精品解析：吉林省白城市实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

白城市实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 姓名：____________班级：____________考号：____________ 一、单选题 1. 在底面是菱形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则等于 A. B. C. D. 2. 在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 4. 如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 5. 在正方体中，为线段的中点，若三棱锥的外接球的体积为，则正方体的棱长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 如图所示为起重机装置示意图，支杆m,吊杆 m，吊索 m，起吊的货物与岸的距离AD为 A. 30 m B. m C. m D. 45 m 7. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、多选题 9. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥的表面积 10. 某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ） A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为 C. 他属于至少2个小组的概率为 D. 他属于不超过2个小组的概率为 （2023・江苏省徐州高级中学期中） 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点､的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点到点的距离为4 C. 上的点到直线的最大距离为6 D. 过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为 12. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. sin(B+C)=sinA B. cos(B+C)=cosA C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题 13. 如图所示，某学校高一（1）班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为______分． 14. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________. 15. 一艘船从点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东的方向行驶海里至海岛，若次轮船从点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿______________方向行驶______________海里至海岛. 16. 如果，那么______． 17. 直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则__________. 四、解答题 18. 如图，多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得，，点D为的中点. （1）求证:平面； （2）求点到平面的距离. 19. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，求m的值. 20. 两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： （1）d的取值范围； （2）当d取最大值时，两条直线的方程. 21. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （1）根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率． 22. 已知函数． （1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 23. 如图，过半径为2的圆上两点，的切线相交于点，自点向平行于的直径的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于的直径所在直线于点，．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城市实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 姓名：____________班级：____________考号：____________ 一、单选题 1. 在底面是菱形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，延长交的延长线于点，则由可得，又，则，故，应选答案A． 点睛：本题旨在考查空间的点线面之间的位置关系与点面距离的计算问题，求解时先运用平面的性质，计算出线段的长度，再求进行求解，从而使得问题获解． 2. 在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由三角形的面积公式可得，再由正弦定理代入计算，结合正弦函数的二倍角公式，即可得到结果. 【详解】因为，所以，结合题意得． 因为是角的平分线，所以，所以， 由正弦定理，得，即， 所以. 故选：C． 3. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D． 考点：1．坐标系；2．两点间距离． 【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍． 4. 如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设大球半径为，小球半径为，根据题中条件，分别表示出，进而可作差比较大小． 【详解】设大球半径为，小球半径为，根据题意， 所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型． 5. 在正方体中，为线段的中点，若三棱锥的外接球的体积为，则正方体的棱长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设三棱锥的外接球的半径为由，解得．取的中点，连接．则三棱锥的外接球的球心一定在上，设为点．设正方体的棱长为，在中，利用勾股定理解出即可得出． 【详解】解：如图所示，设三棱锥的外接球的半径为， 三棱锥的外接球的体积为，则， 解得． 取的中点，连接．则三棱锥的外接球的球心一定在上，设为点． 设正方体的棱长为，在中，由勾股定理可得：，． 解得：． 正方体的棱长为4． 故选：． 【点睛】本题考查了正方体的性质、三棱锥的性质、勾股定理、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 如图所示为起重机装置示意图，支杆m,吊杆 m，吊索 m，起吊的货物与岸的距离AD为 A. 30 m B. m C. m D. 45 m 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求得的值，然后结合同角三角函数基本关系可得的值，最后在中解三角形即可求得最终结果. 【详解】在中，， 由余弦定理得.. 又 . 在中， . 本题选择B选项. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 7. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【详解】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 8. 某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解 【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在圆的方程是． 将点的横坐标代入上式， 结合图形解得. 故支柱的长为． 二、多选题 9. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上， 由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 10. 某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ） A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为 C. 他属于至少2个小组的概率为 D. 他属于不超过2个小组的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，然后利用古典概型的概率公式逐个分析求解对应的概率即可 【详解】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人， 只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人， 故只属于音乐小组的概率为， 只属于英语小组的概率为， “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况， 故他属于至少2个小组的概率为， “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”， 其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是. 故选：CD. （2023・江苏省徐州高级中学期中） 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点､的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点到点的距离为4 C. 上的点到直线的最大距离为6 D. 过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】设，则， 化简得，，则选项正确； 将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4， 则圆上的点到点的最小距离为， 则在圆上不存在点到点的距离为4，则选项B错误； 上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径， 即，则选项C正确； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即， 解得，则选项D正确． 故选：ACD． 12. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. sin(B+C)=sinA B. cos(B+C)=cosA C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答. 【详解】依题意，中，，，A正确； ，B不正确； 因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确； 因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确. 故选：AC 三、填空题 13. 如图所示，某学校高一（1）班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为______分． 【答案】46 【解析】 【分析】根据统计图结合平均数公式运算求解. 【详解】根据题中统计图，可知有4人成绩在之间，估计其考试分数之和为； 有8人成绩在之间，估计其考试分数之和为； 有10人成绩在之间，估计其考试分数之和为； 有6人成绩在之间，估计其考试分数之和为； 有2人成绩在之间，估计其考试分数之和为， 由此可知，考生人数为， 考试总成绩为，所以估计平均分数为． 故答案为：46. 14. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理分别求得AD，AC，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】由勾股定理得：， ， 由余弦定理得：， 因为， 所以 故答案为： 15. 一艘船从点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东的方向行驶海里至海岛，若次轮船从点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿______________方向行驶______________海里至海岛. 【答案】 ①. 北偏东 ②. 【解析】 【分析】(1)画图易得为等腰三角形,再根据角度关系求解即可. 【详解】(1)如图,因为在点北偏东,在北偏东,故, 又,故,故在北偏东方向. (2)由(1). 故此轮船沿着北偏东方向行驶海里到达海岛. 故答案为：(1). 北偏东 (2). 【点睛】本题主要考查了方位角的应用,同时也考查了利用余弦定理求解实际距离的问题,属于基础题. 16. 如果，那么______． 【答案】i 【解析】 【分析】结合复数除法、乘方运算求得正确答案. 【详解】因为，故， 所以，故，， 故. 故答案为： 17. 直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则__________. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以. 考点：直线与圆相交，相等弧的概念，容易题. 四、解答题 18. 如图，多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得，，点D为的中点. （1）求证:平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】 （1）设与交于点E，连接. ∵多面体是正三棱柱沿平面切除部分所得， ， ∴四边形是正方形，四边形､均为直角梯形，其中，. ∵点D为的中点，平行且等于，∴. 又，∴ ∵E为的中点，∴. 又∵，， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设1与C交于点E，连接，可得，，即可证明平面. （2）利用等体积法求点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为d， ∵， 点D到平面的距离即为边上的高，即为， ∴.又∵，， ∴，. ∴， 即点到平面的距离为. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明、点到面的距离，属于中档题． 19. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，求m的值. 【答案】 【解析】 【详解】连接， 因为，，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以． 又因为，所以． 因为，所以． 又因为，且，，，四点共面， 所以，解得． 故答案为： 20. 两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： （1）d的取值范围； （2）当d取最大值时，两条直线的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）由图可知两直线距离显然满足. （2）当两直线均与垂直时d取最大值，求出再写出两直线方程. 【小问1详解】 如图，一般地，过A，B的两直线，其距离显然满足. 而， 故所求d的变化范围是. 【小问2详解】 由图知，当均与垂直时d取最大值，而， 所以所求直线的斜率为. 故所求的直线方程为和， 即和. 21. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （1）根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率． 【答案】（1） 选平均数作为统计量， 两地区用户满意度评分的茎叶图如下： 通过茎叶图可以看出，地区用户满意评分的平均值高于地区用户满意评分的平均值. （2）. 【解析】 【分析】（1）选平均数作为统计量，作出茎叶图即可比较； （2）记表示事件：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为满意”，则，根据互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 记表示事件：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为满意”， 则与独立，与独立，与互斥， ， ． 由所给数据得，，，发生的频率分别为，，，， 故，，，， ． 22. 已知函数． （1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将化简为，代入求得；（2）根据正弦定理求得，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值. 【详解】（1） ，又为锐角 （2）的外接圆半径为 由正弦定理得： 由余弦定理： 得： 即（当且仅当时取等号） 则三角形的面积（当且仅当时取等号） 故三角形面积最大值为 【点睛】本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果. 23. 如图，过半径为2的圆上两点，的切线相交于点，自点向平行于的直径的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于的直径所在直线于点，．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：． 【答案】 如图，以圆心为原点，平行于的直径所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则圆的方程为，，设，则， 直线的方程为，令，得点的横坐标， 直线的方程为，令，得点的横坐标， 切线的斜率为，方程为，整理得， 由对称性知点在轴上，令，得点的横坐标， ， ， 所以. 【解析】 【分析】以为原点，直线为轴建立坐标系，设出点的坐标，借助直线方程求出点的横坐标即可计算得证. 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $