第02讲 空间向量的数量积运算（3个知识点+4种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第02讲 空间向量的数量积运算（3个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1：空间两个向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 知识点2：空间向量的数量积 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 知识点3：空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 要点：空间向量数量积的应用 1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点确定的线段用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|. 题型1 空间向量的数量积运算 【例题1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 【变式1】（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示长方体中，是的中点，，，求： (1)； (2) 题型2 利用数量积求夹角 【例题2】（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，和均是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则异面直线与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·新疆喀什·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小是    【变式3】（23-24高二上·吉林松原·期中）（1）设两条异面直线的方向向量分别为，求直线与直线所成的角的大小. （2）设直线的方向向量为，平面的法向量为，求直线与平面所成角的正弦值. 题型3 利用数量积证明垂直关系 【例题3】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 【变式1】（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【变式2】（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【变式3】（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 题型4 利用数量积求距离 【例题4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知是平行六面体，， ，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【变式2】（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【变式3】（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 一、单选题 1．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 3．（23-24高二上·河北石家庄·期中）三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 5．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 6．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 10．（23-24高二上·河北承德·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（    ） A． B． C．平面 D．直线与AC所成角的正弦值为 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在平行六面体中，，，则 . 13．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 14．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角的余弦值. 16．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，在三棱锥中，DA、DB、DC两两垂直，且，E为BC的中点． (1)证明：； (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值． 18．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 19．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量的数量积运算（3个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1：空间两个向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 知识点2：空间向量的数量积 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 知识点3：空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 要点：空间向量数量积的应用 1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点确定的线段用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|. 题型1 空间向量的数量积运算 【例题1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】C 【分析】根据三棱锥体积得到点到平面的距离为2，设点在平面的投影为点，求出，建立平面直角坐标系，求出的最小值为，从而求出答案. 【详解】， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设点在平面的投影为点， 则，， 则 ， 如图所示，取的中点为原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量数量符号的运算性质，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 【答案】 【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示长方体中，是的中点，，，求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积定义运算，可得答案； （2）根据向量的线性运算转化，再利用数量积运算可得答案. 【详解】（1）因为是长方体，且，所以 ，， 因此. （2）由题意，，， 所以 因为，，所以， 所以 题型2 利用数量积求夹角 【例题2】（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，和均是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则异面直线与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长公式可得向量的夹角，进而可得异面直线的夹角. 【详解】由于，所以， 即, 化简得， 由于，所以， 故异面直线与夹角的大小为， 故选：C 【变式1】（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的大小. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，， ， 因此，异面直线与所成的角的大小为. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·新疆喀什·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小是    【答案】 【分析】根据空间向量的异面直线夹角求法即可得到答案. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2， 则，，，， 则，， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为， 又因为异面直线夹角范围为，所以夹角为， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·吉林松原·期中）（1）设两条异面直线的方向向量分别为，求直线与直线所成的角的大小. （2）设直线的方向向量为，平面的法向量为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据空间向量坐标运算即可得直线与直线夹角余弦，从而得所成的角的大小； （2）根据空间向量坐标运算求解直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】（1）设直线与所成的角为，则， 又，故，即直线与直线所成的角的大小为； （2）设直线与平面所成角的正弦值为． 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 题型3 利用数量积证明垂直关系 【例题3】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积运算即可证明. （2）利用向量的夹角公式即可计算. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以，即． （2）因为， 所以，， 所以． 所以，． 所以 【变式1】（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量的运算以及垂直的向量表示进行证明. 【详解】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 【变式2】（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1），结合向量数量积运算，求模即可. （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【详解】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 【变式3】（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 题型4 利用数量积求距离 【例题4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知是平行六面体，， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法和数量积求解即可. 【详解】由题意可得 ， 所以， 故选：A 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【分析】由平方求解. 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 【变式3】（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 一、单选题 1．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 2．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】利用正四面体的性质，结合空间向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】将正四面体放在正方体中，如图，    因为在正四面体中，棱长为2，两两夹角为， 所以， 因为是棱中点，所以， 又， 所以 . 故选：A. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期中）三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算，表示出，根据可得，结合数量积运算，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 而，故， 即，所以， 则，解得， 即， 故选：A 4．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 5．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【详解】设，由题意得， 则. 设， 则,故. 由得， 得， 所以 ， 故选：D 6．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】过和分别作，， 在矩形，， ， ，则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ， ， ， 则， 即与之间距离为， 故选：B． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 8．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 10．（23-24高二上·河北承德·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（    ） A． B． C．平面 D．直线与AC所成角的正弦值为 【答案】AC 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质和定义、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】以为空间一组基底，， ， 所以，A选项正确； ，所以 ， 所以，B选项错误； 依题意可知，四边形ABCD是菱形， 所以，且，由于，，平面， 所以平面，C选项正确； 设直线与AC所成角为，， ， ， ， ， 所以， ，D选项错误． 故选：AC． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间向量基本定理、空间向量夹角公式. 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算判断AD，利用基底法结合空间向量的数量积运算判断BC. 【详解】棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， 则两两夹角为，， 所以， 对于A，，正确； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，正确； 对于D，因为， 所以，错误. 故选：AC 三、填空题 12．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在平行六面体中，，，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量基本定理，得到，即可求出. 【详解】在平行六面体中，. 因为，所以. 所以 . 故答案为： 13．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 14．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解异面直线的夹角. 【详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为3，又， 则 ， 则 ， 故 ， 故直线与直线所成角的余弦值为 . 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明，故． （2）利用空间向量法，利用向量的夹角公式求异面直线EF与所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以， 所以，故． （2）因为，所以． 因为，且， 所以． 16．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用空间向量的数量积计算模长即可； （2）利用空间向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1）由题意易知， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 即； （2）由（1）可知， 所以异面直线与BC所成角的余弦值为. 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，在三棱锥中，DA、DB、DC两两垂直，且，E为BC的中点． (1)证明：； (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间直角坐标系原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，再根据证明即可； （2）根据空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）以为空间直角坐标系原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 故，， 则，故. （2）由（1），， 则， 故直线AE与DC的夹角的余弦值为. 18．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 19．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$