第3章勾股定理 中档题拓展训练 【5个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理 中档题拓展训练★★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股数 五．勾股定理的应用 · 知识点梳理 1. 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2. 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 3. 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 4. 勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 5. 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 一．勾股定理 1．（2024春•西山区期末）在直角三角形中，，，，则的取值范围在　　 A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 2．（2024春•长沙县校级月考）如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积和_____cm．　　 A．14 B．35 C．42 D．49 3．（2023秋•邓州市期末）在中，，，，则的度数　　 A． B． C． D．无法确定 4．（2024春•永清县校级月考）如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为　　 A．12 B．10 C．8 D．6 5．（2023秋•青岛期末）如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 　　． 6．（2024春•南岗区校级月考）在中，，，，则　　． 7．（2024•新城区校级二模）如图，在中，点在边上，，点、点分别是、的中点，，，则的长为 　　． 8．（2024春•平阴县期末）等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为　　． 9．（2024春•西秀区校级月考）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的边长分别为3、4、5，则正方形的面积为 　　． 10．（2024•椒江区校级开学）如图，在中，，，为边上的一点，且，，则的长为 　　． 11．（2024•陕西）如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 　　． 12．（2024春•芙蓉区校级月考）如图，在中，，于点，，，那么长为 　　． 13．（2024春•浦东新区期末）如图，在中，，平分，于，周长为8，，则的周长是 　　． 14．（2024•清水县校级三模）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 　　． 15．（2024春•广州期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 　　． 16．（2024春•高州市期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点，若，，求． 二．勾股定理的证明 17．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 18．（2024春•袁州区校级月考）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是　　 A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 19．（2024春•交口县期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是　　 A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 三．勾股定理的逆定理 20．（2024春•思明区校级期末）在中，点在边上，若，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 21．（2024春•梁园区期末）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是　　 A．，2， B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．130，120，50 22．（2024春•芙蓉区校级月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　 A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．2，，3 23．（2024春•利通区校级月考）在中，不能判断它是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 24．（2024春•红旗区校级期末）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是　　 A． B．1，2，3 C．1，2，5 D．1，1，2 25．（2024春•酉阳县期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是　　 A．1，2，3 B．7，24，25 C．4，5，6 D．5，10，12 26．（2024春•拜城县期中）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为 　　平方米． 27．（2024春•广信区期末）一个三角形的三边之比为，这个三角形是 　　三角形． 28．（2024春•广水市期中）某小区内有一块如图所示的四边形空地，，，，且．计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，预计花园每平方米造价为300元，小区修建这个花园需要投资多少元？（结果保留根号） 四．勾股数 29．（2024春•罗山县期末）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为　　 A．47 B．62 C．79 D．98 30．（2024春•南岗区校级月考）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股　　；弦　　． （2）如果用，且为奇数）表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　； 【探究2】 观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；，，，82；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过． （1）　　；　　； （2）如果用为正整数且表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　； 五．勾股定理的应用 31．（2023秋•宝丰县期末）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是　　 A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 32．（2024春•闵行区期末）我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 　　． 33．（2024春•平谷区期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么绳索的长度为 　　． 34．（2024春•开州区期中）如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等． （1）求站应建在离点多少处？ （2）若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 35．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，公路和公路在点处交汇，且，在处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒8米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． （1）学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，则影响时间是多长？ 36．（2024春•潜山市期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度． 37．（2024春•赣州期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为多少米？ 38．（2024春•陆河县校级月考）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 39．（2024春•花溪区校级月考）如图所示，某市决定在相距的，两村之间的公路旁点处修建一个樱桃批发市场，且使，两村到点的距离相等．已知于点，于点，，，那么樱桃批发市场应建在什么位置才能符合要求？ 40．（2024春•汉南区校级月考）如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与，两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． （1）求监测点与监测点之间的距离； （2）请判断海港是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 第3章勾股定理 中档题拓展训练★★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股数 五．勾股定理的应用 · 知识点梳理 6. 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 7. 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 8. 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 9. 勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 10. 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 一．勾股定理 1．（2024春•西山区期末）在直角三角形中，，，，则的取值范围在　　 A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】 【分析】利用勾股定理求得，即可得出的范围． 【解答】解：由勾股定理得，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2024春•长沙县校级月考）如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积和_____cm．　　 A．14 B．35 C．42 D．49 【答案】 【分析】由勾股定理得正方形，，，的面积之和正方形1的面积． 【解答】解：如图所示： 根据勾股定理可得正方形和正方形的面积之和为正方形3的面积， 正方形和正方形的面积之和为正方形2的面积， 同理，正方形2和正方形3的面积之和为正方形1的面积， 则正方形，，，的面积之和为正方形1的面积为， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积是解题的关键． 3．（2023秋•邓州市期末）在中，，，，则的度数　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】由勾股定理得，则，再证是等腰直角三角形，即可得出结论． 【解答】解：，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2024春•永清县校级月考）如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为　　 A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】 【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：中，，，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键． 5．（2023秋•青岛期末）如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 　9.6　． 【答案】9.6． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用面积法进行计算，即可解答． 【解答】解：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：9.6． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．（2024春•南岗区校级月考）在中，，，，则　或　． 【答案】本题考查勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想是解题的关键． 【分析】按已知画出图形，分两种情形分别求解即可．①当的高在三角形内时，②当高在外时． 【解答】解：当为锐角时， 过点作于点， 在中，，， ，， 在中，， ； 如图，当为钝角时，过点作，交延长线于点， 在中，，， ，， 在中，， ； 故答案为：或． 【点评】或． 7．（2024•新城区校级二模）如图，在中，点在边上，，点、点分别是、的中点，，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求得，，进而根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【解答】解：连接，由题意可得， ，点是的中点， ， ，， ，， 在中，， 在中，， 点是的中点， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，关键是勾股定理的应用． 8．（2024春•平阴县期末）等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为　15　． 【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度． 【解答】解：如图： ，． 中，，； 则； 中，，； 由勾股定理，得：． 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． 9．（2024春•西秀区校级月考）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的边长分别为3、4、5，则正方形的面积为 　50　． 【答案】50． 【分析】设正方形、、、的边长分别为、、、，中间阴影正方形的边长为，根据勾股定理可得，，继而得到，代入数据计算即可． 【解答】解：设正方形、、、的边长分别为、、、，中间阴影正方形的边长为， 由图形知：两个白色的三角形的为直角三角形， ，， ， 、、三个正方形的边长分别为3、4、5， ， 正方形的面积为50． 故答案为：50． 【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是确定正方形、、、面积的数量关系． 10．（2024•椒江区校级开学）如图，在中，，，为边上的一点，且，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】过作于，可得是等腰直角三角形，根据勾股定理计算出．，再根据线段之间的数量关系进行计算即可． 【解答】解：如图，过作于， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ． 在直角中，，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 11．（2024•陕西）如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 　60　． 【答案】60． 【分析】将四边形的面积转化为，然后进行求解． 【解答】解：， ， ， ， ， 平分， 过点作，， 则：， ，，且， ， 四边形的面积， ， ， 设，则， 由勾股定理，得：， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为60， 故答案为：60． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 12．（2024春•芙蓉区校级月考）如图，在中，，于点，，，那么长为 　　． 【答案】． 【分析】根据，，得，根据面积不变性，结合，得得到，再次运用勾股定理，得到，计算即可． 【解答】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，关键是根据三角形面积的不变性计算． 13．（2024春•浦东新区期末）如图，在中，，平分，于，周长为8，，则的周长是 　28　． 【答案】28． 【分析】根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【解答】解：是的平分线，，， ， 周长为8， ， 在和中， ， ， ， 的周长为： ． 故答案为：28． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等． 14．（2024•清水县校级三模）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 　3或7或1　． 【答案】或或1． 【分析】利用分类讨论，当时（如图，由，，得到为等边三角形，于是有，由三角形内角和得到，即可求得； 当时，如图2，由对顶角的性质可得，易得，易得的长，利用勾股定理可得的长；当时，分两种情况讨论，情况一：如图1，情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．如图4中，时，求出即可． 【解答】解：当时，如图1， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 当时，如图2， ， ， ， 在直角三角形中， ； 当时，如图3， ，， ， ， 为等边三角形， ， 如图4中，当时， ， 故答案为：或或1． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角函数的定义，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 15．（2024春•广州期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 　6　． 【答案】6． 【分析】根据题意得到，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【解答】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，解答本题的关键景熟练掌握勾股定理的应用． 16．（2024春•高州市期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点，若，，求． 【答案】61． 【分析】根据“垂美”四边形的定义得，代入，进行计算，即可作答． 【解答】解：四边形是“垂美”四边形， ， 则， ，， ． 【点评】本题考查了勾股定理，关键是勾股定理的熟练应用． 二．勾股定理的证明 17．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【解答】解：．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ， 以上公式为完全平方公式， 选项不能说明勾股定理； ．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理得， 选项可以证明勾股定理； ．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 选项可以证明勾股定理； ．整个图形的面积等于边长为的正方形的面积边长为的正方形面积个直角三角形的面积，也等于边长为的正方形面积个直角三角形的面积， ， 整理得， 选项可以证明勾股定理， 故选：． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键． 18．（2024春•袁州区校级月考）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是　　 A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】 【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【解答】解：在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． 能证明勾股定理的是②③④． 故选：． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 19．（2024春•交口县期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是　　 A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】 【分析】根据题意用两种方法表示出，然后根据两种表示方法表示的相等，即可得到结论． 【解答】解：如图所示，延长交于， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则， 根据面积相等可以得到，即， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． 三．勾股定理的逆定理 20．（2024春•思明区校级期末）在中，点在边上，若，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，则，即可得出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟记定理内容是解题的关键，属于基础题． 21．（2024春•梁园区期末）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是　　 A．，2， B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．130，120，50 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，不能构成直角三角形，符合题意； 、，能构成直角三角形，不符合题意； 、，能构成直角三角形，不符合题意； 、，能构成直角三角形，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 22．（2024春•芙蓉区校级月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　 A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．2，，3 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：、， 不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 、， 不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 、， 不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 、， 能构成直角三角形，故选项符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 23．（2024春•利通区校级月考）在中，不能判断它是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直角三角形的定义，即可判断、，根据勾股定理逆定理，即可判断、． 【解答】解：、， 是直角三角形，不符合题意； 、， ， 是直角三角形，不符合题意； 、， ， 是直角三角形，不符合题意； 、设，，， ， 不是直角三角形，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． 24．（2024春•红旗区校级期末）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是　　 A． B．1，2，3 C．1，2，5 D．1，1，2 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形”判定则可． 【解答】解：、，能构成直角三角形，符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 25．（2024春•酉阳县期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是　　 A．1，2，3 B．7，24，25 C．4，5，6 D．5，10，12 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可． 【解答】解：， ，24，25能作为直角三角形的三边长，选项符合题意， 、、选项的三个数都不满足这种关系，不能作为直角三角形的三边长，所以、、选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 26．（2024春•拜城县期中）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为 　30　平方米． 【答案】30． 【分析】根据勾股定理的逆定理可判断三角形花园是直角三角形，且5米，12米，是两条直角边，由此可求解． 【解答】解：， 三角形花园是直角三角形，且5米，12米是两条直角边， 这块花园的面积为平方米， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 27．（2024春•广信区期末）一个三角形的三边之比为，这个三角形是 　直角　三角形． 【分析】一个三角形的三边符合，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形． 【解答】解：设三角形的三边分别为，，，则， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．故填直角． 【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形． 28．（2024春•广水市期中）某小区内有一块如图所示的四边形空地，，，，且．计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，预计花园每平方米造价为300元，小区修建这个花园需要投资多少元？（结果保留根号） 【答案】元． 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解． 【解答】解：如图，连接． 在中，，， ． 又，， ， ， （平方米）． （元． 答：小小区修建这个花园需要投资元． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 四．勾股数 29．（2024春•罗山县期末）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为　　 A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【解答】解：由题可得，，，， ，，， 当时，， ，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 30．（2024春•南岗区校级月考）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股　　；弦　　． （2）如果用，且为奇数）表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　； 【探究2】 观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；，，，82；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过． （1）　　；　　； （2）如果用为正整数且表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　； 【答案】探究1（1）；；（2）；， 探究2（1）18，80；（2）；． 【分析】（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一； （2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一； （3）根据题意，得另一条直角边是一条直角边的二分之一的平方减去1，弦是一条直角边的二分之一的平方加上1． 【解答】解：探究（1）勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦； 勾为7，股24的算式为，弦25的算式为； 故答案为；； （2）由题意，得股的算式为；弦的算式为 故答案为；； 探究（1），3，5；6，8，10；8，15，17；，，，82；， ，24，26 12，35，37， 14，48，50， 16，63，65， 18，80，82， ，； （2）由题意，得另一条直角边的代数式为； 弦长的代数式为， 故答案为；． 【点评】此题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． 五．勾股定理的应用 31．（2023秋•宝丰县期末）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是　　 A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得得出结论． 【解答】解：， 是直角三角形，且， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 32．（2024春•闵行区期末）我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 　　． 【答案】． 【分析】设长方形门的宽尺，则高是尺，根据勾股定理即可列方程求解． 【解答】解：设长方形门的宽尺，高是尺，根据题意得： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键． 33．（2024春•平谷区期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么绳索的长度为 　5　． 【答案】5． 【分析】可设秋千的绳索长为 ，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案． 【解答】解：，， ， 在中，，， 设秋千的绳索长为 ，则， 故， 解得：． 故答案为：5． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 34．（2024春•开州区期中）如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等． （1）求站应建在离点多少处？ （2）若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】（1）； （2）2小时． 【分析】（1）设 ，则，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）设 ，则， 在和中，由勾股定理得：，， ，两商场到站的距离相等， ， ， ， 即， 解得：， 答：点应建在离点处； （2）由（1）可知，， ， ， 答：若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要2小时． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 35．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，公路和公路在点处交汇，且，在处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒8米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． （1）学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，则影响时间是多长？ 【答案】（1）学校会受到噪音影响，理由见解析； （2）20秒． 【分析】（1）过点作于，由含角的直角三角形的性质得米，再比较即可； （2）设从点开始学校受到影响，点结束，则米，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出米，即可解决问题． 【解答】解：（1）学校会受到噪音影响，理由如下： 如图，过点作于点， 米，， （米， 米米， 消防车在公路上沿方向行驶时，学校会受到噪音影响； （2）设从点开始学校受到影响，点结束，则米， ， ， 在中，由勾股定理得：（米， （米， 消防车的速度为8米秒， 学校受影响的时间为（秒． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 36．（2024春•潜山市期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度． 【答案】4.55尺． 【分析】设竹子折断处离地面的高度为x尺，则斜边长为（10﹣x）尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：如图，设竹子折断处离地面的高度为x尺，则斜边长为（10﹣x）尺， 由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 答：折断处离地面的高度为4.55尺． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 37．（2024春•赣州期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为多少米？ 【答案】小巷的宽度为2.2米． 【分析】分别在，中求出，，即可． 【解答】解：在中，，米，米， 米， 在中，，米，米， 米， 米， 答：小巷的宽度为2.2米． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 38．（2024春•陆河县校级月考）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 【答案】这根芦苇的长是17尺． 【分析】如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【解答】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 尺， 尺 在△中，， 解得：， 尺． 芦苇长17尺． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 39．（2024春•花溪区校级月考）如图所示，某市决定在相距的，两村之间的公路旁点处修建一个樱桃批发市场，且使，两村到点的距离相等．已知于点，于点，，，那么樱桃批发市场应建在什么位置才能符合要求？ 【答案】樱桃批发市场应建在离村的地方． 【分析】设樱桃批发市场应建在离村的地方，则．根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：设樱桃批发市场应建在离村的地方，则． ， ， ， ， ， ， 又，两村到点的距离相等， ， ， ， 解得， 答：樱桃批发市场应建在离村的地方． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 40．（2024春•汉南区校级月考）如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与，两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． （1）求监测点与监测点之间的距离； （2）请判断海港是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】（1）监测点与监测点之间的距离为； （2）海港会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时． 【分析】（1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； （2）海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响． 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：海港会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$