精品解析：山东省日照市东港区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

义务教育学校学生发展质量监测2024年春季学期测评 八年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A＝∠B﹣∠C B. a2+b2＝c2 C. a＝3，b＝4，c＝5 D. a：b：c＝4：5：6 3. 如图，是直角三角形，点表示，且．若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）． A. B. C. D. 4. 为迎接中国共产党建党一百周年，某班名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( ) 成绩/分 人数 ■ ■ A. 众数、中位数 B. 众数、平均数 C. 中位数、平均数 D. 众数、方差 5. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图．将沿过点A直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 8. 正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B. C. D. 9. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（　　） A. 6+2 B. 4+2 C. 12+4 D. 6+4 10. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接．则下列结论： ①；②；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 如图，在平行四边形中，过两条对角线的交点，若，，，则四边形的周长是______． 13. 跳远运动员李阳对训练效果进行测试5次跳远的成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0，（单位：m）这五次成绩的平均数为7.8m，方差为0.02．如果李阳再跳一次，成绩为7.8m．则李阳这6次跳远成绩的方差____（填“变大”、“不变”或“变小”）． 14. 如图，在中，平分，于点，于点，，，则______． 15. 正方形，，，…按如图所示放置，点，…和，…分别在直线和x轴上，则点纵坐标是 _________． 16. 等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A（1，1），将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连接CD，CE．当CD＋CE的值最小时，点D的坐标为________． 三、解答题：（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 18. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接交于点O，若，，求的长． 19. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长（单位：cm），宽（单位：cm）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 核桃树树叶的长宽比 a 3 枇杷树树叶的长宽比 2 b 【问题解决】 （1）填空：______，______； （2）A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为枇杷树树叶的形状差别更大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现核桃树树叶的长约为宽的三倍，”以上两位同学的说法中，______同学（填“A”或“B”）的说法合理； （3）若小明同学收集到一片长、宽树叶，试判断该树叶更有可能是核桃树树叶还是枇杷树树叶，并说明理由． 20. 由于新能源电动汽车越来越受到消费者青睐，某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要85万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要50万元． （1）问A型，B型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？ （2）若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，且购进B型新能源汽车数量不低于A型新能源汽车数量的2倍，每辆d型新能源汽车售价25万元，每辆B型新能源汽车售价28万元，那么购进A型、B型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？最大利润为多少？ 21. 如图，在中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点E，过点E作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，则菱形的面积是_________． 22. 如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为． （1）求直线的解析表达式． （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）点在轴上，且，求点坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段的长分别是且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形的对角线上的点处． （1）求的长； （2）求直线的解析式； （3）点在直线上，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 义务教育学校学生发展质量监测2024年春季学期测评 八年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加法运算，直接利用二次根式的性质以及二次根式的加法运算法则计算得出答案，正确掌握掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：，原计算错误，故A选项错误； ，原计算正确，故B选项符合题意； ，原计算错误，故C选项错误； 与不是同类二次根式，不能合并，故D选项错误； 故选：B． 2. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A＝∠B﹣∠C B. a2+b2＝c2 C. a＝3，b＝4，c＝5 D. a：b：c＝4：5：6 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断B、C、D；根据三角形的内角和定理即可判断A． 【详解】解：A、∵∠A＝∠B﹣∠C， ∴ ， ∵， ∴ ，即， ∴△ABC是直角三角形，故A正确，但不符合题意； B、∵a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，故B正确，但不符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴ ， ∴△ABC是直角三角形，故C正确，但不符合题意； D、∵a：b：c＝4：5：6， 设 ， ， ， ∴ ，即 ， 故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用勾股定理逆定理进行计算是解题的关键． 3. 如图，是直角三角形，点表示，且．若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点M表示的数为m，先根据AC、AB的长求出BC的长，即为圆的半径为；再列式m-（-2）=即可求出m的值． 【详解】解：设点M表示的数为m， ∵AC=3AB=3． ∴AB=1，AC=3， 而△ABC是直角三角形，由勾股定理得 BC= 当以点C为圆心，CB为半径画弧时，CM=BC=， ∴m-（-2）= ∴m= 故选：C． 【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离，理清题意，正确表达两点间的距离是解题的关键． 4. 为迎接中国共产党建党一百周年，某班名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( ) 成绩/分 人数 ■ ■ A. 众数、中位数 B. 众数、平均数 C. 中位数、平均数 D. 众数、方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，通过计算成绩为、分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第、位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择． 【详解】解：由表格数据可知，成绩为分、分的人数为(人)， 成绩为分的，出现次数最多，因此成绩的众数是， 成绩从小到大排列后处在第、位的两个数都是分，因此中位数是， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关， 故选：A． 5. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据不等式的解集为一次函数的函数值大于4时所对应的x的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 故选：B． 6. 如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． 7. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．要求金属丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示， 此时这圈金属丝的周长最小为， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 则， 即：这圈金属丝的周长最小为． 故选：A． 8. 正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数自变量的系数为1，可判定一次函数的图象经过一、三象限，再对一次函数和正比例函数分类讨论，若 时，刚好符合题意的是C选项． 【详解】A选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，但图上经过二、四象限，不正确； B选项，一次函数的图象错误，不正确； C选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，正确； D选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过二、四象限，但图上经过一、三象限，不正确； 故选C． 【点睛】本题考查正比例函数和一次函数中、对图象的影响，熟练掌握、决定函数图象过的象限是解决本题的关键． 9. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（　　） A. 6+2 B. 4+2 C. 12+4 D. 6+4 【答案】A 【解析】 【分析】设BC=x，在Rt△ABC中根据∠A=30°，可得AB=2BC=2x，即有，由图②可知△ADP的最大面积为，由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，此时根据AD=BD，可得，再在Rt△ABC中，有，即有，解得x=2，即有BC=2，AB=4，，则问题得解． 【详解】设BC=x，在Rt△ABC中，有∠A=30°，∠C=90°， ∴AB=2BC=2x， ∴利用勾股定理可得：， 由图②可知△ADP的最大面积为， ∵D点AB中点， ∴AD=BD， 由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大， 此时根据AD=BD，可得， 即有， 又∵在Rt△ABC中，， 即有， 解得x=2（负值舍去），即BC=2，AB=4，， 则△ABC的周长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，数形结合得出是解答本题的关键． 10. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接．则下列结论： ①；②；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】①根据菱形的性质可得，，，推得，根据平行线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，即可得出是的中位线，判断①正确；根据菱形的性质可得，结合中位线的性质即可判断②正确；根据中线的性质和全等三角形的性质可得，，即可判断③正确；根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据等边三角形的判定和性质可得，根据菱形的判定即可证明得出④正确； 【详解】解：∵四边形菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴；故①正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∵是的中位线， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 连接，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，中线的性质等，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握以上知识． 根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，过两条对角线的交点，若，，，则四边形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 由在平行四边形中，过两条对角线的交点，易证，则可得，，继而求得四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形的周长是：， 故填：． 13. 跳远运动员李阳对训练效果进行测试5次跳远的成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0，（单位：m）这五次成绩的平均数为7.8m，方差为0.02．如果李阳再跳一次，成绩为7.8m．则李阳这6次跳远成绩的方差____（填“变大”、“不变”或“变小”）． 【答案】变小 【解析】 【分析】根据平均数的求法 先求出这组数据的平均数，再根据方差公式 求出这组数据的方差，然后进行比较即可求出答案． 【详解】解：∵李阳再跳一次，成绩为7.8m， ∴这组数据的平均数是＝7.8， ∴这7次跳远成绩的方差是： S2＝[（7.9﹣7.8）2+（7.6﹣7.8）2+（7.8﹣7.8）2+（7.7﹣7.8）2+（8.0﹣7.8）2]＝， ＜0.02 ∴方差变小； 故答案为：变小． 【点睛】本题主要考查平均数和方差，掌握平均数和方差的求法是解题的关键． 14. 如图，在中，平分，于点，于点，，，则______． 【答案】1.4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．延长，交于点E，先证明是等腰三角形，然后得到AE长，然后利用勾股定理得到，解题即可． 【详解】解：延长，交于点E， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 则， 即， 解得：， 故答案为：． 15. 正方形，，，…按如图所示放置，点，…和，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．根据题意求出，进而找出坐标规律，进行求解即可． 【详解】当时， ， ∴点 的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为． 当时，， ∴点的坐标为． ∵为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为 ， 同理，可知：点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，…， ∴点的坐标为（是正整数）， ∴点的纵坐标为； 故答案为：． 16. 等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A（1，1），将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连接CD，CE．当CD＋CE的值最小时，点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，则当最小时，即最小，作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，求出CG直线方程为：，当时，，即可求出． 【详解】解：∵Rt△AOB和Rt△COB是等腰三角形，且，∠OAB＝∠OCB＝90°， ∴是正方形，， 根据平移的性质可知：，， ∴，， ∴四边形ECBD是平行四边形， ∴， 若最小，即最小， 作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D， ∵, ∴，，， 设CG直线方程为： 将，代入方程得：，解得：， ∴ 当时， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查平移，正方形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，一次函数的解析式，解题的关键是理解若最小，即最小找出此时CG与AD所在直线的交点即为点D． 三、解答题：（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及二次根式的乘法以及二次根式的除法运算． （1）先化简绝对值，计算负整数次幂，再计算二次根式的乘法，最后再计算加减法． （2）先估算无理数的大小，再代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ． 18. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． （1）证，得，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接交于点O，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点G是的中点， ∴是的中位线， ∴． 19. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长（单位：cm），宽（单位：cm）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 核桃树树叶的长宽比 a 3 枇杷树树叶的长宽比 2 b 【问题解决】 （1）填空：______，______； （2）A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为枇杷树树叶的形状差别更大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现核桃树树叶的长约为宽的三倍，”以上两位同学的说法中，______同学（填“A”或“B”）的说法合理； （3）若小明同学收集到一片长、宽的树叶，试判断该树叶更有可能是核桃树树叶还是枇杷树树叶，并说明理由． 【答案】（1），； （2）B，理由见解析； （3）该树叶更有可能是枇杷树树叶，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【小问1详解】 解：把10片核桃树叶的长宽比按从小到大的顺序排列，排在中间的两个数分别为， ∴， 10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵， ∵枇杷树树叶的形状差别更小，故A同学说法不合理， ∵核桃树树叶的长宽比的平均数是、中位数是和众数是， ∴B同学说法合理， 故答案为：B． 【小问3详解】 解：∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶． 20. 由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐，某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要85万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要50万元． （1）问A型，B型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？ （2）若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，且购进B型新能源汽车数量不低于A型新能源汽车数量的2倍，每辆d型新能源汽车售价25万元，每辆B型新能源汽车售价28万元，那么购进A型、B型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）A型新能源汽车的单价为15万元，B型新能源汽车的单价为20万元 （2）购进A型新能源汽车6辆，B型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要85万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要50万元列出方程组求解即可； （2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为w元，先列出w关于m的一次函数关系式，再根据购进B型新能源汽车数量不低于A型新能源汽车数量的2倍列出不等式求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元， 依题意得：， 解得， 答：A型新能源汽车的单价为15万元，B型新能源汽车的单价为20万元； 【小问2详解】 解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为w元， 依题意得：， ， 随m的增大而增大， 又， ， 当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元， 此时（辆）， 答：购进A型新能源汽车6辆，B型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元． 21. 如图，在中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点E，过点E作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，则菱形的面积是_________． 【答案】（1）见解析； （2）96． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法可知，平分，再根据平行四边形的性质可得，从而证明四边形是平行四边形，再利用角平分线的定义证明，即，即可证明结论； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，再由的周长为36，求得，即，利用勾股定理求得，即，再利用菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：由作法可得，平分， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵的周长为36， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：96． 【点睛】本题考查作图−角平分线、平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、勾股定理及菱形的面积公式，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为． （1）求直线的解析表达式． （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）点在轴上，且，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是一次函数的综合题，涉及一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质． （1）先根据直线求出的坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据函数与不等式的关系求解； （3）设点，由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，即点， 将，代入直线中得： ， 解得：， 直线的解析表达式为：； 【小问2详解】 点的横坐标为， 根据函数图像可知，不等式的解集是； 【小问3详解】 直线中，令，则； 令，则， 解得； ，， ，， 设点， ，即， 即， 解得：或， 即点或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段的长分别是且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形的对角线上的点处． （1）求的长； （2）求直线的解析式； （3）点在直线上，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）点N的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得、的长；由勾股定理求得，由翻折的性质可得：，，，在中，由勾股定理可得，解方程求得x的值，即可得， （2）由（1）可得点D的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式即可； （3）过E作，在中，根据直角三角形面积的两种表示法求得的长，再利用勾股定理求得的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得的解析式，再根据平行四边形的性质分两种情况求得点N的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵线段的长分别是且满足， ∴，， ∴，； 设， 由翻折的性质可得：，，， 而， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 【小问2详解】 由（1）点D的坐标为， 设的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：； 【小问3详解】 过E作，在中，， 即， 解得：， 中， ， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 此时， 即， 当以M、A、N、C为顶点四边形是平行四边形且为边时， ∴， ∴，， ∴点N的坐标为或． 如图，当为平行四边形的对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴； 综上：的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$