=1+0)=0 -2或x>2,即解集为(xx<一2或x>21. A对：图象关于点(1,1)对称，B错： 18.【解】(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元， 在（一∞，1），(1，十o∞)上是减蓝数，整个定义域上不是 B产品的利润为g(x)万元， 减函数，故C对，D错， 由题意知f(x)=k1x,g(r)=k2Vx 故选AC. 12.(1)2(2)[6,十∞)(1)根据题意，函数f(x)=x2+(a 由国可知f(2)=1,1=弓g(4)=4,a=2 一2)x十3a为二次函数，其对称轴为工=2,0， 21 从f)=r(≥0)，g()=2F(x≥0). 若x)是偶函数，则222=0，即a=2。 (2)设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设 企业利润为y万元。 (2)由(1)的结论，f(x)=,x2十6， 必有f(x)≥6，即函数f(x)的值域为[6，+oo). 则y=fx)+g10-x)=2+210-z(0r≤10). 故答案为：(1)2(2)[6，+∞) 13.2250设每台电视原价为x元，依题意得，80%·x(1+ ◆0==，则y=102+21=-21-2)2十 2 40%)-x=270,解得x=2250. 7(0≤1≤10) 1x2-2.x,x≥0， 14.fx)= 当1=2，ymx=7,x=6, -x2-2.x,x<0. y=f(x)是定义在R上的奇 所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，企业 函数， 获得最大利润为7万元. 74 19.1【证明】：通数f(x)=+是定义城为（一1,1） 6.C由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线 1+x 的斜率表示的是票价， 上的奇函数， 故图(2)降低了成本，但票价保持不变，即②对：图(3)成 ∴f0)=9=06=0, 本保持不变，但提高了票价，即③对.故选C 7,A由条件知，一年总的费用为： .f(r)=ar 1+x2: 4.40+4r=1600+4r>20.4-160, 任取x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, -)-平 当且仅当1600-4x,即r=20时取等号， ·为了使总的费用最低，每次购买的数量x为20， a(x+x1x-x2-2.xi)a(0一x2)(1-1x2) 故选A. (1十x)(1+x) (1十x7)(1+x) 8.D根据题意，函数f(x)=一x2+2(a一2)x为二次函 a>0,-1<x1<x2<1, 数，其开口向下且对称轴为x=a一2， ∴.x1-x2<0,1-x1x2>0,1+xi>0,1+xi>0, 若f代x)在区间[1,2]上是减函数，必有a一2≤1，剩有a≤3： .函数f(x)在(-1,1)上是增函数 (2)[解】：f(21-1)+ft-1)<0, 8)=若g)在区间12]上是浅品数，必有a- .f2-1)<-ft-1), >0,则有a>1. :函数)=曲是定义战为(-1，)上的奇函数， 综合可得：1<a≤3，即a的取值花围为(1,3]. 1+x2 故选D. 且a>0, 9.BD ∴.f(2t-1)<f1-t), 10.AD根据函数的图象，函数f(x)的图象与x轴有3个 ,函数f(x)在(-1,1)上是增函数， 交点， 21-1<1-t ∴.{-1<21-1<1， 所以方程f几g(x)]=0有且仅有三个解： 函数g(x)在区间上单调递减， -1<1-11 所以方程g[g(x)门=0有且仅有一个解。 每释0水号 故选AD. 11,AC函数f(x)为R上的奇函教，且为单调减函数， 故实数1的取植龙周是(0，号) 偶函数g(x)在区间[0，十c∞)上的图象与f(x)的图象重合， 第二次月考检测卷 由a>b>0,得f(a)<f(b)<0. 对于A,f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)白f(b)十f(a) 1.B,A={x-3<x<3},B={x-1<x<5}, g(a)十g(b)=2f(b)<0,所以A正确： ∴.CRB={xx≤-1战x≥5}，A∩(CRB)=(-3,-1]. 对于B,f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)台f(b)+f(a) 故选B. g(a)十g(b)=2f(b)>0,所以B错误： 2.CA.c<0时不成立： 对于C,f(a)+f(-b)<g(b)-g(-a)台f(a)-f(b)- B.a>b,c>d,若a=5,b=4,c=3,d=1,则a-c<b-d, g(b)+g(a)=2[f(a)-f(b)]<0,所以C正确： 因此不正确： 对于D,f(a)+f-b)>g(b)-g(-a)曰f(a)-f(b) Cab>0a>6:则石正瑞 g(b)+g(a)=2[f(a)-f(b)]>0,这与f(a)<f(b)矛 盾，所以D错误. D.取a=2,b=-3,c=3,d=-3,满足条件a>b.c>d, 故选AC. 但是日>不成立 12.2由题意可得，f(f(3)=f(1)=2. 故选C. 故答案为2 x-4>≥0 13.[1,2]当x>2时，f(x)=x2-2.x, 3.D候题意，z一5≠0解得≥4且x≠5. 当x≤2时，f(.x)=-x2+2x, 故函数的定义域为[4,5)U(5,十∞). 1x2-2r,x>2 这样就得到一个分段函数f(x)= 故选D -x2+2x,.x≤2 4,D暴函数f(x)=(m2-3)xm在(0，十0∞)为单调增 f(.x)=x2-2x的对称轴为x=1,开口向上，x>2时是增 函数， 函数： 小但保华=-之 f(x)=一x2十2x,开口向下，对称轴为x=1, 则x<1时函数是增函数，1<x<2时函数是减函致. .实数m的值为一2. 即函数的单调减区间是[1,2]. 故选D 故答案为[1,2]. 5.A依题意，偶函数f(x)在(0，十∞)上为减函数， 14.(一∞，一1)根据题意，当x1≠x2时，有[f(x1) ∴.f(π)<f(2)<f(1)=f(一1)，即ba<c, f(x2)](z1一x2)<0恒成立，则f(x)在R上为减函数， 故选A. 又由f(x)是定义在R上的奇函数， 75