1.3集合的基本运算（七个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

1.3集合的基本运算 一、求集合的交集、并集 五、利用Venn图求集合 二、根据集合的交集、并集求参数 六、集合的交、并集运算性质 三、补集的简单运算 七、容斥原理 四、交、并、补的混合运算 知识点1交集、并集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 重难点一 求集合的交集、并集 【例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，则的所有元素之和为 . 【变式1-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 重难点二 根据集合的交集、并集求参数 【例3】已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【例4】使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】集合，，若，则实数 ． 【变式2-2】集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 知识点2全集、补集的概念及表示 1.全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. 2.补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 重难点三 补集的简单运算 【例5】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式3-3】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 重难点四 交、并、补的混合运算 【例7】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例8】设全集是实数集，，，则等于 （　　） A． B． C． D． 【变式4-1】若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-2】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）设全集，集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点五 利用Venn图求集合 【例9】如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【例10】（多选）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（多选）设全集，若，，，则下列结论正确的是（　 　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 知识点3并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 重难点六 集合的交、并集运算性质 【例11】集合，，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例12】设全集为，集合． (1)求及； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【变式6-1】已知集合，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【变式6-2】已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 重难点七 容斥原理 【例13】已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【例14】“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【变式7-1】某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【变式7-2】已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【变式7-3】高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．满足且的集合的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 6．已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 7．已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 9．下列命题正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 11．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 12．设，，若，则实数组成的集合的子集有 个. 四、解答题 13．已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求. 14．已知集合 (1)若时，求； (2)若，求的取值范围. 15．已知集合 (1)当时，若，求实数m的取值范围； (2)当时，若，求数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算 一、求集合的交集、并集 五、利用Venn图求集合 二、根据集合的交集、并集求参数 六、集合的交、并集运算性质 三、补集的简单运算 七、容斥原理 四、交、并、补的混合运算 知识点1交集、并集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 重难点一 求集合的交集、并集 【例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 【例2】已知集合，则的所有元素之和为 . 【答案】 【详解】由题知，， 所以， 所以的所有元素之和为. 故答案为：. 【变式1-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 【变式1-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：B. 【变式1-3】（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）∵，， ∴，． （2）由解得或 ∴． 重难点二 根据集合的交集、并集求参数 【例3】已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 故选：B 【例4】使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】或，共2个. 故选：B 【变式2-1】集合，，若，则实数 ． 【答案】 【详解】，则，所以，，此时满足题意． 故答案为：． 【变式2-2】集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 【变式2-3】若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以或， 当时，解得，合题意， 当时，解得或， 若，，，合题意， 若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，. 故答案为：. 知识点2全集、补集的概念及表示 1.全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. 2.补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 重难点三 补集的简单运算 【例5】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以. 故选：D 【例6】已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， ∴，则． 故选：D． 【变式3-1】已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得或 则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的. 故选：B. 【变式3-2】已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：，即； ，，. 故选：B. 【变式3-3】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 又，所以. 所以，故ABD错误，C正确. 故选：C. 重难点四 交、并、补的混合运算 【例7】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以. 故选：A 【例8】设全集是实数集，，，则等于 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 【变式4-1】若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为集合，， 则或，所以或． 故选：B． 【变式4-2】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以， . 故选：A 【变式4-3】（多选）设全集，集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题知，， ， ， 则，A错； ，B错； ，， 所以，C正确； ，D正确. 故选：CD 重难点五 利用Venn图求集合 【例9】如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是， 故选：C. 【例10】（多选）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以， 而，故B错误； C选项，因为，所以，C正确； D选项，，如图所示， 所以表示的集合为①，不是空集，D错误. 故选：AC 【变式5-1】图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由韦恩图，图中阴影部分表示的集合为：. 故选：B 【变式5-2】（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 【变式5-3】（多选）设全集，若，，，则下列结论正确的是（　 　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】BC 【详解】   根据题意，由条件可得图如图所示， 所以， 所以，故A错误，B正确； ，故C正确，D错误； 故选：BC 知识点3并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 重难点六 集合的交、并集运算性质 【例11】集合，，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 又， 当，则， 当，即，解得， 当，即，解得， 综上可得实数a的取值集合为. 故选：D 【例12】设全集为，集合． (1)求及； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）， 或，， 故或， （2）， ， 当集合时，，解得：； 当集合时，，解得：． 综上，实数的取值范围为． 【变式6-1】已知集合，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【详解】方程解得：或，∴， 由，得， 当时，，满足题意； 当时，，可得或，解得：或， 综上，或1或0． 故选：D． 【变式6-2】已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 因为，所以， 所以， 故选：A. 【变式6-3】设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【详解】（1）由题意，得或． 又，，则． 结合数轴，可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． （2）由，得． 当时，，即，满足． 当时，结合数轴，如图（1）（4），可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． 重难点七 容斥原理 【例13】已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【详解】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. 【例14】“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【详解】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70．    【变式7-1】某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 【变式7-2】已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 【变式7-3】高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人，20 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在数轴上表示出集合，如图所示， 则. 故选：D. 2．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】A 【详解】因为, 由维恩图可知，表示的区域为I. 故选：A 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则. 故选：C. 4．满足且的集合的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由可得：，.又因为， 所以或. 故选：B 5．已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为，则， 若，解得，此时， 根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即， 解得或，若，此时， 不合题意；当时成立. 故选：D. 6．已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，可知， 若，则， 此时，，不合题意； 若，则， 此时，，符合题意； 综上所述：，，则. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 7．已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意：且，解得， 即， 由，解得， 故. 故选：A. 二、多选题 8．已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为， 对于A，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AC. 9．下列命题正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A项：，故A项错误； 对于B项：，故B项正确； 对于C项：，故C项错误； 对于D项：，故D正确； 故选：BD 三、填空题 10．（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 【答案】 【详解】（1），所以; （2），， 则； （3）集合，或， 所以 故答案为：；；R 11．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 【答案】或 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，， 故或. 故答案为：或. 12．设，，若，则实数组成的集合的子集有 个. 【答案】8 【详解】,， ， ①时，； ②时，或， ，或， 实数组成的集合的元素有3个， 实数组成的集合的子集个数有个． 故答案为：． 四、解答题 13．已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知集合，集合， 则. （2）已知全集，， 则，又， 则. 14．已知集合 (1)若时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）时，，又 所以 （2）由可得， 当时，即，此时，显然符合题意， 当时，，解得， 综上可得或 15．已知集合 (1)当时，若，求实数m的取值范围； (2)当时，若，求数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则， 当时，则或，解得或； 综上，实数m的取值范围 （2）当时，， 当时,若，则有： 当时，则； 当时，满足，解得. 综上，实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$