2.4.1圆的标准方程（3知识点+5题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.4.1圆的标准方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 重点难点 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 圆的标准方程 1.圆的定义 (1)平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合． (2)确定圆的要素：圆心和半径， (3)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.圆的标准方程的推导 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3.圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 4.对圆的标准方程的理解 (1)当圆心在原点O(0,0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点的坐标都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上． 5.圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 6.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点2 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点3 有关圆的距离最值问题 1.解决思路：有关圆的距离最值问题实质是转化成圆心到某点或某线的距离d，然后距离d加上或减去半径 2.解决方法：设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 2提升学科能力 题型一 由圆心半径求圆的标准方程 例1．经过三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 2．求圆心为且与直线相切的圆的方程． 3．根据下列条件，分别求相应圆的方程． (1)圆心为，半径； (2)圆心为，过点； (3)与轴相交于、两点，且半径等于． 题型二 由标准方程确定圆心和半径 例2．已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，5 B．， C．，5 D．， 2．已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 题型三 点与圆的位置关系 例3．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 跟踪训练3 1．点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 2．已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 3．如图，已知两点和.        (1)求以为直径的圆的方程；(2)试判断点是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 题型四 圆与对称问题 例4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．圆关于直线对称的圆的标准方程是 ． 3．已知A，B两点是圆上的两点，若A，B关于直线对称，则实数 ；若点A，B关于点对称，则直线AB的方程为 ． 题型五 圆的最值问题 例5．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ． 3质量检测评价 一、单选题 1．若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ． 3．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 8．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为 ． 11．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是 ． 12．已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为 . 四、解答题 13．（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 14．已知点，，，直线与轴交于点. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 15．已知两点和，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，，是在圆上、在圆内、还是在圆外. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.1圆的标准方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 重点难点 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 圆的标准方程 1.圆的定义 (1)平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合． (2)确定圆的要素：圆心和半径， (3)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.圆的标准方程的推导 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3.圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 4.对圆的标准方程的理解 (1)当圆心在原点O(0,0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点的坐标都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上． 5.圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 6.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点2 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点3 有关圆的距离最值问题 1.解决思路：有关圆的距离最值问题实质是转化成圆心到某点或某线的距离d，然后距离d加上或减去半径 2.解决方法：设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 2提升学科能力 题型一 由圆心半径求圆的标准方程 例1．经过三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解. 【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上， ， 经过三点圆的半径为， 圆心坐标为的中点，即， 圆的标准方程为. 故选：C. 跟踪训练1 1．在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求圆的标准方程为，代入各点坐标求出的值即可. 【详解】由题意设所求圆的标准方程为，代入各点坐标得， ，解得， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 2．求圆心为且与直线相切的圆的方程． 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离即为圆的半径，从而写出圆的方程. 【详解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线距离， 所以圆的方程为. 3．根据下列条件，分别求相应圆的方程． (1)圆心为，半径； (2)圆心为，过点； (3)与轴相交于、两点，且半径等于． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得出答案； （2）求出圆的半径，再代入标准方程即可求得结果； （3）易知圆心在线段的垂直平分线上，求出圆心坐标代入标准方程即可. 【详解】（1）将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为； （2）易知圆的半径为， 所以圆方程为； （3）易知圆心在线段的垂直平分线上， 不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得； 当圆心为时，圆方程为； 当圆心为时，圆方程为； 因此所求圆的方程为或； 题型二 由标准方程确定圆心和半径 例2．已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程直接求解即可. 【详解】由标准方程可得：圆的圆心为，半径为， 故选：B. 跟踪训练2 1．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，5 B．， C．，5 D．， 【答案】D 【分析】根据圆的标准方程即可求解. 【详解】由圆的方程为：， 则圆心坐标为，半径为. 故选：D 【点睛】本题考查了直接求圆的圆心与半径，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 2．已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线垂直得到直线l的斜率，结合圆心坐标，利用点斜式写成直线方程，化为一般式，得到答案. 【详解】由直线l与直线m垂直，设直线l，m的斜率分别为，，则， 即， 解得． 易得圆C的圆心为，故直线l的方程为， 整理可得直线l的方程为． 故选：C． 3．已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 【答案】ABC 【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答. 【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确； 由，得点在圆内，B正确； 由，得点在圆外，D错误. 故选：ABC 题型三 点与圆的位置关系 例3．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：A. 跟踪训练3 1．点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论 【详解】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外， 故选：A 2．已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据点不在圆的内部列不等式，然后解不等式即可. 【详解】由题意，得点在圆上或圆的外部， ∴， ∴，∴， 又， ∴的取值范围是. 3．如图，已知两点和.        (1)求以为直径的圆的方程； (2)试判断点是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 【答案】(1) (2)点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内 【分析】（1）分别求出圆心和半径，代入圆的标准方程； （2）计算点到圆心的距离和半径比较大小. 【详解】（1）设圆心，半径r，则由C为的中点得，. 又由两点间的距离公式得 ， ∴所求圆的方程为. （2）分别计算点到圆心的距离： ； ； . 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内. 题型四 圆与对称问题 例4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 跟踪训练4 1．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 2．圆关于直线对称的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】求出所求圆的圆心坐标，结合圆的半径可得出所求圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 且点关于直线对称的点的坐标为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 3．已知A，B两点是圆上的两点，若A，B关于直线对称，则实数 ；若点A，B关于点对称，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】由圆上点关于直线对称，则直线过圆心，将圆心坐标代入求参数；根据圆上点关于点对称，结合直线垂直求斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】若关于直线对称，则直线经过圆心， 将点代入可得. 若圆上存在两点关于点中心对称，则CP⊥AB，且P为AB的中点， ∵，故， ∴直线AB的方程为，即. 故答案为：， 题型五 圆的最值问题 例5．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解. 【详解】因为直线：，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆， 因为圆的圆心，半径， 所以的最大值是. 故选：B. 跟踪训练5 1．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据圆上的动点到直线距离最短为圆心到直线的的距离减去半径求解即可. 【详解】 的圆心，，圆心到直线的距离等于， 故圆上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C 2．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由两点间距离公式，结合圆的方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为表示圆心为，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最大值为. 故选：D 3．已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】 运用三角代换法，结合余弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】 如图， 令，，得，，即， ， 则当时，有最小值为2． 故答案为：2． 3质量检测评价 一、单选题 1．若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程可得选项. 【详解】解：因为圆的标准方程为：，圆心为，半径长为， 又因为某圆的标准方程为，所以、、， 故选：C． 2．已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】先判断点在圆外，然后可得的最小值为 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为， 故答案为：5 3．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解. 【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称， 得到直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为， 所以，化简得① 再由的中点在直线上，，化简得② 联立①②，可得， 所以圆心的坐标为， 所以半径为3的圆的标准方程为. 故选：C 4．已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆的半径，即可求得该圆的标准方程. 【详解】∵圆过点，即点在圆上， ∴该圆的半径为圆心与点两点之间的距离， ∴该圆的标准方程为. 故选：A. 5．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得. 【详解】由可知圆心为， 又因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 由点斜式得直线， 化简得直线的方程是． 故选：D． 6．圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为， 故选：D 二、多选题 7．设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 【答案】AB 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 8．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解. 【详解】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上． 设圆心坐标为，则由，解得或， ∴圆的标准方程为或． 故选：AD． 9．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【详解】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况：    故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 三、填空题 10．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为 ． 【答案】 【分析】 求出圆心和半径，即得答案. 【详解】由题意可得该圆的圆心为的中点，即， 半径为， 故该圆的方程为， 股答案为： 11．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质求出线段中垂线与横轴的交点即可得出圆心坐标，再求半径即可. 【详解】由圆的性质可知，线段的垂直平分线过圆心， 易知，则线段的中点坐标为，即， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线方程为， 令，即圆心的坐标为， 其半径， 所以圆的方程为. 故答案为： 12．已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为 . 【答案】6 【分析】求出圆心到点的距离加上半径即为圆上的点到点距离的最大值. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，半径, 又圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的距离的最大值为， 故答案为：6 四、解答题 13．（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 【答案】（1）①；② （2）①圆心为，半径为；②圆心为，半径为3 【分析】 （1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． （2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 【详解】 （1）①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （2）①，即，故圆心为，半径为， ②，即 即，故圆心为，半径为3. 14．已知点，，，直线与轴交于点. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意求出直线的方程，再令即得； （2）由（1）中的点坐标知，故的外接圆即以为直径的圆，计算即得. 【详解】（1）由题意，，故直线的斜率， 所以直线的方程为. 因为点在轴上，令，得， 所以点的坐标为. （2）因为的顶点坐标分别为，，， 所以，所以的外接圆是以为直径的圆. 又中点为， 所以外接圆的圆心为，半径为， 所以的外接圆的方程为. 15．已知两点和，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，，是在圆上、在圆内、还是在圆外. 【答案】；在圆外，在圆上，在圆内. 【分析】线段的中点为圆心，线段的长度为直径，据此即可求出圆的标准方程.分别计算M、N、P到圆心的距离，和半径比较即可判断它们与圆的位置关系. 【详解】由题可知圆心坐标为(4，6)，圆的半径， ∴圆的标准方程为. 分别计算点M、N、P到圆心(4，6)的距离： ， ， . ∴在圆外，在圆上，在圆内. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$