第3章勾股定理 基础题过关检测 【5个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理 基础题过关检测★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．直角三角形的性质 二．勾股定理 三．勾股定理的证明 四．勾股定理的逆定理 五．勾股定理的应用 · 知识点梳理 · 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． · 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． · 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． · 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． · 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． · 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 一．直角三角形的性质 1．（2024春•新晃县期中）在中，，，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•霍山县三模）如图，与均为直角三角形，交于点，，，，，则　　 A． B． C． D． 3．（2024春•娄星区校级期末）如图，，，若，则　 　． 4．（2024春•西安期中）在三角形 中，，垂足为，则有，其理 由是 　　 5．（2023秋•宜州区期中）在中，已知一个锐角度数为，另一个锐角度数为 　　． 6．（2024春•朝阳区期末）如图①，在中，，，边在直线上．以点为旋转中心，将直线顺时针旋转到直线，交于点，以为直角边作直角，使，，点和点始终在直线的同侧．设． （1）当时，　　． （2）当时，　　． （3）当时，求的大小． （4）当与重叠部分为直角三角形时，直接写出的取值范围． 二．勾股定理 7．（2024春•庆云县期中）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•香坊区校级期中）如果直角三角形的两条直角边分别为2、4，那么斜边上的中线长度为　　 A．2 B．2.5 C．3 D． 9．（2024•海州区校级二模）直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为　　． 10．（2023秋•丹阳市期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 　　． 11．（2023秋•金坛区期中）如图，在中，，点在线段上，且，，，则　　． 12．（2023秋•太康县期末）如图所示：已知两个正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积为 　　． 13．（2024•驻马店二模）如图所示，在中，，，，以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，则的长是 　　． 14．（2023春•西充县校级期中）如图，中，平分，平分，且交于，若，则　 　． 15．（2024•天河区校级三模）如图，已知，垂足为，，，，判断的形状，并说明理由． 三．勾股定理的证明 16．（2024春•连山区校级月考）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形的边长为2，正方形的边长为10，求正方形的边长． 四．勾股定理的逆定理 17．（2024春•南岗区校级期中）下列各组数能作为直角三角形三边长的是　　 A．1，2，3 B．，，5 C．1，2， D．3，4，6 18．（2024春•莲湖区期中）在由下列三条线段组成的三角形中，不能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D． 19．（2024春•历城区期末）满足下列条件的，其中是直角三角形的为　　 A． B． C．，， D．， 20．（2024春•长汀县期末）的三边长分别为，，，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2024•新邵县三模）如图所示的网格是正方形网格，点，，，是网格线交点，且点在的边上，则　　 A． B． C． D． 22．（2024春•海安市期末）下列各组数，能作为直角三角形三边长的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1，2 D．4，6，7 23．（2024•武威三模）如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是　　 A． B． C． D． 24．（2024春•新城区期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，15 D．8，15，17 25．（2023秋•沐川县期末）下列长度的四组线段中，不能构成直角三角形的一组是　　 A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，，2 D．6，7，8 26．（2024春•道里区期末）由线段，，组成的三角形，不是直角三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 27．（2024春•兰陵县期中）如图，正方形网格中的，点、、都在网格点上，则的形状为　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都有可能 28．（2023秋•泰山区期末）在中，，，的对边分别为，，，有以下5个条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断是直角三角形的是 　　（填序号）． 29．（2023春•鞍山期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是 　　． 30．（2022秋•肃州区期末）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 　　． 31．（2023秋•五华县期末）如图所示，在四边形中，，，，．（1）求的长； （2）四边形的面积． 32．（2024春•福田区校级期末）如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，． （1）求证：； （2）求的面积． 五．勾股定理的应用 33．（2024春•南宁期中）如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为 　　． 34．（2023春•凉城县期末）如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　　米． 35．（2023秋•山亭区期末）小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面处风筝线恰好用完（点在点的正下方，、、在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度为 　　． 36．（2024春•大观区校级期中）某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 37．（2023秋•白银区期末）风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高1.6米； （1）求风筝的垂直高度． （2）若王明同学想让风筝沿方向下降9米到点的位置，则他应该往回收线多少米？ 38．（2024•泰安二模）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内． 于点，图中所有的点都在同一平面内． 测量数据 ，，． ，，． 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度．（结果保留根号） 39．（2024春•沅江市月考）如图，有人在岸上点的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，且，拉动绳子将船从点沿的方向拉到点后，绳长，求船体移动的距离的长度． 40．（2024春•界首市期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为12米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方3米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 第3章勾股定理 基础题过关检测★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．直角三角形的性质 二．勾股定理 三．勾股定理的证明 四．勾股定理的逆定理 五．勾股定理的应用 · 知识点梳理 · 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． · 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． · 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． · 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． · 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． · 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 一．直角三角形的性质1．（2024春•新晃县期中）在中，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：在中，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 2．（2024•霍山县三模）如图，与均为直角三角形，交于点，，，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理得到，进而得到，即可解题． 【解答】解：，，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理得到，进而得到，即可解题． 3．（2024春•娄星区校级期末）如图，，，若，则　30　． 【分析】先根据直角三角形的性质得出，再由得出，故，据此可得出结论． 【解答】解：， ． ， ， ， ． 故答案为：30． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形的两个锐角互补是解答此题的关键． 4．（2024春•西安期中）在三角形 中，，垂足为，则有，其理 由是 　同角的余角相等　 【答案】同角的余角相等． 【分析】根据直角三角形的性质得出，，再根据同角的余角相等求解即可． 【解答】解：， ， ， ， （同角的余角相等）， 故答案为：同角的余角相等． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 5．（2023秋•宜州区期中）在中，已知一个锐角度数为，另一个锐角度数为 　　． 【答案】． 【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余． 【解答】解：另一个锐角． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两个锐角互余是解答本题的关键． 6．（2024春•朝阳区期末）如图①，在中，，，边在直线上．以点为旋转中心，将直线顺时针旋转到直线，交于点，以为直角边作直角，使，，点和点始终在直线的同侧．设． （1）当时，　　． （2）当时，　　． （3）当时，求的大小． （4）当与重叠部分为直角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或． 【分析】（1）当时，则，根据可得的度数； （2）当时，则，根据可得的度数； （3）当时，则，根据可得的度数； （4）过点作，则，根据可分为三种情况进行讨论：①当点在线段上时，点在的外部，因此当与重叠部分为直角三角形时，与重合，则，②当点与点重合时，点与落在上，此时与重叠部分为，则，③当点在线段上时，此时与重叠部分为或的一部分，则．综上所述即可得出的取值范围． 【解答】解：（1）当时，则， ， ， 故答案为：； （2）当时， ， ， ， 故答案为：； （3）当时， ， ， ， ； （4）过点作， 在中，，， 为等腰直角三角形， ， 又 有以下三种情况讨论如下： ①当点在线段上时，点在的外部， 因此当与重叠部分为直角三角形时，与重合，如图1所示： ， ， ②当点与点重合时，点与落在上，此时与重叠部分为，如图2所示： 此时， ③当点在线段上时，此时与重叠部分为或的一部分，如图3所示： ， 综上所述：当与重叠部分为直角三角形时，的取值范围是：或． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，角的计算，熟练掌握直角三角形的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点． 二．勾股定理 7．（2024春•庆云县期中）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，利用勾股定理求得各正方形的边长后并总结规律即可． 【解答】解：第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； ， 第个正方形的边长为， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理及图形的规律探索问题，根据已知条件总结出规律是解题的关键． 8．（2024春•香坊区校级期中）如果直角三角形的两条直角边分别为2、4，那么斜边上的中线长度为　　 A．2 B．2.5 C．3 D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线的性质进行计算即可． 【解答】解：直角三角形两条直角边的长分别为2和4， 它的斜边的长为：． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即为． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 9．（2024•海州区校级二模）直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为　6　． 【分析】根据勾股定理可以求得另一条直角边的长，然后即可求得此直角三角形的面积． 【解答】解：直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5， 另一条直角边为， 此直角三角形的面积为：， 故答案为：6． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和三角形的面积公式解答． 10．（2023秋•丹阳市期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 　13　． 【答案】13． 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：根据勾股定理得，斜边长， 故答案为：13． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．（2023秋•金坛区期中）如图，在中，，点在线段上，且，，，则　6　． 【答案】6． 【分析】先利用三角形外角性质得出，则，所以，在求出的度数，进而可得出的长，据此得出结论． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了含30度的直角三角形，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 12．（2023秋•太康县期末）如图所示：已知两个正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积为 　64　． 【答案】64． 【分析】根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解． 【解答】解：由图形可知，字母所代表的正方形的面积， 故答案为：64． 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．（2024•驻马店二模）如图所示，在中，，，，以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，则的长是 　6　． 【答案】6． 【分析】由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线性质求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：由作法得垂直平分， ，， 在中，，， ， 在中，， ， 故答案为：6． 【点评】此题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 14．（2023春•西充县校级期中）如图，中，平分，平分，且交于，若，则　25　． 【分析】根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得，进而可求出的值． 【解答】解：平分，平分， ，， ， 为直角三角形， 由勾股定理可知． 故答案为：25． 【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出为直角三角形． 15．（2024•天河区校级三模）如图，已知，垂足为，，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解答． 【分析】根据垂直定义可得，然后分别在和中，利用勾股定理求出和的长，最后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答． 【解答】解：是直角三角形， 理由：， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ，， ， 是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 三．勾股定理的证明 16．（2024春•连山区校级月考）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形的边长为2，正方形的边长为10，求正方形的边长． 【答案】． 【分析】设每个直角三角形的斜边为，直角边分别为、，其中，由勾股定理可得，由正方形的边长为2得到，则，由正方形的边长为10得到，则，求出，即可得到答案． 【解答】解：设每个直角三角形的斜边为，直角边分别为、，其中， 则， 正方形的边长为2， ， ， 正方形的边长为10， ， ， ， ， ， 由题意可得，正方形的边长为． 即正方形的边长为， 故答案为：． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 四．勾股定理的逆定理 17．（2024春•南岗区校级期中）下列各组数能作为直角三角形三边长的是　　 A．1，2，3 B．，，5 C．1，2， D．3，4，6 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形． 【解答】解：、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故不符合题意； 、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故不符合题意； 、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 18．（2024春•莲湖区期中）在由下列三条线段组成的三角形中，不能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：．， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； ．， 以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．， 以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．， 以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 19．（2024春•历城区期末）满足下列条件的，其中是直角三角形的为　　 A． B． C．，， D．， 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：、，， 最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 、设、、分别为，，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； 、，，，， 不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； 、，，， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 20．（2024春•长汀县期末）的三边长分别为，，，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】直角三角形的定义或勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一． 【解答】解；①，，解得，故①是直角三角形； ②，，解得，，，故②不是直角三角形； ③，，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形； ④，，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形． 能判断是直角三角形的个数有3个； 故选：． 【点评】本题考查了利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理来判定一个三角形是不是直角三角形，是判定直角三角形的常见方法． 21．（2024•新邵县三模）如图所示的网格是正方形网格，点，，，是网格线交点，且点在的边上，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股公理求出，，，则，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：根据题意得，，，，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是解题的关键． 22．（2024春•海安市期末）下列各组数，能作为直角三角形三边长的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1，2 D．4，6，7 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形． 【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意； 、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意； 、，不能组构成三角形，故不符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 23．（2024•武威三模）如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：据图可知，，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 中边上的高， 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形是解题的关键． 24．（2024春•新城区期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，15 D．8，15，17 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【解答】解：、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，能构成直角三角形，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 25．（2023秋•沐川县期末）下列长度的四组线段中，不能构成直角三角形的一组是　　 A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，，2 D．6，7，8 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【解答】解：、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意； 、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意； 、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意； 、，即不能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 26．（2024春•道里区期末）由线段，，组成的三角形，不是直角三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，逐项判断即可． 【解答】解：、，，，组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； 、，，，组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； 、，，，组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； 、，，，组成的三角形不是直角三角形，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 27．（2024春•兰陵县期中）如图，正方形网格中的，点、、都在网格点上，则的形状为　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都有可能 【答案】 【分析】根据勾股定理求出、、的长，求出，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可． 【解答】解：由勾股定理得：，，， 满足， ， 是直角三角形， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 28．（2023秋•泰山区期末）在中，，，的对边分别为，，，有以下5个条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断是直角三角形的是 　②③④⑤　（填序号）． 【答案】②③④⑤． 【分析】①求出最大角，可判断不是直角三角形； ②可以得出，可判断是直角三角形； ③以得出，可判断是直角三角形； ④可以得出，可判断是直角三角形； ⑤求出，可判断是直角三角形． 【解答】解：①，， ， 是锐角三角形， 所以此选项不符合题意； ②， 设，则，， ， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； ③， 设，则，， ， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； ④， ， ， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； ⑤， ， ， ， 解得， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； 故答案为：②③④⑤． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活掌握并使用勾股定理的逆定理． 29．（2023春•鞍山期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据勾股定理及勾股定理逆定理求解即可． 【解答】解：，，， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟记勾股定理逆定理、勾股定理是解题的关键． 30．（2022秋•肃州区期末）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 　24　． 【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积． 【解答】解：， 此三角形为直角三角形， 此三角形的面积为：． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形． 31．（2023秋•五华县期末）如图所示，在四边形中，，，，．（1）求的长； （2）四边形的面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据勾股定理直接求出的长即可； （2）先证明是直角三角形，再根据求出结果即可． 【解答】解：（1），，， 在中，； （2），， ， 是直角三角形， ． 【点评】本题主要考查了勾股定理和逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 32．（2024春•福田区校级期末）如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）证明，可证明，即可得出结论； （2）设 ，则，根据勾股定理即可求出，即可求解． 【解答】（1）证明：在中，，，， ， ， ； （2）解：设 ，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键． 五．勾股定理的应用 33．（2024春•南宁期中）如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为 　3　． 【答案】3． 【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【解答】解：根据题意得：， 为的中点，， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半． 34．（2023春•凉城县期末）如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　7　米． 【分析】在中，根据勾股定理即可求出的长，再根据地毯的长度的长度的长度，代入数据即可得出结论． 【解答】解：在中，米，米，， （米， （米． 故答案为：7． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及生活中的平移现象，结合实际生活掌握“地毯的长度的长度的长度”是解题的关键． 35．（2023秋•山亭区期末）小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面处风筝线恰好用完（点在点的正下方，、、在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度为 　　． 【答案】． 【分析】根据勾股定理求解即可． 【解答】解：根据题意得，，米，（米，米， ，， ，， ， 或（舍去）， 故答案为：． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 36．（2024春•大观区校级期中）某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】7200元． 【分析】连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后根据四边形的面积为，即可求解． 【解答】解：如图，连接， 在中，，，， ， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积为， （元， 即学校需要投入7200元资金买草皮． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 37．（2023秋•白银区期末）风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高1.6米； （1）求风筝的垂直高度． （2）若王明同学想让风筝沿方向下降9米到点的位置，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）16.6米； （2）7米． 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出，再利用即可求出风筝的垂直高度； （2）在中，利用勾股定理求出，再利用的长即可求出他应该往回收线多少米． 【解答】解：（1）由题意，得，米，米， 在中， 由勾股定理，得（米， 由题意，知米， （米， 答：风筝的垂直高度长为16.6米； （2）由题意，得米， （米， 在中， 由勾股定理，得（米， 他应该往回收线（米， 答：他应该往回收线7米． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键． 38．（2024•泰安二模）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内． 于点，图中所有的点都在同一平面内． 测量数据 ，，． ，，． 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度．（结果保留根号） 【答案】． 【分析】选甲组，根据矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果； 选乙组，根据含特殊角的直角三角形的性质得出与的长即可得出结果． 【解答】解：选甲组， 四边形为矩形， ， 在中，， ， 由勾股定理得，， 即， 解得（负值舍去）， ； 选乙组， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，熟记勾股定理以及含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 39．（2024春•沅江市月考）如图，有人在岸上点的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，且，拉动绳子将船从点沿的方向拉到点后，绳长，求船体移动的距离的长度． 【答案】船体移动的距离的长度为． 【分析】利用勾股定理分别求出，的长即可得到答案． 【解答】解；在中，，，， ， 在中，，， ， ， 船体移动的距离的长度为． 【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 40．（2024春•界首市期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为12米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方3米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）12米； （2）3米． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【解答】解：（1）在中， 米，米， （米， （米． 答：处与地面的距离是12米； （2）在中， 米，（米， ， （米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为3米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$