山东省济南市2023-2024学年高一下学期7月期末学习质量检测数学试题

【新结构】2023-2024学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知i为虚数单位，则复数的虚部是(    ) A. B. C. D. 2.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是(    ) A. “至少一个白球”与“至少一个黄球” B. “恰有一个白球”与“恰有两个白球” C. “至多一个白球”与“至多一个黄球” D. “至少一个黄球”与“都是黄球” 3.在中，记，，若，则(    ) A. B. C. D. 4.若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为(    ) A. B. 2 C. D. 5.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是(    ) A. 众数=平均数=中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 众数<平均数<中位数 D. 中位数<平均数<众数 6.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则m与n平行或异面 7.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大?②你是否经常吸烟?两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为(    ) A. B. C. D. 8.如图，设Ox，Oy是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点A在坐标系Oxy中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是(    ) A. 线段AB中点的坐标为 B. 重心的坐标为 C. A，B两点的距离为 D. 若，则O，A，B三点共线 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知i为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是(    ) A. 所对应的点在第一象限 B. 所对应的点在第二象限 C. D. 10.已知有限集为随机试验E的样本空间，事件A，B为的子集，则事件A，B相互独立的充分条件可以是(    ) A. B. C. D. 11.如图所示，三棱锥中，，其余棱长均为为棱AC的中点，将三棱锥绕DB旋转，使得点C，E分别到达点，，且下列结论正确的是(    ) A.   平面BED   B.     C.   直线与所成的角为   D.   点A，E，B，D，，在同一个直径为的球面上   三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为__________. 13.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，，则使得有两组解的b的值可以是__________写出满足条件的一个值即可 14.在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且平面，均与底面ABCD垂直.点P在侧面上运动，若，则点P的轨迹长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成组，制成如图所示的频率分布直方图. 求a的值并估计参赛学生成绩的分位数; 从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 16.本小题15分 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 求 若，，求的周长. 17.本小题15分 如图1，在菱形ABCD中，是边长为2的等边三角形，将沿对角线BD翻折至的位置，得到图2所示的三棱锥 证明： 若二面角的平面角为，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值. 18.本小题17分 如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且， 已知 ⅰ求的值; ⅱ若，求的面积; 求的最小值. 19.本小题17分 给定三棱锥，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称为的k阶等距平面，称M为的k阶等距集. 若为三棱锥，满足，，求出的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积求出其中的一个即可 如图所示，是棱长为的正四面体 ⅰ若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求a的所有可能取值以及相对应的的个数; ⅱ已知是的4阶等距平面，点A与点B，C，D分别位于两侧.是否存在，使的4阶等距集为，其中点A到的距离为若存在，求出截所得的平面多边形的最大边长;若不存在，说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了复数的概念和运算，属基础题． 先化简复数得，再根据虚部的概念即可求得结果． 【解答】 解：， 所以复数的虚部为 故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件的定义，依次验证即可．  本题主要考查互斥事件的定义，属于基础题． 【解答】 A项中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，故A中的两个事件不是互斥事件. B项中“恰有1个白球”是指有1个白球和1个黄球，与“恰有两个白球”是互斥的， B正确 C项中“至多一个白球”与“至多一个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，故C中的两个事件不是互斥事件. D项中“至少一个黄球”与“都是黄球”可以同时发生，如2个都是黄球，故D中的两个事件不是互斥事件. 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，属于基础题. 根据向量减法的几何意义，便可由得，，进行向量的数乘运算便可用表示出 【解答】 解：因为， 所以， ； 故选 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查棱台的体积公式，属于基础题. 利用棱台的体积公式直接求解. 【解答】 解：因为正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为， 由题意得  故选 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查频率分布直方图、众数、中位数、平均数等基础知识，是基础题． 根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可． 【解答】 解：由频率分布直方图知， 数据组成的众数为左起第2个小矩形下底边中点值， 由题意得在该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于，则众数<中位数， 由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数， 众数<中位数<平均数． 故选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间中直线与平面的位置关系、空间中平面与平面的位置关系，属于基础题. 根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】 解：若，，则m与n可能平行或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，，则平面与平面可相交或平行，故C错误； 若，，，则m与n平行或异面，故D正确. 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题看到古典概型和条件概率，考查统计与概率的综合应用，属于中档题. 由已知，首先求出回答第一个问题的的学生总人数，然后利用条件概率，求出和为奇数且第一颗骰子的点数比第二颗大的概率，得出如实回答第一个问题的学生人数，从而得出如实回答第二个问题的学生人数，再根据回答第二个问题的学生总人数为100，即可得出答案. 【解答】 解：因为先后抛掷两颗骰子，骰子点数和为奇数的事件的概率为， 所以回答第一个问题的的学生总人数约为， 其中第一颗骰子的点数比第二颗大有以下9种结果：，，，，，，，，， 根据条件概率公式得：和为奇数且第一颗骰子的点数比第二颗大的概率， 所以如实回答第一个问题的学生人数约为， 由已知最终盒子中的小石子为57个， 所以如实回答第二个问题的学生人数约为7， 又因为回答第二个问题的学生总人数约为， 因此，该地区中学生吸烟人数的比例约为 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的模和共线平行向量，属于中档题. 利用向量的加减运算，结合题目条件对A进行判断，利用向量的加减与数乘混合运算，结合题目条件对B进行判断，利用向量的数量积求向量的模对C进行判断，利用共线平行向量，对D进行判断，从而得结论. 【解答】 解：对于设线段AB的中点为H， 则， 因此线段AB中点的坐标为，故A正确； 对于设的重心为G，而线段AB的中点为H， 因此， 即 ， 所以重心的坐标为，故B正确； 对于因为， 而，， 所以，而， 因此A，B两点的距离不为，故C错误； 对于因为，所以存在， 使得， 因此，即， 所以，而与有一个公共点O，因此O，A，B三点共线，故D正确. 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查复数的加、减法运算及其几何意义、复数的乘法运算、复数的代数表示及其几何意义、复数的模及其几何意义，属于基础题. 根据复数的相关知识，对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】 解：A选项，因为，， 所以， 所以， 则所对应的点的坐标为，位于第四象限，故A错误； B选项，， 其对应的点的坐标为，位于第二象限，故B正确； C选项，，， 所以，故C正确； D选项，， ，故，故D错误. 故选 10.【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件，属于中档题. 利用相互独立事件的概念，对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】 解：A选项，由可得， 所以，所以A，B不独立，故A错误； B选项，由可得，所以， 所以A，B不独立，故B错误； C选项，由可知，独立， 所以A，B独立，故C正确； D选项，由可得， 所以，B独立，则A，B独立，故D正确. 故选 11.【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查线面平行的判断，线面垂直判断和性质，异面直线所成角，属于中档题. 由线面平行的判定定理判断A；由线面垂直的判定和性质，判断B，求出直线与所成的角，判断C；过O作平面垂线，到到平面距离为，可得到点A，E，B，D，，距离可判断 【解答】 解： 由题意，，A，E，C，，E共面， 可得，E关于BD对称，C，关于BD对称，，，BD相交于O， O为，，BD中点， 在中，E为棱AC的中点，所以，平面BED，平面BED，所以，平面BED，A正确； 若，，O为中点， 所以，，，平面， 平面，因为C，D，，B共面，即平面CBD，显然错误，故B错误； 取中点P，连接OP，为直线与所成的角， ，， 由于，，，DE，平面BDE，平面BDE，， 所以，平面BDE， ，，故C错误； 过O作平面垂线，到到平面距离为， ， 所以点A，E，B，D，，在同一个直径为的球面上，故D正确. 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件概率乘法公式，对立事件的概率，属于基础题． 利用相互独立事件概率乘法公式以及对立事件直接求解． 【解答】 解：甲、乙两人射击，中靶的概率分别为，， 两人同时独立射击，则甲乙都未中靶的概率是： 根据对立事件的概率求法可得至少有一人中靶的概率为 故答案为 13.【答案】3  【解析】【分析】 本题考查利用正弦定理判定三角形解的个数，属于基础题. 利用正弦定理求出，要使有两组解，则需满足：，且，求出b的取值范围，即可求出结果. 【解答】 解：因为，， 所以由正弦定理可得：， ， 要使有两组解，则需满足：，且， ， 的值可以是 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了面面垂直的性质，平面的基本事实及其推论的应用，棱柱的结构特征，线面垂直的性质和弧长及扇形面积，属于较难题. 利用面面垂直的性质，结合平面的基本事实及其推论得底面ABCD，再利用直棱柱的定义得平行六面体是直平行六面体，再利用正棱柱的定义得直三棱柱底面边长为2，侧棱长为3的正三棱柱，取的中点为G，连接，利用正棱柱的结构特征，结合面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质得，结合题目条件解直角三角形得，从而得点P的轨迹是平面内，以G为圆心半径为2的圆落在矩形内的那部分，最后利用弧长公式，计算得结论. 【解答】 解：如图： 过作底面 因为平面底面ABCD，平面，所以平面 因为平面底面ABCD，所以同理可得平面， 因此平面平面，所以底面ABCD， 因此平行六面体是直平行六面体. 因为底面ABCD是边长为2的菱形，， 所以直三棱柱底面边长为2，侧棱长为3的正三棱柱. 取的中点为G，连接，则 在正三棱柱中， 因为平面平面交于，，平面， 所以平面，而平面，因此 在中，因为，，所以， 因此点P的轨迹是平面内，以G为圆心半径为2的圆落在矩形内的那部分. 如下图： 因为，，所以， 因此，所以的长为，因此点P的轨迹长为 15.【答案】解：因为，所以 因为前3组的频率和为， 所以分位数为 因为按分层抽样抽取6人中，成绩在的有人，记为a、b； 成绩在的有人，记为A、B、C、D， 所以从这6人中抽取2人，所有取法有： ab、aA、aB、aC、aD、 bA、bB、bC、bD、 AB、AC、AD、 BC、BD、CD，共15种， 而2人分数都在的有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种， 因此2人分数都在的概率为  【解析】本题考查了频率分布直方图，百分位数，分层随机抽样和古典概型及其计算，属于中档题. 利用频率分布直方图得，再利用百分位数得分位数； 利用分层随机抽样得成绩在和的人数，再利用列举法和古典概型的计算得结论. 16.【答案】解：， 由正弦定理， ， ，， ， 由，得， 又，， 由余弦定理可得：，解得：，， 所以的周长为  【解析】本题考查正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形、逆用两角和与差的正弦公式，属于一般题. 利用正弦定理化简已知式子得出，即可求出结果； 利用正弦定理得出，再利用余弦定理求出b，c的值，即可求出结果. 17.【答案】解：取BD的中点E，连接PE、CE， 为菱形，是边长为2的等边三角形， ，， 、面PEC，且， 面PEC， 又面PEC， ； 过点P作于O， 由可知，， 又平面BCD， 面BCD，即点P在面BCD上的投影为点O， 为直线PB与面BCD所成角， ，， 为二面角的平面角，即， 又， 为等边三角形， 为EC的中点， ， ， 故直线PB与平面BCD所成角的正弦值为  【解析】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质、二面角、直线与平面所成的角，属于中档题. 结合菱形的性质和线面垂直的判定定理可证得面PEC，再由线面垂直的性质定理即可得证； 过点P作于O，结合中的结论可知面BCD，即点P在面BCD上的投影为点O，于是可推出为直线PB与面BCD所成角，为二面角的平面角，再证明为等边三角形，求出PO的值，即可得解． 18.【答案】解：ⅰ因为，所以，因此 因为，，所以， 在中，因为，所以，因此 设，则由得 在中，因为，所以， 而，因此 在中，因为，， 所以由余弦定理得，即，解得或 在中，因为，且为锐角， 所以，因此 当时，，因此， 不满足，因此不为所求. 当时，，因此， 满足，因此，即为所求. 综上所述， ⅱ当时，由ⅰ知：，，而， 因此的面积为. 设，则 因为，所以，因此，， 所以，因此 在中，因为，，， 所以由余弦定理得：， 即， 解得或 当时，， 因此 因为，所以，因此，满足，因此为所求. 当时，， 因此，不满足， 因此不为所求. 因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为  【解析】本题考查了由一个三角函数值求其他三角函数值，利用余弦定理解三角形，三角形面积公式和由基本不等式求最值或取值范围，属于难题. ⅰ由一个三角函数值求其他三角函数值得和，设，利用余弦定理解三角形，结合平面几何知识得，最后通过计算得结论； ⅱ利用ⅰ的结论，结合三角形面积公式得结论； 设，由一个三角函数值求其他三角函数值得，再利用利用余弦定理解三角形，结合平面几何知识得和，再由基本不等式求最值计算得结论. 19.【答案】解：如图，可将三棱锥扩展成长方体， 由，可得， 取AB、BC、CD、AD的中点分别为E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH， 可知，， 则四边形EFGH为平行四边形， 由，平面EFGH，平面EFGH， 可得平面EFGH，同理可得平面EFGH， 则点A、点C到平面EFGH的距离相等，点B、点D到平面EFGH的距离相等， 又线段AB的中点在平面EFGH上， 则点A、点B到平面EFGH的距离相等， 即三棱锥的四个顶点到平面EFGH的距离相等， 可知平面EFGH是三棱锥的一个1阶等距平面， ，， 又，，则， 可得， 则四边形EFGH的面积为， 即的一个1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积为 ⅰ如图①，当点A、B在平面一侧，点C、D在平面另一侧时， 可知平面过棱AC、BC、AD、BD的中点， 此时， 同理可知，当点A、C在平面一侧，点B、D在平面另一侧时，， 当点A、D在平面一侧，点B、C在平面另一侧时，， 综上可知，当时，相对应的有3个； 如图②，当点A与点B，C，D在平面的两侧时， 可知此时平面过棱AB、AC、AD的中点， 此时点A到平面的距离等于点A到平面BCD距离的一半， 而点A到平面BCD的距离为， 则， 同理可知，当点B与点A，C，D在平面的两侧时，， 当点C与点A，B，D在平面的两侧时，， 当点D与点A，B，C在平面的两侧时，， 综上可知，当时，相对应的有4个. 由上可知，或， 当时，相对应的有3个；当时，相对应的有4个. ⅱ根据对称性，不妨设点B到平面的距离为2b，点C到平面的距离为3b，点D到的距离为4b， 取线段AB上靠近点A的三等分点为M，线段AC上靠近点A的四等分点为N，线段AD上靠近点A的五等分点为Q，连接MN，MQ，NQ， 则，，， 设点A到平面MNQ的距离为d， 则点B到平面MNQ的距离为2d，点C到平面MNQ的距离为3d，点D到平面MNQ的距离为4d， 因此平面MNQ即为的4阶等距平面，且使得的4阶等距集为， 即存在满足条件的平面，截的截面为三角形MNQ， ，，， 由余弦定理可得， ， ， 因为， 则三角形MNQ中最大边长为， 故存在满足条件的，且截所得的平面多边形的最大边长为  【解析】本题考查了新定义问题，点到平面的距离，几何体的截面问题，属于难题. 可将三棱锥扩展成长方体，取AB、BC、CD、AD的中点分别为E、F、G、H，可推出平面EFGH是三棱锥的一个1阶等距平面，求得四边形EFGH的面积即可； ⅰ当点A与点B，C，D在平面的两侧时，结合图形可得到的情况以及a，同理可推出相应的个数；当点A与点B，C，D在平面的两侧时，结合图形可得到的情况以及a，同理可推出相应的个数； ⅱ取线段AB上靠近点A的三等分点为M，线段AC上靠近点A的四等分点为N，线段AD上靠近点A的五等分点为Q，连接MN，MQ，NQ，可推出平面MNQ即为的4阶等距平面，且使得的4阶等距集为，再利用余弦定理求得三角形MNQ三边边长即可. 第19页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$