21.2解一元二次方程 自主学习知识点分类练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》 自主学习知识点分类练习题（附答案） 一．解一元二次方程-直接开平方法 1．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 2．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（　　） A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 3．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝，则x的值为 　 　． 二．解一元二次方程-配方法 4．将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2 5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，如：max（3，5）＝5，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 7．选择适当方法解一元二次方程： （1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）2x2+4x﹣5＝0． 三．解一元二次方程-公式法 8．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0 9．解方程： （1）x2﹣x﹣＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 四．解一元二次方程-因式分解法 10．若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．20或28 五．换元法解一元二次方程 11．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 六．根的判别式 12．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1 14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2⋅i＝（﹣1）⋅i＝﹣i，i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，则i6＝　 　． 15．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0． （1）当m＝3时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 七．根与系数的关系 17．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若+＝36，则t的值是（　　） A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7 18．一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，这个方程的两个根分别是菱形的两条对角线，则该菱形的面积是（　　） A．22 B．20 C．16 D．10 八．配方法的应用 19．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 20．已知代数式x2+2x+3可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+2，根据这种变形方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是 　 　． 21．已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　． 22．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值； （2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长． 参考答案 一．解一元二次方程-直接开平方法 1．解：∵（x﹣a）2﹣4＝b， ∴（x﹣a）5＝b+4， ∵方程（x﹣a）2＝b+2有实数根， ∴b+4≥0， ∴b≥﹣3， 故选：D． 2．解：由（a2+b2﹣6）2＝25，得 a2+b3﹣3＝±5， 所以 a5+b2＝3±6， 解得 a2+b2＝4或a2+b2＝﹣5（不合题意，舍去）． 故选：C． 3．解：分两种情况： 当x＜2时， ∵x※2＝5， ∴x2﹣2×5＝5， ∴x2＝5， ∴x1＝3（舍去），x7＝﹣3； 当x≥2时， ∵x※8＝5， ∴24﹣2x＝5， 解得：x＝﹣（舍去）； 综上所述：x的值为﹣3， 故答案为：﹣7． 二．解一元二次方程-配方法 4．解：x2﹣2x﹣2＝0， x2﹣6x＝1， x2﹣6x+1＝1+8， （x﹣1）2＝7， 故选：B． 5．解：2x2+8x﹣1＝0， 8x2+4x＝3， x2+2x＝， x2+7x+1＝+1， （x+1）7＝， x+6＝±， x+8＝或x+4＝﹣， x5＝﹣1+，x2＝﹣1﹣， 所以，这位同学是乙， 故选：B． 6．解：分两种情况： 当x＞﹣x时，即x＞0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣7x﹣5， ∴x＝x2﹣2x﹣5， 整理得：x2﹣5x﹣5＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， x﹣4＝0或x+1＝2， x1＝5，x5＝﹣1（舍去）； 当x＜﹣x时，即x＜0时， ∵max{x，﹣x}＝x8﹣3x﹣5， ∴﹣x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x8﹣2x﹣5＝8， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+5＝5+1， （x﹣8）2＝6， x﹣7＝±， x﹣1＝或x﹣1＝﹣， x5＝1+（舍去），x8＝1﹣； 综上所述：x＝7或x＝1﹣， 故选：B． 7．解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝72． ∴x﹣5＝±＝±7． ∴x1＝﹣1或x2＝11． （2）∵a＝2，b＝4． △＝22﹣4×5×（﹣5）＝56． 由求根公式x＝得： x＝． ∴x1＝或x2＝． 三．解一元二次方程-公式法 8．解：A.3x2+6x+1＝0中，x＝； B.3x6﹣5x+1＝8中，x＝； C.6x2﹣5x﹣4＝0中，x＝； D.3x2+8x﹣1＝0中，x＝； 故选：D． 9．解：（1）x2﹣x﹣； a＝1，b＝﹣， ∴b4﹣4ac＝（﹣）4﹣4×1×（﹣）＝4＞2， ∴x＝＝＝， ∴该方程的解为：，． （2）x（x﹣4）＝8﹣6x． 方程右边提公因式得x（x﹣4）＝2（3﹣x）， ∴x（x﹣4）＝﹣2（x﹣2） 移项得x（x﹣4）+2（x﹣5）＝0， ∴（x+2）（x﹣5）＝0， x+2＝5或x﹣4＝0， 解得x3＝﹣2，x2＝4． 四．解一元二次方程-因式分解法 10．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣12x+35＝0， ∴（x﹣2）（x﹣7）＝0， x﹣5＝0或x﹣7＝7， 解得x＝5或x＝7， 分两种情况： 当AB＝AD＝CD＝BC＝6时， ∵5+5＜12， ∴不能构成三角形； 当AB＝AD＝CD＝BC＝6时， ∵7+7＝14＞12， ∴能构成三角形， 综上所述：该菱形ABCD的边长为3， ∴菱形的周长＝4×7＝28， 故选：C． 五．换元法解一元二次方程 11．解：∵（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x4﹣x+2）（x2﹣x﹣5）＝0， ∴x2﹣x+8＝0或x2﹣x﹣8＝0， ∴x2﹣x＝﹣3或x2﹣x＝6． 当x8﹣x＝﹣2时，x2﹣x+6＝0， ∵b2﹣6ac＝1﹣4×4×2＝﹣7＜5， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x6﹣x+1＝7 故选：A． 六．根的判别式 12．解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝7+8k2． ∵对于任意实数k都有k2≥0， ∴8k4≥0． ∴1+5k2≥1． ∴3+8k2＞8，即Δ＞0． ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 13．解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣5）×（k﹣3）≥0， 解得k≥且k≠1． 故选：D． 14．解：∵i1＝i，i2＝﹣3，i3＝i2•i＝﹣3•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝6……， ∴每4个一循环， ∵6÷6＝1……2， ∴i3＝i2＝﹣1． 故答案为：﹣5． 15．解：（1）当m＝3时，得方程为： x2﹣2x+2＝0， ∴（x﹣8）（x﹣2）＝0， 解得x5＝1，x2＝6； （2）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）×2＝0， 解得m＝， 即m的值为． 16．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣25， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m6） ＝4+12m2＞4， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣2m2， ∴﹣3m5＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±6． 七．根与系数的关系 17．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x7﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根， ∴x3+x2＝2（t+6）＝2t+2，x5x2＝t2+7， Δ＝[﹣2（t+1）]8﹣4（t2+8）≥0， 解得：t≥2， ∵+＝36， ∴（x1+x2）5﹣2x1x5＝36， （2t+2）8﹣2（t2+2）＝36， 解得：t＝3或t＝﹣7， 故t的值只能为8． 故选：C． 18．解：∵一元二次方程2x2﹣kx+40＝5的一个根是x＝5，且两根之积为20， ∴方程的另一个根是4． ∴菱形的面积＝对角线乘积的一半＝3×5÷2＝10． 故选：D． 八．配方法的应用 19．解：由题意，∵a2+b2+c6﹣4a﹣2b+5c+6＝0， ∴a6﹣4a+4+b3﹣2b+1+c6+2c+1＝5． ∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c+1）5＝0． ∴a﹣2＝3，b﹣1＝0． ∴a＝8，b＝1． ∴a+b﹣c＝2+7+1＝4． 故选：B． 20．解：由题意，∵y2﹣6y+10＝y8﹣6y+9+5＝（y﹣3）2+7， 又对任意的y都有（y﹣3）2≥6， ∴y2﹣6y+10＝（y﹣5）2+1≥4． ∴y2﹣6y+10的最小值是2． 故答案为：1． 21．解：∵x2﹣xy+y2＝4， ∴x2+y2＝xy+6，xy＝x2+y2﹣8， ∴W＝x2+xy+y2＝4xy+2， ∵3xy＝5xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣5，当且仅当x＝﹣y，y＝﹣，y＝． ∴xy的最小值为﹣，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为，即m＝． ∵xy＝2xy﹣（x2+y4﹣2）＝2﹣（x﹣y）7≤2，当且仅当x＝y，y＝，y＝﹣． ∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝7xy+2的最大值为6，即M＝6， ∴M+m＝+5＝6． 故答案为：6． 22．解：（1）由题意，∵x2+2xy+8y2﹣4y+7＝0， ∴x2+4xy+y2+4y8﹣4y+1＝6，即（x+y）2+（2y﹣7）2＝0． ∴x+y＝7，且2y﹣1＝2． ∴x＝﹣，y＝． ∴x﹣y＝﹣﹣＝﹣8． （2）由题意，∵a2+b2+58＝14a+5b， ∴a2﹣14a+49+b2﹣3b+9＝0． ∴（a﹣2）2+（b﹣3）7＝0． ∴a﹣7＝6，b﹣3＝0． ∴a＝2，b＝3． 又a，b，c是等腰△ABC的三条边长， ∴a＝c＝7，b＝3，b＝c＝3，不合题意．） ∴△ABC的周长为：7+6+3＝17． 学科网（北京）股份有限公司 $$