专题07 一次函数与反比例函数-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河南专用）

专题07 一次函数与反比例函数（原卷版） 1、 填空题 1. （2021·河南·统考中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________． 2.（2022·河南·统考中考真题） 请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________． 二、解答题 3.（2021·河南·统考中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 4.（2022·河南·统考中考真题） 如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式． 5.（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k的值； 6.（2024·河南·统考中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 一、单选题 1．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 2．（2024·河南三门峡·二模）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 4．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点在轴上，连接．若面积为2，则的值为    5．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，点在轴上，、分别为、的中点，连接，为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点．若的面积为6，则的值为 ． 6．（2023·河南新乡·二模）请任写一个与平行的一次函数解析式 ． 7．（2024·河南许昌·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为 ．    8．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、，直线与轴交于点，若的面积为，则 ． 9．（2024·河南三门峡·一模）在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是 （任意写一个符合条件的数即可）． 三、解答题 10．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值． (2)求正方形的边长． 11．（2024·河南·三模）如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：； 12．（2024·河南周口·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点为，，，将绕点顺时针旋转得到，其中，点，的对应点分别为点，．    (1)若双曲线经过点，求双曲线的解析式； (2)若点的运动轨迹为，求阴影部分的周长； (3)求直线的解析式． 13．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、B两点．已知点A的坐标为． (1)求直线AB的解析式及反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 14．（2024·河南郑州·三模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C，以为对角线作正方形，点B在第四象限过点A，O，B作弧． (1)求反比例函数的表达式． (2)所对圆心角的度数为_______°，所在圆的半径为______． (3)求图中阴影部分的面积之和． 15．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段绕点B顺时针旋转，使O的对应点为，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)以点B为圆心，为半径画，求图中阴影部分的周长． 16．（2024·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为． ①连接，求线段的长； ②是平面直角坐标系内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 17．（2024·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，延长交反比例函数的图象于点D． (1)填空： （填写“＞”“＜”或“＝”）； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (3)在的平分线上取点E，使，连接，当时，求的面积． 18．（2024·河南濮阳·三模）如图，的顶点 O与坐标原点重合，边在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点C，与边交于点D． (1)求； (2)若点D是的中点，设直线的解析式是，若时，求x的取值范围． 19．（2024·河南开封·二模）如图，直线与反比例函数交于点和点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆，连接，取的中点，连接． (1)求和的值； (2)当时，直接写出的解集； (3)求阴影部分的面积． 20．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点C， 连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； 21．（2024·河南郑州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式组的解集． 22．（2024·河南安阳·一模）如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求的度数． (3)请直接写出图中阴影部分的面积． 23．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点．    (1)求双曲线对应的函数关系式． (2)将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，判断点是否在该双曲线上？说明理由；并求点A运动的路径长l． (3)连接，请直接写出的面积． 24．（2024·河南新乡·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数交于点，与轴，轴分别交于点，点，且，过点作轴于点． (1)求一次函数解析式； (2)若，求反比例函数解析式． 25．（2024·河南新乡·三模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧． (1)求反比例函数的解析式； (2)求弧所在圆的半径； (3)直接写出图中用影部分的面积． 26．（2024·河南驻马店·三模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点． (1)求m的值及反比例函数与一次函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交x轴于点C，交线段于点D（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)连接，求的面积． 27．（2024·河南平顶山·三模）如图，反比例函数（）的图象与直线的交点，均在正方形网格线的格点上． (1)填空：______，_______，_______． (2)若将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线与双曲线（）是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，说明理由． 28．（2024·河南安阳·二模）如图， 菱形的顶点为坐标原点， 点在轴上，点 点为反比例函数上一点． (1)求的值； (2)将菱形以点为旋转中心逆时针旋转，使点的对应点落在负半轴上，求扇形圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 29．（2024·河南洛阳·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若，求的面积； (3)请直接写出当时，不等式解集． 30．（2023·河南周口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．    (1)求反比例函数表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线． 31．（2024·河南焦作·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集为 ； (3)点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标． 32．（2024·河南开封·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线分别相交于点，B两点． (1)求反比例函数的解析式． (2)尺规作图：过O作直线的垂线，垂足为点C．（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，求证：． 33．（2024·河南郑州·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求k，m的值； (2)已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； (3)观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 34．（2023·河南新乡·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点，点为反比例函数上一动点，过点M作轴交于点N，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)直线沿y轴方向平移，当的面积最大时，求点M的坐标． 35．（2024·河南平顶山·二模）如图，已知，，连接．将线段向右平移1个单位长度，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上． (1)求该反比例函数关系式． (2)设点是轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） (3)连接，并延长与（2）中所作角平分线相交于点．求证：． 36．（2024·河南南阳·一模）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)连接AO、OB，求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 37（2023·河南郑州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点A的横坐标是2．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象向下平移4个单位长度，请在图中直接画出平移后的图象，并求出平移后的图象与反比例函数的图象的交点坐标． 38．（2024·河南南阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集． (3)若点C与点A关于原点对称，求的面积． 39．（2024·河南周口·一模）如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，交于点D，若的面积是的面积的2倍，的面积为，求反比例函数的表达式． 40．（2024·河南三门峡·一模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图象交于点，求点的坐标． 41．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，． (1)求出一次函数的表达式和的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 42．（2024·河南许昌·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 43．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例通数的图象相交于两点，过点A作轴，交轴于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)求的面积． 44．（2024·河南焦作·一模）小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长； (3)直接写出图中阴影部分面积之和． 45．（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数与正比例函数交于点和点C，与正比例函数交于点B和点D． (1)求k与a的值，并求点B，C，D的坐标； 46．（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数的图象经过点，轴，点，的平分线交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数与反比例函数（解析版） 1、 填空题 1. （2021·河南·统考中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________． 【答案】y=x（答案不唯一） 【解析】 【详解】过原点的图象可以是一次函数，或者是二次函数 2.（2022·河南·统考中考真题） 请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可． 【详解】解：如，y随x的增大而增大． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键． 二、解答题 3.（2021·河南·统考中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8． 【解析】 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A(1，2)， ∴k=1×2=2 ∴反比例函数的解析式为y= （2）如右图，∵反比例函数y=的图象经过点B， ∴正方形OCBD的面积为2 由图可知，OE=2 ∴正方形OEFG的面积为2×2=4， ∴阴影部分的面积为4×（4-2）=8 4.（2022·河南·统考中考真题） 如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式． 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案； 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式。 5.（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k的值； 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）将代入中即可求解； 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得：； 6.（2024·河南·统考中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用数形结合的思想来解答． 根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先求出过点P时，与坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形的面积，求出过点Q时，的值． 【详解】∵点P是反比例函数上的点 ∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为， ∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 故选：D． 2．（2024·河南三门峡·二模）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，余弦的定义．根据可得，设，则，代入可得，进而可得，推出，根据k的几何意义可得，再根据反比例函数图象所在象限得出，即可求解． 【详解】解：轴，四边形是矩形， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 反比例函数第二象限， ， ． 故选：D． 3．（2024·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 二、填空题 4．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点在轴上，连接．若面积为2，则的值为    【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，连接，通过反比例函数系数的几何意义得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，    ∵轴， ∴轴， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，点在轴上，、分别为、的中点，连接，为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．根据等腰，中位线得出，，应用的几何意义求． 【详解】解：如图：连接， 中，，在轴上，、分别为，的中点， ，， ， ． 故答案为：． 6．（2023·河南新乡·二模）请任写一个与平行的一次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象的位置与系数的关系，明白函数图象中平行相等是关键．根据平行相等这个结论即可得出结论． 【详解】解：两解析式平行值相等， ， ∴解析式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2024·河南许昌·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为 ．    【答案】2 【分析】设，结合点 F 是边的中点，得，得到，，结合点 B，E 在反比例函数()的图象上，建立等式计算即可． 本题考查了矩形的性质，正方形性质，反比例函数性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】设， ∵点 F 是边的中点， ∴， ∵矩形和正方形，， ∴，轴，，，轴， ∴，， ∵点 B，E 在反比例函数()的图象上， ∴， 解得(舍去)， ∴， 故答案为：2． 8．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、，直线与轴交于点，若的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据图中面积关系列出方程式是解题的关键．作轴，垂足为，作轴，垂足为，轴，垂足为，代入求出点和点的坐标，根据，列方程求解即可． 【详解】解：作轴，垂足为，作轴，垂足为，轴，垂足为，如图： ∵、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、， 故将代入得：，即坐标为， 故将代入得：，即坐标为， ∵， 即， 解得：． 故答案为：． 9．（2024·河南三门峡·一模）在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是 （任意写一个符合条件的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据随的增大而减小，得出，即可作答． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴， 解得， 则的值可以是（答案不唯一） 故答案为：． 三、解答题 10．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值． (2)求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，求扇形的面积： （1）求出，再代入，即可求解； （2）设正方形的边长为m，则点D的坐标为，从而得到，即可求解； （3）根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为4， ∴点． 将点代入到中，得∶ ，解得∶． （2）解：设正方形的边长为m，则点D的坐标为． 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为； 11．（2024·河南·三模）如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出的长度即可求证； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，坐标与图形，勾股定理，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）与正方形交于点，， ∴将代入（）中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）证明：∵，四边形是正方形， ∴， ∴点的横坐标为， 把，代入中得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 12．（2024·河南周口·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点为，，，将绕点顺时针旋转得到，其中，点，的对应点分别为点，．    (1)若双曲线经过点，求双曲线的解析式； (2)若点的运动轨迹为，求阴影部分的周长； (3)求直线的解析式． 【答案】(1)反比例函数表达式为： (2)阴影部分的周长为 (3)的表达式为： 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析，一次函数解析式，旋转的性质以及全等三角形的判定以及性质，弧长公式等等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）将绕点顺时针旋转得到根据旋转的性质得出点，再用待定系数法即可求出反比例函数解析式． （2）由旋转的性质可得出，求出，再求出，即可求出阴影部分的周长． （3）作轴于点，证明，由全等的性质可得出，，进一步再求出点N的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 将绕点顺时针旋转得到， 则点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数表达式为：； （2）由旋转的性质可得出， 由点、、的坐标得， ， 则； 阴影部分的周长为 （3）作轴于点，   ， ，， ， ， ， ，， ，， 则，，， 则点， 又∵， 设的解析为：， 则． 解得： ∴的表达式为：． 13．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、B两点．已知点A的坐标为． (1)求直线AB的解析式及反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解； （2）联立方程组求得或，则可得，设直线与轴相交于点，根据可求得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． （2）联立方程组得：， 解得：或， ， 设直线与轴相交于点， 如图： ， ， ， 点的坐标为或． 14．（2024·河南郑州·三模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C，以为对角线作正方形，点B在第四象限过点A，O，B作弧． (1)求反比例函数的表达式． (2)所对圆心角的度数为_______°，所在圆的半径为______． (3)求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)90，； (3)． 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）∵四边形是正方形，为对角线，， ∴点O是四边形的中心， 连接， ∴， ∴，为所在圆的直径， ∴所对圆心角的度数为， ∵， ∴， ∴所在圆的半径为； 故答案为：90，； （3）设所在圆的圆心为E，与x轴交于F，与x轴交于G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵弓形的面积扇形的面积三角形的面积， ∴图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 15．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段绕点B顺时针旋转，使O的对应点为，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)以点B为圆心，为半径画，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，特殊角三角函数值计算即可． （2）利用弧长公式，勾股定理，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，弧长公式，勾股定理，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】（1）连接，如图所示． ∵点， ， 即点O是的中点． ， ， ． 由旋转可得 是等边三角形． 过点C作轴于点D， ∴， ． 把点C的坐标代入， 得． （2）由（1）知，为等边三角形， ， ， 的长为． ∴阴影部分的周长为． 16．（2024·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为． ①连接，求线段的长； ②是平面直角坐标系内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①，②或或 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，旋转的性质，平行四边形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）直接将点代入求解即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得，然后再由旋转的性质确定，即可求解； ②由①得， ，设点，分三种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）①过点作轴于点，如图所示． ∵点， ∴，． ∴． 由旋转的性质，可知． ∴． 在中，． ②由①得， ∴，，， 设点， 当为对角线时，， 解得：， ∴； 当为对角线时，， 解得：， ∴； 当为对角线时，， 解得：， ∴； 综上可得：的坐标为或或． 17．（2024·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，延长交反比例函数的图象于点D． (1)填空： （填写“＞”“＜”或“＝”）； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (3)在的平分线上取点E，使，连接，当时，求的面积． 【答案】(1)＝ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据反比例函数的对称性进行求解即可； （2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （3）连接．联立函数解析式求出点 B 坐标为，再求出可得，然后证明，可得． 【详解】（1）∵经过原点，且点B和点D在反比例函数图象上， ∴由反比例函数的对称性可知，． 故答案为：=； （2）如图1所示． （3）如图2，连接． 联立 解得 或 由图可知点 A 在点 B 的左边， ∴点 B 坐标为． 当时，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∵点O是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数的对称性，尺规作角平分线，平行线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握基本几何图形性质是解题关键． 18．（2024·河南濮阳·三模）如图，的顶点 O与坐标原点重合，边在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点C，与边交于点D． (1)求； (2)若点D是的中点，设直线的解析式是，若时，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)x的取值范围是． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求出点的坐标，即可求解； （2）由（1）可得反比例函数的解析式，利用平行四边形的性质及勾股定理求出点坐标，再根据可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：过点作的垂线，交于点，如图： ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把点代入中得： ． （2）解：由（1）可得，反比例函数的解析式， 过点作轴于点，如图： ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 代入得：， ∴点， ∵， ∴由图可知，x的取值范围是：． 19．（2024·河南开封·二模）如图，直线与反比例函数交于点和点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆，连接，取的中点，连接． (1)求和的值； (2)当时，直接写出的解集； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别将代入与中，即可求出和的值； （2）联立直线与反比例函数，求出点B的坐标，再根据即为反比例函数图象在一次函数图象的上方时自变量的取值，结合图象即可解答； （3）由点A，点B的坐标得出点C的坐标，再根据点，为等腰两腰的中点，由勾股定理求出的长，根据即可求解． 【详解】（1）解：将代入中，则，解得：； 将代入中，则，解得：； （2）解：由（1）知直线与反比例函数， 联立，则，即， 解得：或， 当，， 根据题意：， 即为反比例函数图象在一次函数图象的上方， 或； （3）解：∵点，点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ 又 ∴ 又点，为的中点， ∴, ∴，即是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是的直径， ∴的半径长为， ． 【点睛】本题主要考查求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比函数交点问题，等腰三角形的性质以及求不规则图形的面积，勾股定理，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． 20．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点C， 连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； 【答案】(1)， (2) (3)9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及尺规作图，利用图象求不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法，先把代入反比例函数，求出的值，再求出A的坐标，从而求出一次函数的解析式，即可作答．； （2）利用数形结合思想可求解； （3）先作图，再求出的坐标，得出是的中点，得出是的一半，根据梯形面积公式代入数值，即可作答． 【详解】（1）解： 反比例函数图象过， ， 反比例函数的表达式为：， 把代入得：， ， 一次函数的图象过点，点， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：观察函数图象可得，当时，当时，的图象在的图象上方， ∴的解集为：； （3）解：如图： ∵直线与轴相交于点C，一次函数的表达式为 ∴时， ∴ ， ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ 则梯形的面积． 21．（2024·河南郑州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题， （1）先将点代入求出的值，继而可确定点的坐标，再将点、代入得到方程组，求解即可； （2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）根据图像直接写出不等式组的解集即可； 理解交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解∶∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵、在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）设，分别为点，的纵坐标， ∵一次函数与轴交于点， 当时，得：， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积是； （3）∵一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点， 不等式表示反比例函数的图像位于一次函数的下方， 则其解集为：或， 而不等式表示一次函数的图像位于轴的下方， 则其解集为：， ∴不等式组的解集为． 22．（2024·河南安阳·一模）如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求的度数． (3)请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理求出，的长，然后证明是等边三角形，进而可求出． （3）根据求解即可． 【详解】（1）把点 代入 ，得 ． ∴反比例函数的解析式是． （2）∵矩形 中 ， ∴， ，， 由题意知． 由勾股定理得 ， ∴． 由勾股定理得， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （3） 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及扇形的面积公式，证明是等边三角形是解答本题的关键． 23．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点．    (1)求双曲线对应的函数关系式． (2)将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，判断点是否在该双曲线上？说明理由；并求点A运动的路径长l． (3)连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)点在该双曲线上，理由见解析；点A运动的路径长l为； (3)1 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点轴于点B，过点轴于点C，则，求出，证明，则，求出点的坐标为，由勾股定理得到，由题意可得，点A运动的路径是以点O为圆心，以为半径，圆心角为的一段弧，利用弧长公式求解即可； （3）连接，并分别延长与相交于点D，由（2）可知，轴于点B，过点轴于点C，证明是等腰直角三角形，证明四边形是正方形，由即可求解答案． 【详解】（1）解：设双曲线对应的函数关系式为． 把代入得到，， ∴， ∴双曲线对应的函数关系式为． （2）解：过点轴于点B，过点轴于点C，则，    ∵点． ∴， ∴， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点的坐标为， ∵， ∴点在该双曲线上， 由勾股定理得到 由题意可得，点A运动的路径是以点O为圆心，以为半径，圆心角为的一段弧， ∴点A运动的路径长． （3）连接，并分别延长与相交于点D，    由（2）可知，轴于点B，过点轴于点C， ∴， ∵点，点． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴ 即的面积为1． 【点睛】此题考查了反比例函数综合题，考查了旋转的性质、待定系数法求反比例函数解析式、正方形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识，数形结合是解题的关键． 24．（2024·河南新乡·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数交于点，与轴，轴分别交于点，点，且，过点作轴于点． (1)求一次函数解析式； (2)若，求反比例函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式； （1）根据题意得出待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据一次函数解析式可得则，进而根据得出，即点的横坐标为4，代入直线解析式，求得点的坐标为，待定系数法求反比例函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 将代入 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）一次函数解析式为， ， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为4， 点在一次函数的图象上， 点的坐标为， 反比例函数解析式为． 25．（2024·河南新乡·三模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧． (1)求反比例函数的解析式； (2)求弧所在圆的半径； (3)直接写出图中用影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为， ， , ， 所在圆的半径为； 故答案为：； （3）解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 26．（2024·河南驻马店·三模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点． (1)求m的值及反比例函数与一次函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交x轴于点C，交线段于点D（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)连接，求的面积． 【答案】(1)，反比例函数表达式为，一次函数表达式为； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、求函数解析式、垂直平分线的尺规作图等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的表达式为，再求得，得到，利用待定系数法求得一次函数的表达式即可； （2）根据题意作出图形即可； （3）设，根据，列式计算求得，求得与轴的交点的坐标为，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴， 将，代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图所示即为所求作： （3）解：设，如图， 由题意得，即， ∴， 解得，则， 对于函数，令， 则， 则与轴的交点的坐标为， ∴的面积为． 27．（2024·河南平顶山·三模）如图，反比例函数（）的图象与直线的交点，均在正方形网格线的格点上． (1)填空：______，_______，_______． (2)若将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线与双曲线（）是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；； (2)存在，交点坐标为 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键． （1）根据“交点，均在正方形网格线的格点上”，结合图象得出、，分别代入反比例函数和直线解析式中计算得出答案即可； （2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象与直线的交点，均在正方形网格线的格点上， ∴由图象得：、， ∴把代入得：， 把、代入得：， 解得：， 故答案为：；；； （2）解：∵由（1）得：，，， ∴反比例函数解析式为，直线解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度， ∴平移后所得直线解析式为， 令，整理得， 解得：， 当时，， ∴存在交点，交点坐标为． 28．（2024·河南安阳·二模）如图， 菱形的顶点为坐标原点， 点在轴上，点 点为反比例函数上一点． (1)求的值； (2)将菱形以点为旋转中心逆时针旋转，使点的对应点落在负半轴上，求扇形圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由点坐标求出，根据菱形的性质求出点的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出的值； （）过向轴作垂线，垂足为，可得为等腰直角三角形，得到，进而得，又由题意可知菱形逆时针旋转了，据此即可求解； （）根据解答即可求解； 本题考查了坐标与图形，菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，旋转的性质，扇形和菱形的面积，掌握菱形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵菱形，点在轴上， ∴轴，， ∴， 将点坐标代入得，， ∴； （2）解：过向轴作垂线，垂足为，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在轴上，点落在负半轴上， ∴菱形逆时针旋转了， ∴扇形的圆心角度数为 （3）解：． 29．（2024·河南洛阳·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若，求的面积； (3)请直接写出当时，不等式解集． 【答案】(1)一次函数表达式，反比例函数表达式为 (2)的面积为6 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式， （1）先求出，进而得出及，设点C坐标为，代入求出反比例函数表达式及一次函数表达式； （2）先求出直线表达式为，进而得出，即可求出面积； （3）结合图象即可得出结论． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， 当时，，则， 点A横坐标为2， ， ， ， 设点C坐标为， ， ， ， 当时，，即， 把代入， 解得：， 一次函数表达式，反比例函数表达式为； （2），直线表达式， 直线表达式为， 由题意得：， 解得：， ， 当时，， ， ； （3）由图象可知：在点C左侧，正比例函数值小于反比例函数值， 当时，不等式解集为． 30．（2023·河南周口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．    (1)求反比例函数表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线． 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)证明见解析． 【分析】（）先求出点坐标，代入解析式，可求解； （）以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求图形； （）先求出点坐标，点坐标，由面积法可求的长，由角平分线的判定即可求证； 本题考查了待定系数法，作线段的垂直平分线，角平分线的判定，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∵反比例函数 的图象过点， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：如图，以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求；    （3）解：如图，过点作于，    ∵ ，， ∴点， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∵点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的平分线． 31．（2024·河南焦作·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集为 ； (3)点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点代入已求出的反比例函数解析式求出的值，进而得点的坐标，然后将点，的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式； （2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的的取值范围即可； （3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据点，的坐标可求出四边形，根据题意，分三种情况：①点在线段上，即；②当在延长线上时，即；③当在延长线上时，即；由面积关系列方程求解即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入之中得， 反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数之中得， 点的坐标为， 将点，代入之中得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由（1）知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点， 过作轴的垂线，如图所示： 观察函数的图象可知当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方， 的解集为或； （3）解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如图所示： ， ，，，， ， 轴，轴， 四边形为直角梯形， ， 设点的坐标为， 的面积为1， ①点在线段上，即，如图所示： ， ，， ，， ，解得， 此时点的坐标为； ②当在延长线上时，即，如图所示： ，，则，， ，则，解得， 此时点的坐标为； ③当在延长线上时，即，如图所示： ，，则，， ，则，解得， 由于，与当在延长线上时，即矛盾，此种情况不存在； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法与技巧，难点是解答（3）时，根据相关点的坐标向坐标轴作垂线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差． 32．（2024·河南开封·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线分别相交于点，B两点． (1)求反比例函数的解析式． (2)尺规作图：过O作直线的垂线，垂足为点C．（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数，反比例函数与几何图形的综合应用： （1）把代入一次函数解析式，求出的值，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）利用尺规作垂线的方法，作图即可； （3）求出点坐标，利用两点间距离公式即可得证． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入，得：， ∴； （2）如图，点即为所求； （3）设直线交坐标轴与点，如图： 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 联立，解得：或， 经检验，两组解均是原方程组的解， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．（2024·河南郑州·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求k，m的值； (2)已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； (3)观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式， （1）将点坐标代入求出m，将坐标代入反比例函数解析式求出k值即可； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，设点P坐标为，则，列出关于a的方程解答即可； （3）数形结合得到时，a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴． （2）由（1）可知，反比例函数解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或或（舍去）， ∴或， （3）由图象可知，当时，或． 34．（2023·河南新乡·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点，点为反比例函数上一动点，过点M作轴交于点N，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)直线沿y轴方向平移，当的面积最大时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的解析式为：，把代入求得，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式即可； （2）由，轴，得到点，则，得到，即可求得时，的面积最大，从而求得． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵直线的解析式， ∵，轴， ∴点， ∴， ∴ ∴当时，的面积最大， ∴此时． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 35．（2024·河南平顶山·二模）如图，已知，，连接．将线段向右平移1个单位长度，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上． (1)求该反比例函数关系式． (2)设点是轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） (3)连接，并延长与（2）中所作角平分线相交于点．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）首先根据平移的性质得到的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）利用尺规作角平分线的方法求解即可； （3）首先证明出四边形为平行四边形，得到，然后根据等角对等边证明即可． 【详解】（1）将点向右平移1个单位长度到点， 所以的坐标为， 把点代入反比例函数， 得． 即该反比例函数关系式为． （2）如图所示，射线即为所求． （3）由平移可知，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平移的性质，待定系数法求反比例函数解析式，尺规作角平分线，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 36．（2024·河南南阳·一模）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)连接AO、OB，求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点，再运用待定系数法求解析式，即可作答． （2）先求出，再运用割补法进行列式代入数值进行计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：由题意，将B点代入，得． 在双曲线上， ； 将A、B代入一次函数解析式得， ， 直线的解析式为． （2）解：依题意，在中， 令，得， ， ． 即的面积是； （3）解：依题意，结合图象， 则的解集为． 37（2023·河南郑州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点A的横坐标是2．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象向下平移4个单位长度，请在图中直接画出平移后的图象，并求出平移后的图象与反比例函数的图象的交点坐标． 【答案】(1) (2)、 【分析】（1）将代入一次函数，即可求出交点A的坐标，再将交点A的坐标代入反比例函数，即可求解； （2）根据“上加下减”的方法求出平移后的一次函数解析式，将此解析式与反比例函数解析式联立，解方程组，即可求解． 【详解】（1）根据题意，有当时，， 即交点A的坐标为， 将交点A的坐标代入反比例函数，有， 即， 则反比例函数表达式为：； （2）一次函数向下平移4个单位，得到的新的一次函数为：， 联立：， 解得：，或者， 即交点坐标为：、． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了求解一次函数与反比例函数的交点的问题以及一次函数平移的知识．掌握根据“上加下减、左加右减”的规则得到一次函数平移后的解析式是解答本题的关键． 38．（2024·河南南阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集． (3)若点C与点A关于原点对称，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)或 (3)6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求解析式以及三角形面积问题： （1）把A、B两点的坐标代入一次函数的关系式即可求出k、b的值，进而可得出其关系式； （2）观察函数图象，再利用数形结合进行解答即可； （3）求出点C的坐标，运用分割法求出的面积 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：观察图象知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 所以，不等式的解集为或； （3）解：∵点C与点A关于原点对称，且, ∴, 如图， 所以，的面积． 39．（2024·河南周口·一模）如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，交于点D，若的面积是的面积的2倍，的面积为，求反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点．过点作轴于，根据反比例函数的几何意义可得，根据的面积是的面积的2倍，可得，进而可得，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出的面积，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， 已知，是反比例函数图象上的两点， ， 的面积是的面积的2倍， ， ， 轴，轴， ， 又， ， ， ， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为． 40．（2024·河南三门峡·一模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图象交于点，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点坐标为． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的图象和性质，图象的平移，以及求解方程组，熟悉待定系数法求解析式和图象平移后函数解析式的表示是解题的关键． （1）根据点在正比例函数图象上，可求出点坐标，将点坐标代入即可求解； （2）根据函数图象平移的特征，求出图象平移后的直线解析式，然后与联立方程组，求得两组解，根据点位于第一象限，从而确定点坐标． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， 把代入中，即， 解得． 点坐标为． 把代入中，， 解得． 反比例函数的解析式为． （2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 联立方程组， 解得，． 平移后的直线与图象的交点位于第一象限， 点坐标为． 41．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，． (1)求出一次函数的表达式和的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，6 (2)点P的坐标为或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积等知识． （1）把点，代入一次函求出k、b的值即可得出函数解析式，利用待定系数法即可得出m的值； （2）先求出的面积，设，再根据三角形的面积公式求得， 【详解】（1）解：点，在一次函数的图象上， ∴， 解得： ∴一次函数的解析式为 点在反比例函数的图象上， ∴． （2）由直线可知， ∴， ∵， ∴， 设， ∵ ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为或 42．（2024·河南许昌·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或时，；当时，． 【分析】（1）将点A代入反比例函数，求得，将点B代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数和一次函数， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）得反比例函数和一次函数， 联立得， 解得或， ∴， 根据图象可知，，， 当时，或； （3）解：∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 43．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例通数的图象相交于两点，过点A作轴，交轴于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，直线的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，三角形面积公式，是解决问题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m即可得到反比例函数解析式，再将点B纵坐标代入求出点n，最后将点A和点B的坐标代入一次函数解析式，即可求解； （2）根据A、B、P的坐标，运用计算即得． 【详解】（1）将点代入， 得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入， 得，， ∴， 将点，代入， 得，， 解得，， ∴直线AB的解析式为； （2）∵轴， ∴的面积为，． 44．（2024·河南焦作·一模）小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长； (3)直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，可求，进而可得反比例函数的解析式； （2）由题意知，，根据，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的长为； （3）解：由题意知， ， ∴图中阴影部分面积之和为． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，弧长，扇形面积等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，弧长，扇形面积是解题的关键． 45．（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数与正比例函数交于点和点C，与正比例函数交于点B和点D． (1)求k与a的值，并求点B，C，D的坐标； 【答案】(1)，，，， 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，求函数解析式，根据函数交点求出求解析式是解题关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数以及正比例函数解析式，再联立求出交点坐标即可； 【详解】（1）解：把A点坐标代入中得， 把A点坐标代入中得， 由题意得：， 解得：，， ， 解得：，， ∴，，； 46．（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数的图象经过点，轴，点，的平分线交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)菱形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和几何综合，菱形的判定等知识，理由数形结合思想解题是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可得解； （2）证明，再由，判定四边形是平行四边形，继而判定它是菱形． 【详解】（1）解：将点A代入得：， ， 反比例函数的表达式是； （2）四边形是菱形． 理由：∵， ． 平分，即， ， ． ，， ， ． ，， 四边形是平行四边形． 又， 是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$