培优点06平面向量的综合应用（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

培优点06平面向量的综合应用（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　平面向量在几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 【例题1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形中，，则 ； . 【变式3】（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若为内角A的平分线，且，求． 题型二　和向量有关的最值(范围)问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 【例题2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【变式3】（23-24高三下·天津和平·开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值． 命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题 【例题3】（2024·黑龙江·三模）已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，为非零向量，且，，若的最小值为，则的值为（    ）． A． B． C．4 D． 【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 . 【变式3】（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A的大小； (2)若，且，求AP的最小值． 命题点3　与模有关的最值(范围)问题 【例题4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知点、在单位圆上，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·重庆·三模）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·浙江·三模）已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为 ． 【变式3】（2022·上海·模拟预测）已知向量在向量方向上的投影为，且，则的取值范围为 （结果用数值表示） 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 2．（2024·陕西渭南·二模）已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知向量，满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023·山东烟台·二模）如图，在中，，，，点分别在，上且满足，，点在线段上，下列结论正确的有（    ）．    A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．取最小值时， 6．（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点．，过作平面的垂线，垂足为，连，，设，的交点为，在中过作直线交，于，两点，，，过作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．的最小值为 三、填空题 7．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 . 8．（2024·上海闵行·二模）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 . 9．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形中，，，，则 ；若，，则的最大值为 ． 四、解答题 10．（2023·湖北·二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，． (1)若BC边上的高等于，求； (2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值． 11．（2023·四川成都·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若边上的中线长为2，求面积的最大值. 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）若单位向量，的夹角为，则当取得最小值时，的值为（   ） A．－2 B．－1 C． D． 3．（2023高三下·全国·竞赛）已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东青岛·三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 5．（2023高一·全国·单元测试）若，是两个互相垂直的单位向量，且向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案均不对 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 7．（2023·江西景德镇·三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）    A．2 B．1 C． D． 8．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且 10．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心. 11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，且，MN是圆Q：的一条直径，则（    ） A．点P在圆Q外 B．的最小值为2 C． D．的最大值为32 三、填空题 12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为 ． 13．（2023·广西·模拟预测）在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为 ． 14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 . 四、解答题 15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为已知 (1)求角 (2)过作，交线段于D，且，求角. 16．（2022·湖南·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求中的最大值； (2)求边上的中线长． 17．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求的正弦值； (2)求的余弦值． 18．（2023·河南·模拟预测）的内角的对边分别为，已知是边上一点，. (1)求； (2)求的最大值. 19．（2023·四川自贡·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，. (1)求A； (2)求面积的最大值. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2022·安徽黄山·一模）在中,,O是的外心,则的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．2 3．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2022·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 6．（2024·海南海口·模拟预测）已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（    ） A． B．点的轨迹方程为 C．的最小值为6 D．的最大值为 三、填空题 7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为 ． 8．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 9．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 . 四、解答题 10．（2023·重庆·模拟预测）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且． (1)求角A的大小； (2)记的面积为S，若，求的最小值． 11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．    (1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围； (2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点06平面向量的综合应用（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　平面向量在几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 【例题1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选： 【变式1】（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的基本定理得，同时平方化简得，再由余弦定理得，两式联立化简可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】   如图所示，在中，由，得． 又，即， 所以， 化简得．①   在中，由余弦定理得，，②   由①②式，解得．由，得， 将其代入②式，得，解得， 故的面积． 故选：D 【变式2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形中，，则 ； . 【答案】 【分析】根据求出B的大小，从而可判断△ABC的形状，从而求出；再求出，从而求出∠ACD的大小，再根据即可求出． 【详解】∵， 又，故， ∵，故， ∴为等边三角形，则； ∵，∴，又，∴， 得， ∴， 根据以上分析作图如下： 则∠BCD=150°， 则 ． 故答案为：1； 【变式3】（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若为内角A的平分线，且，求． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）记的中点为，利用向量运算证明即可； （2）先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得. 【详解】（1）记的中点为，则， 因为，所以， 所以为的垂直平分线，所以. （2）记， 因为，所以， 所以，， 又为内角A的平分线，所以，， 在中，分别由余弦定理得： ， 联立可得， 在中，由余弦定理得， 所以. 题型二　和向量有关的最值(范围)问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 【例题2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值. 【详解】在线段上，，， 为线段的一个三等分点，，， ， 由平面向量基本定理得，， ， 当时，取得最小值. 故选：C. 【变式1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积定义可得的夹角为，不妨设，，即可得，再利用辅助角公式可得，即可求得其最小值. 【详解】设的夹角为，，， ，，，又， 不妨设，， ，所以，即， ， 由， 当时，即时，有最小值． 故选：B 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】 【分析】方法一：根据题意建立合适的空间直角坐标系，设，根据得出点P的轨迹是球，然后得到点P到平面的距离的最大值，从而根据三棱锥的体积公式求解．方法二：利用向量的几何运算得到，得到点P的轨迹是球，然后得到点P到平面的距离的最大值，从而根据三棱锥的体积公式求解． 【详解】解法一  根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则， 所以， 由，得，故点P的轨迹是以（为正方体的中心）为球心，半径为的球． 连接，易知，，为等边三角形，且边长为， 设点D到平面的距离为， 由，得到，所以， 故可得点O到平面的距离， 故点P到平面的距离的最大值为， 则三棱锥的体积的最大值为． 解法二  连接，取的中点O，则，又，可得，故点P的轨迹是以O为球心，半径为的球， 连接，易知，，为等边三角形，且边长为， 设点D到平面的距离为， 由，得到，所以， 故可得点O到平面的距离， 故点P到平面的距离的最大值为， 则三棱锥的体积的最大值为． 故答案为：. 【变式3】（23-24高三下·天津和平·开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值． 【答案】 /0.5 2 【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面积公式得到，结合和平面向量数量积公式，基本不等式得到的最小值，此时，由余弦定理得到. 【详解】由题意得 ， 故，故； 由三角形面积公式得， 故， 其中， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时 ， 故. 故答案为：，2 命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题 【例题3】（2024·黑龙江·三模）已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，得到，即可求出结果. 【详解】由题知 ， 而，所以当时，有最小值为， 故选：C. 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，为非零向量，且，，若的最小值为，则的值为（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由数量积的定义和模长公式对平方可得，当时，取得最小值，可求出，即可求出的值, 【详解】因为，， 由题意得， 所以当时，取得最小值， 由得，所以． 故选：D 【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】取中点，则，问题转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式求的最小值即可. 【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，. ， 由点到直线距离公式，得：，所以， 所以. 故答案为：6 【变式3】（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A的大小； (2)若，且，求AP的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得 又由知， 即，得，得， 得，所以； 又因为，所以． （2）由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故AP的最小值为 命题点3　与模有关的最值(范围)问题 【例题4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知点、在单位圆上，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】， 因此，. 故选：C. 【变式1】（2023·重庆·三模）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由已知与的夹角为可得，由正弦定理 得，从而可求的取值范围. 【详解】设，如图所示： 则由，又与的夹角为，. 又由，由正弦定理，得， ，， ， 故选：C 【变式2】（2022·浙江·三模）已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，则，由条件求出，根据向量三角不等式可求. 【详解】设，则，则由条件知， 所以，所以， 又 所以． 故答案为： 【变式3】（2022·上海·模拟预测）已知向量在向量方向上的投影为，且，则的取值范围为 （结果用数值表示） 【答案】 【分析】根据向量的投影公式可得，结合向量的数量积公式和的取值范围即可求出的范围. 【详解】由题意知，设向量的夹角为， 由， 得， 又， 又且， ，所以， 所以的取值范围为. 故答案为： 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先判断外接圆圆心是的中点，将化简为，再将分解整理得，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得的最大值. 【详解】 如图，设的外心为，则点是的中点， 由， 因，故,而， 故当且仅当与同向时取等号. 故选：A. 2．（2024·陕西渭南·二模）已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由题意点为的中点， 设， 则，， 故 ， 当时，取得最小值.    故选：A. 3．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得时取得最小值，再根据同角三角函数的平方关系计算即可. 【详解】易知， 由二次函数的单调性可知时上式取得最小值， 即， 所以. 故选：C 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知向量，满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的数量积与模的关系消元化简计算即可. 【详解】设向量，的夹角为，则， 易知，即 所以，所以，即. 故选：D. 二、多选题 5．（2023·山东烟台·二模）如图，在中，，，，点分别在，上且满足，，点在线段上，下列结论正确的有（    ）．    A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．取最小值时， 【答案】BCD 【分析】A选项根据平面向量基本定理和向量共线的性质求解； B选项，结合A选项，用，来表示出，然后由数量积的计算进行说明； C选项，取中点，则，问题转化成定点到线段上动点的距离最小值； D选项，通过转化先推出取得最小值时，也取最小值，然后用面积的割补计算. 【详解】   A选项，点在线段上，则，使得，则， 又，，故， 根据题干若，由平面向量基本定理可知：， 于是，A选项错误； B选项，根据A的分析，若，此时，故，， 于是， 由，，，代入数据由向量的数量积可得，即，B选项正确； C选项，取中点，则，由，于是，由，， 故为等边三角形，故，根据中位线可知，//， 于是，在中根据余弦定理可得，为锐角，又， 故过作的高线时，垂足点落在线段上，由题意垂足点为时， 最小.最小值为，C选项正确； D选项，， 在中，根据余弦定理可求得，即， 根据C选项可知，最小时也最小. 根据，根据C选项的分析，，故，注意到， 故， 故，D选项正确. 故选：BCD 6．（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点．，过作平面的垂线，垂足为，连，，设，的交点为，在中过作直线交，于，两点，，，过作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】过作平面的垂线，垂足为，连接、、，设、的交点为，在中，过作直线交，于，，由相交直线确定平面，得到四边形是过的截面，结合平面向量基本定理，基本不等式及体积求解逐项判断能求出结果． 【详解】由题意可知，四棱锥为正四棱锥， 过作平面的垂线，垂足为，则O为底面中心，连接、、， 设、的交点为，在中，过作直线交，于，， 由相交直线确定平面，得到四边形是过的截面， 由题意得，是等边三角形，是的重心， 则，故A正确； 又设，，，， ，由三点共线得，解得，故B正确； 易知平面,故平面， 则E到平面的距离为，同理G到平面的距离为2, 又为的中点，则到平面的距离为1， ， ，故C错误; 易知， 故， ， ，，， 当且仅当．取等号， ， ．故D正确. 故选：ABD      【点睛】关键点点睛：本题考查正棱锥性质及向量应用，解决问题关键是利用向量共线得结合基本不等式求最值. 三、填空题 7．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据数量积的定义和运算律可得，结合二次函数分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 8．（2024·上海闵行·二模）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，的最小值为， 故答案为：. 9．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形中，，，，则 ；若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由求出，然后由平方后求得，把用表示后求数量积化为的函数可得最大值． 【详解】由已知， 所以，所以， ； 因为，， 所以， ， ， 所以时，取得最大值． 故答案为：；． 四、解答题 10．（2023·湖北·二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，． (1)若BC边上的高等于，求； (2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得（用表示），然后利用余弦定理求得. （2）先求得，利用向量法求以及基本不等式求得长度的最小值. 【详解】（1）过作，垂足为，则， ， ， 在三角形中，由余弦定理得. （2）， ，两边平方得 ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 11．（2023·四川成都·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若边上的中线长为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再结合余弦定理即可求解； （2）利用中线向量公式，结合数量积的运算可得，结合基本不等式与三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 根据余弦定理可得， 又因为，所以； （2） 是 上的中线，，即， ，即 ， 当且仅当 时，等号成立， ，即面积的最大值为 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】求出的值，写出的表达式，即可求出最小值. 【详解】由题意， ∵， ∴， ∵， ∴，， 当时，取得最小值， ∴的最小值为， 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）若单位向量，的夹角为，则当取得最小值时，的值为（   ） A．－2 B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算性质，将平方后即可求解. 【详解】由题意知，因为，所以当时，取得最小值． 故选：C． 3．（2023高三下·全国·竞赛）已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得出，即可根据二次函数最值问题得出时，取得最小值，即取得最小值，再根据已知列式解出，即可根据同角三角函数关系得出答案. 【详解】平面向量，满足，， 则， ， ， 则时，取得最小值，即取得最小值， 故，解得：， 则， 故选：B. 4．（2023·山东青岛·三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】建立平面坐标系，用坐标表示，，，利用数量积的坐标运算计算即可. 【详解】由题意不妨设，则，且， 解之得或， 由， 即的终点C在以为圆心，1为半径的圆上，故， 由圆的对称性，不妨令，即，连接AD交圆于E，由点与圆的位置关系可知 . 故选：A    5．（2023高一·全国·单元测试）若，是两个互相垂直的单位向量，且向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案均不对 【答案】A 【分析】取，引入向量坐标后处理表达式，找出向量满足的关系，最后用模长公式结合二次函数的性质求的范围 【详解】根据垂直可得，不妨取，设， 于是，，并取，注意到. 于是. 故点在线段上运动，由直线的截距式方程可得，直线方程为：，即， 设，，则，，故， 设，，则； 由，，于是时，， 于是. 故选：A 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 7．（2023·江西景德镇·三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为，则可表示出，即可计算出和两点间的距离. 【详解】设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为， 则，， 则， 所以， 所以， 故选：D. 8．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题目条件，得到，画出草图，利用等和线得到，过O点,C点分别向AB做垂线，得到两个相似比为1比3的直角三角形，设出∠CAB=θ，然后利用角表示边，通过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出的大小 【详解】解析：作，，，由题意， 设直线与直线交于点， ∵（，）， ∴点在线段上（不含端点） 又，结合等和线性质，可知 作于，于， 有， 记 ①当点在线段上时，， 由，得，可解得，进而有 此时，， （注：点为线段的中点，在线段上，符合题意） 可得，所以 ②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，. 故选：A 二、多选题 9．（2023·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且 【答案】AC 【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】因为，，， 所以，， 选项A：，所以A正确； 选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误； 选项C：因为，所以，所以，所以C正确； 选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得 ，所以D错误. 故选：AC 10．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心. 【答案】BD 【分析】对于A，设，由题意可得或，再根据平面向量的坐标表示计算即可；对于B，如图，设为的中点，根据数量积的定义即可得解；对于C，当时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 因为点在直线上，且， 所以或， 则或， 所以或，解得或， 所以或，故A错误； 对于B，如图，设为的中点，则， 则，故B正确； 对于C，当时，， 满足，则与不一定相等，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 同理可得， 所以是的垂心，故D正确. 故选：BD. 11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，且，MN是圆Q：的一条直径，则（    ） A．点P在圆Q外 B．的最小值为2 C． D．的最大值为32 【答案】BCD 【分析】根据化简可得，即可得P点轨迹，进而根据圆A与圆Q外切求解A，根据即可求解B，根据向量数量积的运算律即可求CD. 【详解】对A，由，得，整理得，    所以点P在以为圆心，2为半径的圆上，记为圆A，如图． 因为，所以圆A与圆Q外切．当点P为两圆的公共点时，点P在圆Q上，故A错误． 对B，由题意，得，故B正确． 对C，，故C正确． 对D，．而， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得、、都可用基底、表示，将左右平方后所得式子与重要不等式联立可得，将、代入中计算即可. 【详解】设AC=b，AB=c， 则， ∵D为边BC的中点， ∴， ∴，即：，① 又∵，当且仅当时取等号. ② ∴由①②得：. 又∵E、F分别为BD、DC的中点， ∴，， ∴，当且仅当时取等号. ∴的最大值为. 故答案为：. 13．（2023·广西·模拟预测）在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用向量法求得的取值范围，进而求得面积的最大值. 【详解】在中，设，，， 由，则，则， ，即， ，当且仅当时取等号． 所以面积的最大值为． 故答案为： 14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件进行变形，得到，由此可以证明. 之后再使用向量的坐标运算将表示为关于的表达式，利用即可证明，最后给出一个的例子即可说明的最大值是. 【详解】由，，，，知，，，，从而，，. 由于，，故条件即为，展开得到，再化简得，所以，故我们有，从而. 由于，，，，故，从而. 经验证，当，时，条件满足. 此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定点的距离之比恒为常数的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于的阿波罗尼斯圆. 使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论. 四、解答题 15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为已知 (1)求角 (2)过作，交线段于D，且，求角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为变换角，最后进行三角恒等变化即可求解； （2）利用，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得. 【详解】（1）由正弦定理得：． ∵，∴， ∴ ∴， 又，∴，又为三角形内角，∴． （2） 因为在边上，且，所以． 因为，所以， 即， 所以． 在中，由，，可得. 16．（2022·湖南·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求中的最大值； (2)求边上的中线长． 【答案】(1)最大值为 (2) 【分析】（1）先判断为最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值. （2）由可得求中线长. 【详解】（1），故有， 由余弦定理可得， 又，，故． （2）设边上的中线为，则， ， ，即边上的中线长为． 17．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求的正弦值； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分别在和，求得和，结合和互补，求得，再在中，求得，即可求解； 解法2、由题意，求得，根据，结合的面积为面积的，列出方程，即可求解； （2）解法1、由余弦定理求得，得到，，在中，由余弦定理求得，即可求解； 又由，所以． 解法2、由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得， 即，所以， 所以， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 与互补，则，解得， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以． 解法2、由题意可得，， 由AM为边BC上的中线，则， 两边同时平方得，，故， 因为M为BC边中点，则的面积为面积的， 所以， 即， 化简得，． （2）解：方法1、在中，由余弦定理，得， 所以， 由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心， 可得，， 在中，由余弦定理，得， 又由，所以． 解法2： 因为BN为边AC上的中线，所以， ， ，即． 所以． 18．（2023·河南·模拟预测）的内角的对边分别为，已知是边上一点，. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，得解； （2）由，知，将其两边平方后，结合基本不等式，计算可得，再由平面向量数量积的运算法则，得解． 【详解】（1）由正弦定理及知，， 因为，所以， 所以． （2）因为，所以， 又， 所以，整理得， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最大值为． 19．（2023·四川自贡·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，. (1)求A； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由使用三角恒等变换求得值； （2）将用表示，由 求得关系，使用基本不等式求的最大值，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）因为，因为，所以. （2）由得，， 所以. 所以. 所以. 所以，当且仅当时等号成立. 所以. 所以. 故面积的最大值 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2022·安徽黄山·一模）在中,,O是的外心,则的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】取中点为,将写为,展开后,将作为一组基底,将其他向量写为的形式,再将三角形的边和角代入,用余弦定理将边角之间关系代入上式,再用正弦定理求出变量范围,求出最大值即可. 【详解】解:由题知,记的三边为, 因为O是的外心, 记中点为, 则有, 所以 且, 所以 ①, 在中,由余弦定理得: , 即, 即, 代入①中可得: , 在中,由正弦定理得: , 所以, 所以, 当时取等, 故的最大值为3. 故选:C 2．（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到，利用基本不等式“1的妙用”求出最小值. 【详解】在中，E为重心，所以， 设，，（，） 所以，，所以. 因为M、E、N三点共线，所以， 所以（当且仅当，即，时取等号）． 故的最小值是3． 故选：C． 3．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】构造向量，利用向量垂直和，结合基本不等式得出的最大值2，结合图形可得答案. 【详解】如图，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且， 由题意得：，令，则三点共线, ，则三点共线, 故有共线，由题意与垂直，，知，且为定值， 在中，，当且仅当时，取最大值2， 此时面积最大，则到的距离最远，而，故当且仅当， 即关于轴对称时，最小，此时到的距离为， 所以，故，即的最小值为. 故选：D. 4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 即，所以，所以， 又，， 则， 所以，即， 由，，， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，， 所以当取最大值时，. 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题. 二、多选题 5．（2022·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】A选项，可举出反例，当不共线且为负数时，；B选项，根据定义得到B正确；C选项，根据题意得到共线；D选项，结合正弦函数的值域得到D正确. 【详解】对于A，，， 若不共线,且为负数，则，而， 此时，故A错误； 对于B，由定义知，，故B正确； 对于C，若，则，共线，故C错误； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BD 6．（2024·海南海口·模拟预测）已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（    ） A． B．点的轨迹方程为 C．的最小值为6 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】A选项，由垂径定理得到，从而得到，；B选项，由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，得到轨迹方程；C选项，由极化恒等式得到，结合点的轨迹方程，得到的最小值；D选项，转化为点到直线的距离问题，可看作点到直线的距离，结合点的轨迹方程，求出最大值，得到答案. 【详解】A选项，由题意得，半径为， 由垂径定理得⊥，则，解得， 由于，则，故，A错误； B选项，由A选项可得，，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 故点的轨迹方程为，B正确； C选项，由题意得，， 两式分别平方后相减得，， 其中，又点的轨迹方程为， 所以的最小值为，故的最小值为，C正确； D选项，可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 故可看作点到直线的距离， 点的轨迹方程为， 故点到直线的距离最大值为圆心到的距离加上半径， 即，故， 所以，故最大值为，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：向量恒等式，及是常用等式，要学会合理利用这两个式子解题． 三、填空题 7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由，则，方法一：利用正弦定理可得，当时，可求得结果；方法二：作出△ABC的外接圆，当AC为圆的直径，即时，可求. 【详解】法1：设，，则，如图所示． 因为，所以在△ABC中，，， 由正弦定理，得即，得， 当时，． 法2：设，，则，作出△ABC的外接圆，如图所示． 因为，所以，因为， 当AC为圆的直径，即时，． 故答案为：2 8．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得，表示点与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解. 【详解】由，得， 即，解得. ， 表示点与点的距离之和. 如图，点关于x轴的对称点为，连接， 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）. 9．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】一方面，而，，不重合，所以；另一方面，设中点为，那么，设在六边形的端点上，同理不妨设在六边形的端点上．分四种情况即可得，剩下的只需证明何时取等并且可以遍历中的每一个数． 【详解】首先， ，这里是最长的那条对角线的长度， 等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾. 所以. 另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明： 设中点为，那么， 然后，设A所在的边的端点为，则， （这是因为，记，其中为原点，确定的， 那么是一次函数，从而t属于时，有） 所以我们可以不妨设A在六边形的端点上. 同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上. 此时分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时， 综上，， 所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有， 这就说明，互不重合时，有， 然后，取等条件如图所示： 具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点）， 使得，并且只沿着最近的轨道， 这样在的情况下，互不重合 同时设，那么，而连续， 所以在的情况下，必定取遍， 这就意味着，的取值范围就是， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时 四、解答题 10．（2023·重庆·模拟预测）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且． (1)求角A的大小； (2)记的面积为S，若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果； （2）根据题意可得，，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）因为，即 由正弦定理可得，，化简可得， 且由余弦定理可得，，所以， 且，所以. （2）    因为，则可得， 所以 且， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以 11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．    (1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围； (2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定，根据数量积的运算律求得则，，可得，即可求得答案； （2）将平方可得，根据数量运算律求出，以及求得向量和向量的模，即可求得的表达式，结合余弦函数性质利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由题意知O到弦AB的距离是，则， 故，且， 记劣弧的中点为D，    则， ， 两式相加得， 故， 由于，故， 即的取值范围为； （2）设， 由可得， 即，结合可得， 故， 而， 由于向量和向量的夹角为， 故 ， 令，则在上单调递增， 则， 即得最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$