第01讲 认识三角形（7个知识点+17大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第01讲 认识三角形（7个知识点+17大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1、 了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；了解三角形的稳定性； 2、 理解三角形的分类；理解三角形及与三角形有关的线段的概念； 3、 掌握并证明三角形两边的和大于第三边； 4、 理解三角形内角、外角的概念； 5、 探索并证明三角形的内角和定理； 1、 了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；了解三角形的稳定性； 2、 理解三角形的分类；理解三角形及与三角形有关的线段的概念； 3、掌握并证明三角形两边的和大于第三边； 4、理解三角形内角、外角的概念； 探索并证明三角形的内角和定理； 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即学即练1】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即学即练2】 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即学即练3】 3．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图1是一根细铁丝围成的正方形，其边长为2，现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【即学即练4】 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合拢任务，如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．三线合一 B．三角形的稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 知识点5 三角形的重要线段 【即学即练5】 5．（22-23七年级下·湖北恩施·期中）如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（　　）    A．6 B．4.8 C．2.4 D．5 【即学即练6】 6．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　）    A． B．1 C．2 D．7 知识点6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即学即练7】 7．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 知识点7 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即学即练8】 8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，直线交，于点H，G，直线交于点M，两直线交于点 F，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 题型01 三角形的相关概念 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，边的对角 ． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 题型02 三角形的稳定性 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，木工师傅在做完门框后为防止其变形，会钉上两条斜拉的木板条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（   ） A．两直线相交，只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 2．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 题型03 构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·广东梅州·期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来． 题型04 三角形三边关系 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）的三边分别为a，b，c，若，，c的长为偶数，则的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个． 3．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）解决下列问题： (1)若，求的值； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且是最长边，求的取值范围． 题型05 画三角形的高 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）学习了三角形的“中线、高线、角平分线”后，老师给同学们布置了一项作业：作的边上的高．下面是四位同学的作业，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ． 3．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．请利用格点和直尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上画出线段； (3)利用格点在图中画出边上的高线； (4)在网格中找一个格点，使． 题型06 与三角形的高有关的计算 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中 ，分别是边上的高和中线．若，则的面积是      3．（23-24七年级下·贵州黔西·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 题型07 根据三角形中线求长度 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D是的中点，已知，的面积为9，则的最小值为 ． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 题型08 根据三角形中线求面积 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，若的面积为2，则的面积是 ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      题型09 三角形内角和定理的证明 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 2．（21-22八年级上·北京·期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC= ． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形的顶点作，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题． 已知：如图1，在三角形中，过顶点作． 求证：． 证明：， ①_____，②_____．（③_____） ，（平角定义） ④_____⑤_____．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点的位置一般化（如图2），换成三角形边上的任意一点，过顶点分别作平行于的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中都与地面平行，，，当______时，． (1)补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． (2)对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． (3)在图4中，当______时，． 题型10 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，． (1)问题解决：若，则 ； (2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； (3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 题型11 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点．则与的度数和为 ． 3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，于点D，点E为边上一点． (1)若平分，，，求的度数． (2)在（1）条件下，直接写出______． 题型12 三角形中折叠中的角度问题 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 题型13 三角形内角和定理的应用 1．（2024·四川达州·模拟预测）如图，，平分，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，，是钝角，平分交于点，平分交于点，点在线段上，若，则与之间的数量关系为 ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点，判断的形状，并说明理由． 题型14 直角三角形的两个锐角互余 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的平分线，中，是边上的高，又有，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在中，于D，于F，点E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型15 三角形外角的定义与性质 1．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北沧州·期末）将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合． (1)如图1，平分，平分，交于I，则______°． (2)如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D． ①直接写出，则______°． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 题型16 三角形角平分线的定义 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 题型17 利用网格求三角形面积 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 2．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的方格图，在该方格图中． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应），请在方格图中画出； (2)画出边上的中线； (3)请求出的面积． A夯实基础 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图①是一种创意花瓶摆件，图②是从其正面看的示意图，在中，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）把一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，，，则的度数为 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的取值范围是 ． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． 6．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． B能力提升 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（    ） A．9 B．5 C．4 D．14 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫做法线．光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等．如图，两束光线分别从不同方向射向镜面，入射点为和为法线，的反射光线相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，一副直角三角板的一条直角边分别与直线重合，，，将三角板沿方向运动，连接，若，则的度数为 ． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图是一张三角形纸片，，若 沿 的垂直平分线 折叠，折痕与 交 于点 ， 再沿过点 的直线 折叠，点 恰好落到点 处，则的度数为 ． 5．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，点在直线上，，平分交于，． (1)求证：； (2)若平分，：，求的度数． 6．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． C综合素养 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若，则以下结论：①；②；③与互余；④与互补，其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 已知的面积是24，、分别是、边上的中点， 连接、， 若是线段上的三等分点， 则的面积是 ． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，分别平分和，且相交于点， ，于点，则下列结论：①；②平分；③；④，其中所有正确的结论是 ．(填序号) 5．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知在中 (1)，求的度数； (2)、、是的三条边长，其中、满足，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，点P为平面内一点，且点P不在直线，上． (1)如图1，若点P在直线，之间，，，求的度数； (2)如图2，若点P在直线的上方，，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识三角形（7个知识点+17大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1、 了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；了解三角形的稳定性； 2、 理解三角形的分类；理解三角形及与三角形有关的线段的概念； 3、 掌握并证明三角形两边的和大于第三边； 4、 理解三角形内角、外角的概念； 5、 探索并证明三角形的内角和定理； 1、 了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；了解三角形的稳定性； 2、 理解三角形的分类；理解三角形及与三角形有关的线段的概念； 3、掌握并证明三角形两边的和大于第三边； 4、理解三角形内角、外角的概念； 探索并证明三角形的内角和定理； 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即学即练1】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，逐项验证即可得到答案，熟记三角形定义是解决问题的关键 【详解】解：由三角形定义可知A，B，C均不是三根木棒拼成的三角形，只有D是三根木棒拼成的三角形， 故选：D． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即学即练2】 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选C 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即学即练3】 3．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图1是一根细铁丝围成的正方形，其边长为2，现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，由三边关系得到边长度小于4是解题的关键． 根据三角形三边关系判断即可． 【详解】解：铁丝的总长度为， 根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，即，当时，， ∴边长度小于4， 故选：A． 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【即学即练4】 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合拢任务，如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．三线合一 B．三角形的稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可得出答案，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键． 【详解】解：桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 知识点5 三角形的重要线段 【即学即练5】 5．（22-23七年级下·湖北恩施·期中）如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（　　）    A．6 B．4.8 C．2.4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短和利用面积法求线段长是解题的关键． 过C作于F，交于E，此时，值最小，最小值等于，利用面积法求出长即可求解． 【详解】解：过C作于F，交于E，    则的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为：4.8， 故选：B． 【即学即练6】 6．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　）    A． B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟练掌握三角形的中线是解题的关键． 由三角形中线的定义可知，然后根据三角形的周长的定义知与的周长之差为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，． ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为：． 故选：C． 知识点6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即学即练7】 7．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【答案】D 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）．    故选D 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 知识点7 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即学即练8】 8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，直线交，于点H，G，直线交于点M，两直线交于点 F，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键； 先利用三角形的外角性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】是的一个外角 , ，， ， ， ， 故选∶A． 题型01 三角形的相关概念 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据三角形的定义即：由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C，中的三条线段没有首尾顺次连接，故不是三角形， C中的三条线段首尾顺次连接，且不在同一条直线上，故C满足题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的定义与判定，能够深刻理解三角形的定义是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，边的对角 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是三角形的概念，根据三角形相关概念直接解决即可． 【详解】解：在中，边的对角是， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)7个，见解析 (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 题型02 三角形的稳定性 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，木工师傅在做完门框后为防止其变形，会钉上两条斜拉的木板条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（   ） A．两直线相交，只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，掌握三角形的特点和性质是解题关键． 根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故选：D 2．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在生活中的具体应用，根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是三角形的稳定性． 题型03 构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·广东梅州·期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴，，能构成三角形； B、∵， ∴，，不能构成三角形； C、∵， ∴，，不能构成三角形； D、∵， ∴，，不能构成三角形． 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵ ∴符合题意的只有②③④． 故答案为：②③④． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来． 【答案】一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒 【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒不可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 综上所述，一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 题型04 三角形三边关系 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）的三边分别为a，b，c，若，，c的长为偶数，则的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，这是判断第三边范围的主要依据．先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：，， ，即， c的长为偶数， ， 的周长为， 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边的长为，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，进而得到答案． 【详解】解：设第三边的长为，则 ， 所以． 为整数， 可取3，4，5，6，7． ∴这样的三角形共有5个， 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）解决下列问题： (1)若，求的值； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且是最长边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，负整数指数幂，三角形的三边关系，灵活运算完全平方公式变形是解题关键． （1）根据完全平方公式，将变形为，再由非负数的性质，求出，然后代入求值即可． （2）根据完全平方公式，将变形为，再由非负数的性质，求出，，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ，， ，， a、b、c是的三边长， ，即， 是最长边， ， ， 即的取值范围为． 题型05 画三角形的高 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）学习了三角形的“中线、高线、角平分线”后，老师给同学们布置了一项作业：作的边上的高．下面是四位同学的作业，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高的作法．从一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据定义解答即可． 【详解】解：边上的高，应该从点向作垂线产生； 故选：A 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ． 【答案】 3．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．请利用格点和直尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上画出线段； (3)利用格点在图中画出边上的高线； (4)在网格中找一个格点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换，以及三角形的中线和高线，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质． （1）根据平移的概念分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作边上的中线即可； （3）根据三角形的高的概念求解即可； （4）找出格点P，连接，使，可得． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点，即为所作； （3）解：如图，即为所作； （4）解：如图，点P即为所作 题型06 与三角形的高有关的计算 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积； 根据三角形面积的不同计算方法列式求解即可． 【详解】解：因为 所以，即， ∴，即点C到的距离是， 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中 ，分别是边上的高和中线．若，则的面积是      【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线和高的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， 故答案为：10． 3．（23-24七年级下·贵州黔西·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据题意表示出的面积即可求解； 【详解】（1）解：∵cm，的长为， ∴ ∵高cm， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴的面积 ， ∵的面积比的面积大3 ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大3 题型07 根据三角形中线求长度 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，根据线段中点的概念得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵点D是边上的中点， ， 的周长为16， 的周长为11， ， 的周长的周长， 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D是的中点，已知，的面积为9，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，垂线段最短，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可得出的面积，再根据当时最小即可求出结果． 【详解】解：∵点D是的中点，已知， ∴，， ∵的面积为9， ∴的面积为9， 当时，最小， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和求出，再利用角平分线的定义得到，再求出，然后根据计算即可． 本题考查了三角形的面积，以及高线、中线和角平分线的定义，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形内角和定理． 【详解】（1）为边上的高，的面积为30， ， ， ， 为边上的中线， ； （2），， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 题型08 根据三角形中线求面积 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，由是的中线可得，进而得，再由可得，即得到，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，若的面积为2，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】由角平分线的性质可得，由三角形的面积关系可求解．本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：，的面积为2， ， ， ， 故答案为：12． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 题型09 三角形内角和定理的证明 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 2．（21-22八年级上·北京·期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC= ． 【答案】75° 【分析】由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度数． 【详解】解：∵∠F=30°，∠EAC=45°， ∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°， ∵∠FBC=90°， ∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，注意数形结合思想的应用． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形的顶点作，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题． 已知：如图1，在三角形中，过顶点作． 求证：． 证明：， ①_____，②_____．（③_____） ，（平角定义） ④_____⑤_____．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点的位置一般化（如图2），换成三角形边上的任意一点，过顶点分别作平行于的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中都与地面平行，，，当______时，． (1)补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． (2)对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． (3)在图4中，当______时，． 【答案】(1)①；②；③两直线平行，内错角相等；④；⑤ (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，熟记平行线的性质是解本题的关键． （1）根据题干信息提示，完善推理过程与推理依据即可； （2）如图，过作，交于，再结合平行线的性质与平角的定义可得结论； （3）先证明，可得，结合，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：证明：， ①，②．（③两直线平行，内错角相等） ，（平角定义） ④⑤．（等量代换） （2）解：如图，过作，交于， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时， ∴． 题型10 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及三角形内角和定理，根据折叠的性质，可以得到的度数，然后再根据平行线的性质得到的度数，最后由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 2．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得，利用三角形内角和定理得出的度数，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，． (1)问题解决：若，则 ； (2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； (3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而可得，利用三角形内角和定理求解即可； （3）由（2）可得，，，由三角形内角和定理可得，由，可得，，利用三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理、解一元一次方程、平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 题型11 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，再求解结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 故选：D． 2．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点．则与的度数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，平行的性质，由可得，，再根据角平分线的性质可得，，进而得， ，由平行线的性质可得，，两角相加即可求解，掌握三角形角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，于点D，点E为边上一点． (1)若平分，，，求的度数． (2)在（1）条件下，直接写出______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）先求出的度数，即可求出的度数，于是得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）在中根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴在中，， 又， ， 又平分， ， ∴在中，， （2）解：由（1）知， ， 故答案为：． 题型12 三角形中折叠中的角度问题 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，折叠问题，根据折叠，对应角相等，结合三角形的内角和定理以及周角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 题型13 三角形内角和定理的应用 1．（2024·四川达州·模拟预测）如图，，平分，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由角平分线定义可得，根据平行线的性质可得，最后三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，，是钝角，平分交于点，平分交于点，点在线段上，若，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，解题关键是熟知平行线的性质，找准各角之间的关系进行等量代换化简． 根据平行线的性质得出，再由角平分线及等量代换确定，，利用三角形内角和定理得出，再进行等量代换化简即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）由平行线的性质得出，由（1）得，由三角形内角和定理得出的度数即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：为直角三角形 ∵，， ∴ 由（1）得， ∴ ∴为直角三角形． 题型14 直角三角形的两个锐角互余 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解． 【详解】 解：平分， ， 是边上的高， ， ． 故选：C． 2．（21-22七年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的平分线，中，是边上的高，又有，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】设∠A=x，则∠EDA=∠CDB=5x，构建方程求出x，再求出∠CDE，∠DCE，∠BCA即可解决问题． 【详解】解：设∠A=x，则∠EDA=∠CDB=5x， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=90°， ∴6x=90°， ∴∠A=x=15°，∠EDA=∠CDB=75°， ∴∠CDE=180°-75°-75°=30°， ∵ 是的平分线， ∴∠BCD=∠DCE=60°， ∴∠ACB=120°， ∴∠B=180°-120°-15°=45°． 故答案为45°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在中，于D，于F，点E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据平行线的判定推出，，根据平行线的性质得出，，即可得出； （2）根据，．得出，根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】（1）解：∵于D，于F， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵于D， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型15 三角形外角的定义与性质 1．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．（23-24七年级下·河北沧州·期末）将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、平行线的性质、三角形外角性质，解题关键是熟练掌握三角形外角性质． 先根据平行线性质推得，结合三角板的角度及三角形外角性质得到的即可得解． 【详解】解：根据三角板特征可得：，，， ， ， ， ， 是的外角， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合． (1)如图1，平分，平分，交于I，则______°． (2)如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D． ①直接写出，则______°． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)135 (2)①45；②不会发生变化，． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的运用，要求掌握角平分线的性质，渗透由特殊到一般的思想和用字母表示数的意义及分类讨论思想，属七年级压轴题． （1）由角平分线性和三角形内角和定理，建立和的关系； （2）①根据（1）中思路，然后根据三角形外角定理进行具体计算即可得到； ②由①的思路，设，用含的代数式表示和，然后代入计算即可证明不变． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ， ∵直线与互相垂直，垂足为， ， ， 故答案为：． （2）解：①∵直线与互相垂直，垂足为， ， ， ∵平分，平分， ， ， 故答案为：45． ②不变，． 设， ∵平分交于点平分， ∴， ∴， ∴不变． 题型16 三角形角平分线的定义 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，先设，利用外角可得，，再进一步可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∴，， ∴， ∴， 故选C 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可得，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴． 题型17 利用网格求三角形面积 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 2．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      【答案】21 【分析】利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了在方格中求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握格点的特点，注意运用割补法． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的方格图，在该方格图中． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应），请在方格图中画出； (2)画出边上的中线； (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了画平移图形，画三角形中线，网格中求三角形面积： （1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据网格的特点取中点D，再连接即可； （3）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：如图即为所求； （3）解：根据题意可得：． A夯实基础 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图①是一种创意花瓶摆件，图②是从其正面看的示意图，在中，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和为，据此直接计算即可． 【详解】解：在中，已知，， 则， 故选：D． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）把一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．根据平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握三角形中的三条重要线段的定义．根据三角形的中线、高线、角平分线的定义分别画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求． （2）解：如图所示：线段即为所求． （3）解：如图所示：线段即为所求． 6．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键． 先根据三角形中线的定义求出的长度，再利用的周长为30求的长即可． 【详解】解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． ∵的周长为30， ∴． B能力提升 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（    ） A．9 B．5 C．4 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于5，而小于13． 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫做法线．光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等．如图，两束光线分别从不同方向射向镜面，入射点为和为法线，的反射光线相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角，三角形内角和定理．熟练掌握余角，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，由题意知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，一副直角三角板的一条直角边分别与直线重合，，，将三角板沿方向运动，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查的是三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键，先求，进而求出，再根据即可求出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图是一张三角形纸片，，若 沿 的垂直平分线 折叠，折痕与 交 于点 ， 再沿过点 的直线 折叠，点 恰好落到点 处，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角的性质；根据折叠的性质可得，根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴, 故答案为：． 5．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，点在直线上，，平分交于，． (1)求证：； (2)若平分，：，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）首先根据题意可得，，进而可知，可证明，即可证明结论； （2）根据平分线的定义可得，设，则，再求出，可得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ，即， ； （2）解：平分，， ， 设， ， ， ， ， 解得： ． 6．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与中线有关的三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； （2）连接，则，求出，结合，，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：是的一个外角，则， 又， ； （2）解：如图：连接，则， 又为的中线， ， 同理， ， ，， ， 解得， 故的长为． C综合素养 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，再求解结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若，则以下结论：①；②；③与互余；④与互补，其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，余角和补角的定义，由平行线的性质可得，由对顶角的性质可得，，，再根据三角形内角和定理得，，得到，据此逐项逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵直尺的对边平行， ∴， ∴， ∴， ∵对顶角相等， ∴，，， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴，， ∴，故①②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵，故④错误； 综上，正确的只有个， 故选：． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 已知的面积是24，、分别是、边上的中点， 连接、， 若是线段上的三等分点， 则的面积是 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形等高时面积比等于底边的比，根据三角形中线的性质得出面积关系是解题的关键．根据三角形中线的性质得出，根据题意，当时，，当时，，即可求得答案． 【详解】解：的面积是24，、分别是、边上的中点 ， ， 是线段上的三等分点，如图， 当时， 当时， 故答案为：4或2． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，分别平分和，且相交于点， ，于点，则下列结论：①；②平分；③；④，其中所有正确的结论是 ．(填序号) 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，余角性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；证明，，根据余角性质即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得，即可判断④；根据现有条件无法推出②；熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解:∵平分， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ，故③正确； ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件，无法推出平分，故②错误； ∴正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 5．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知在中 (1)，求的度数； (2)、、是的三条边长，其中、满足，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)9 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及绝对值和平方的非负性，三角形三边关系等，理解题意，综合应用这些知识点是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由题意代入求解即可； （2）根据绝对值和平方的非负性确定，再由三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵、、是的三个内角 ∴ 又∵ ∴ ∴． （2）∵ ∴ ∴ 又∵ 即， ∴ 又∵三角形的周长为整数 ∴三角形的周长为9． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，点P为平面内一点，且点P不在直线，上． (1)如图1，若点P在直线，之间，，，求的度数； (2)如图2，若点P在直线的上方，，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，构造辅助线是解题的关键． （1）过点P作，得到，，进而得到，，再根据即可解题； （2）过点P作，利用两直线平行，内错角相等得到，，再根据即可解题； （3）连接，利用平行线性质得到，可得到的度数，再根据角平分线的性质，从而得到、的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ，（两直线平行，同旁内角互补）， ，， ，， ； （2）解：如图，过点P作， ，， ， （两直线平行，内错角相等）， ； （3）解：如图，连接， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 平分，平分， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！61 学科网（北京）股份有限公司 $$