第3章勾股定理 培优题突破练习 【5个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理 培优题突破练习★★★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．直角三角形的性质 二．勾股定理 三．勾股定理的证明 四．勾股定理的逆定理 五．勾股定理的应用 · 知识点梳理 1. 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 2. 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 3. 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 4. 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 5. 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 6. 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 7. 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 一．直角三角形的性质 1．（2020秋•市南区期末）如图，在中，，点在上，过作交的延长线于，连接、，若，，则的大小是　　 A． B． C． D． 2．（2022春•洪雅县期末）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．有以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．勾股定理 3．（德阳）如图，在中，，点是的中点，且，如果的面积为1，则它的周长为　　 A． B． C． D． 4．（2022•温岭市校级模拟）如图，点是直角三角形斜边延长线上一点，，，则　　 A． B． C． D． 5．（2021春•巴南区期末）如图，在中，，点在边上，，，．若与关于直线对称，则线段的长为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•湖南期末）如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则　　 A．1 B．2 C． D． 7．（2022秋•沂源县期末）如图，在中，，，则边上的高的长为　　 A．4 B． C． D．5 8．（2022•温州）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点，于点，于点，交于点．若正方形与正方形的面积之比为5，，则的长为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•青秀区校级月考）如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是　　 A．3 B．6 C． D． 10．（2022•沭阳县校级模拟）如图，在中，，，点为中点，连接，作交于点，垂足为，则　　． 11．（江夏区校级模拟）如图，中，，，点为直线右侧的一动点， ，线段的最大值为 　　． 12．（上虞区期末）如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则　　．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积） 13．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫作常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5、6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是和4，则此三角形 　　常态三角形（选填“是”或“不是” ； （2）若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　　（请按从小到大排列）； （3）如图，中，，，点为的中点，连接，若是常态三角形，求的面积． 14．（2021秋•启东市校级月考）如图①，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有，已知，，，为边上一个动点，点为中点，若筝形的面积为18，则的最大值为 　　． 15．（2022•鼓楼区校级开学）在四边形中，，，，，则的长度为 　　． 16．如图，在四边形中，，，，，，则　　． 17．（2021春•新丰县期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，；，；，； （1）请用含有是正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出的长． （3）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （4）求出的值． 18．（2020春•越城区期中）如图，在中，厘米，厘米，于点，动点从点出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点运动．设动点运动时间为秒． （1）求的长； （2）当的面积为15平方厘米时，求的值； （3）动点从点出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点与点同时出发，且当点运动到终点时，点也停止运动．是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（2021•温州模拟）如图，已知平分，于，于，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 三．勾股定理的证明 20．（2021•鹿城区校级三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结并延长交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 21．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为　　 A．28 B．26 C．32 D．30 22．（2023•阜宁县二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为　　 A．8 B．6 C．4 D．3 23．（2021•永嘉县校级模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知，，．作四边形，满足点、在边上，点、分别在边，上，，、是直线与，的交点．那么的长等于　　 A． B． C． D． 四．勾股定理的逆定理 24．（黄州区校级期末）如图，是等边形内一点，连接、、，，以为边在形外作△，连接，则以下结论错误的是　　 A．是正三角形 B．是直角三角形 C． D． 25．（2022秋•泰山区校级月考）若的三边，，满足，，为奇数，且能被3整除，则　　，是 　　三角形． 26．（潮阳区模拟）如图，中，度．将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为　 　． 27．（中方县校级期中）中，三边长分别为，，，则中最小的角为　　度． 28．（2022春•洪山区期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④以，，为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形；其中正确的说法有 　　（填写正确说法的序号）． 29．（2021•江西模拟）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 　　． 30．（大邑县期中）在中，、、的对边分别为，，且满足，则是　　三角形． 31．（2022春•抚远市期中）已知的三边长为，，，且满足．试判断的形状，并说明理由． 五．勾股定理的应用 32．（钦州）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有　　 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 33．（2023•金东区三模）如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条，，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条，一端分别与支撑条，中点连接，并且可绕固定支点与支点转动，通过转动活动条，将末端点与点分别卡入支撑条及上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条． 将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条，使得，调节活动条使得，此时活动条末端点到桌面的距离为 　　，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即，将其放置到上述状态电脑支架上，使点与点重合，此时点恰好与点重合，开合电脑显示屏，点到桌面的最大高度是 　　． 34．（2022•温州一模）图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，，，木架高．按压点旋转至点，抛杆绕点旋转至，弹绳随之拉伸至，测得，则抛杆的长为 　　．若弹绳自然状态时，点，，在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度为 　　． 35．（沭阳县期中）一架梯子长2.5米，斜靠在一面垂直于地面的墙上，梯子底端离墙0.7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了0.4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为多少米？ 36．（泰兴市期末）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达岛，乙船达到岛，若、两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 37．（建昌县期末）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度．（彩旗完全展平时的尺寸是如图②所示的长方形．单位： 38．（文安县期中）小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开5米到后，发现下端刚好接触地面．你能帮他把旗杆的高度求出来吗？ 39．（石鼓区校级期末）如图，一架25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ （3）如果梯子与地面的夹角小于时，梯子就会滑倒，那么在第（2）问中，梯子会滑倒吗？请说明理由． 40．（宁河区校级月考）如图，为修通铁路凿通隧道，量出，公里，公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道凿通？ 第3章勾股定理 培优题突破练习★★★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．直角三角形的性质 二．勾股定理 三．勾股定理的证明 四．勾股定理的逆定理 五．勾股定理的应用 · 知识点梳理 1. 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 2. 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 3. 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 4. 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 5. 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 6. 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 7. 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 一．直角三角形的性质 1．（2020秋•市南区期末）如图，在中，，点在上，过作交的延长线于，连接、，若，，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，．想办法证明，推出即可解决问题． 【解答】解：如图，取的中点，连接，． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2022春•洪雅县期末）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．有以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求，由和平分判断②，结合求与的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ，故②正确，符合题意； ， ， ， 又， ，无法判定，故③错误，不符合题意； 又， ， ， ， ，故④正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换． 二．勾股定理 3．（德阳）如图，在中，，点是的中点，且，如果的面积为1，则它的周长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得；然后利用勾股定理、三角形的面积求得的值，则易求该三角形的周长． 【解答】解：如图，在中，，点是的中点，且， ． 又的面积为1， ，则． ， （舍去负值）， ，即的周长是． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．此题借助于完全平方和公式求得的长度，减少了繁琐的计算． 4．（2022•温岭市校级模拟）如图，点是直角三角形斜边延长线上一点，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先延长过点作于点，设，则，然后证明，可得，即，可求出，，，又，，，可得，即，求解即可． 【解答】解：延长过点作于点， ， ， 设，则， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：（舍，， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理和含角的直角三角形，熟练掌握勾股定理公式和直角三角形的性质是解题的关键． 5．（2021春•巴南区期末）如图，在中，，点在边上，，，．若与关于直线对称，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，依据可得出是直角三角形，利用面积法求得的长，利用勾股定理求得的长，即可运用勾股定理得到的长． 【解答】解：如图所示，连接，交于， 中，，，， ． ， ， 又， ， ， 点是的中点， ． 由折叠可得，， ，， 又， ，即是直角三角形． 由折叠可得，垂直平分， ，， ，， ， 即， ，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理以及轴对称的性质的运用，连接辅助线并证明是直角三角形是解题的关键． 6．（2023秋•湖南期末）如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】 【分析】过点作于，连接，先求出，进而利用勾股定理即可得出，进而求出，最后判断出，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【解答】解：如图，过点作于，连接， ，是分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 平分，平分， 是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出，证明出是解本题的关键． 7．（2022秋•沂源县期末）如图，在中，，，则边上的高的长为　　 A．4 B． C． D．5 【答案】 【分析】过作于点，根据勾股定理计算出底边上的高的长，然后计算三角形的面积，再以为底，利用三角形的面积计算出边上的高即可． 【解答】解：过作于点， ， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合． 8．（2022•温州）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点，于点，于点，交于点．若正方形与正方形的面积之比为5，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设交于点，过作于点，设正方形边长为，根据正方形与正方形的面积之比为5，得，证明，可得，设，在中，，可解得，有，，从而可得，，，即知为中点，，由，得，，即得，而，又，得，即，故． 【解答】解：设交于点，过作于点，如图： 设正方形边长为， 正方形面积为， 正方形与正方形的面积之比为5， 正方形的面积为， ， 由已知可得：，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得或（舍去）， ，， ， ， ， ，， ，即为中点， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关线段的长度． 9．（2023秋•青秀区校级月考）如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是　　 A．3 B．6 C． D． 【答案】 【分析】方法一：设，的交点为，，，，的中点分别是，，，，连接，，，，，，，先证，由此得当为最小时，为最小，再根据“两点之间线段最短”得：，再证四边形为矩形，且，，据此由勾股定理可求出，进而可得的最小值． 方法二：以，为邻边构造平行四边形，连接，证明出的最小值为，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：方法一：设，的交点为，，，，的中点分别是，，，，连接，，，，，，，如图： ，互相垂直， 和为直角三角形，且，分别为斜边， ，， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， 点，分别为，的中点， 为的中位线， ，， 同理：，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 四边形为矩形， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为， 的最小值为． 故选：． 方法二：以，为邻边构造平行四边形，连接， 则，， ， 的最小值为， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， 的最小值为． 故选：． 【点评】方法一考查矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．方法二考查平行四边形的性质，勾股定理，能够构造出以，为邻边构造平行四边形是解题的关键． 10．（2022•沭阳县校级模拟）如图，在中，，，点为中点，连接，作交于点，垂足为，则　　． 【答案】． 【分析】利用辅助线构造矩形或正方形，结合“十字架”模型的特点，通过三角形相似，对应线段成比例求解出的长． 【解答】解：如图，过点、分别作、的垂线，两垂线相交于点，延长交于点， 是直角三角形， 四边形为矩形， 点为中点，， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， ，； 在矩形中，， ， ，即， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的性质的应用，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，掌握勾股定理、三角形相似的性质． 11．（江夏区校级模拟）如图，中，，，点为直线右侧的一动点， ，线段的最大值为 　　． 【分析】取的中点，连接、，根据，求出、的长即可解决问题； 【解答】解：如图，取的中点，连接、，作于，于． ，，， ，， ， 在中，，， ，， ， 在中，， 点在以为直径的圆上， ， ， 的最大值为 故答案为． 【点评】本题考查勾股定理、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形三边关系解决最值问题，属于中考填空题在的压轴题． 12．（上虞区期末）如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则　6　．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积） 【分析】如图，连接，作于，设交于，交于．证明，推出，由，推出，，共线，由四边形是矩形，推出，证明，推出，由，，可证，推出， 【解答】解：如图，连接，作于，设交于，交于． ， ， ，， ， ， ， ，，共线， 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ，可证， ， 解法二：， ， 故答案为6． 【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 13．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫作常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5、6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是和4，则此三角形 　是　常态三角形（选填“是”或“不是” ； （2）若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　　（请按从小到大排列）； （3）如图，中，，，点为的中点，连接，若是常态三角形，求的面积． 【答案】（1）是； （2）； （3）或． 【分析】（1）由，符合定义； （2）设两直角边长为：、，斜边长为，则，，可得，从而得出答案； （3）由是常态三角形，分或，可分别计算出的长，从而解决问题． 【解答】解：（1）， 是常态三角形， 故答案为：是； （2）是常态三角形， 设两直角边长为：、，斜边长为， 则，， ， ， 设，， 则， 此三角形的三边比为：； 故答案为：； （3）在中，，，点为的中点， ， 是常态三角形， 当时， 解得：， 则， ， 的面积为：， 当时， 解得：， 则， ， 的面积为：． 的面积为或． 【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，读懂题意，进行分类讨论是解题的关键． 14．（2021秋•启东市校级月考）如图①，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有，已知，，，为边上一个动点，点为中点，若筝形的面积为18，则的最大值为 　　． 【答案】． 【分析】由四边形是筝形得：，及，当取最小值时，有最大值，当时，取到最小值为36，即求得，由即可求得的最大值． 【解答】解：如图， 是筝形， ， ， 当取最小值时，有最大值， ，，， ，， ， 是直角三角形， 为边上的一个动点， 当时，取到最小值， 的最小值为：， ， ， 在中，点为的中点， ， 当取最大值时，有最大值， 的最大值为， 故答案为． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短等知识，理解题意，运用面积法求出的最小值是解题的关键． 15．（2022•鼓楼区校级开学）在四边形中，，，，，则的长度为 　　． 【答案】． 【分析】以为边作等边，连接并延长至，使，连接、，由，，得是的垂直平分线，即有，是中点，证明，可得，，可得是等边三角形，根据，知是的垂直平分线，从而，设，则，，在中，，解得，用勾股定理即得． 【解答】解：以为边作等边，连接并延长至，使，连接、，如图： ，， 是的垂直平分线， ，是中点， ，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， 是的平分线， 是的垂直平分线， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查四边形综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，本题计算量较大，有一定难度． 16．如图，在四边形中，，，，，，则　15　． 【分析】如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，作于．解直角三角形求出，即可解决问题． 【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，作于． ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为15． 【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考填空题中的压轴题． 17．（2021春•新丰县期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，；，；，； （1）请用含有是正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出的长． （3）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （4）求出的值． 【分析】（1）分别求出、、，找出规律即可； （2）根据勾股定理求出，，即可； （3）利用（1）的规律代入求出即可； （4）首先求出的通项公式，然后把代入即可 【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：，，，所以．； （2），，； （3）当时，有：，解之得： 即：说明它是第20个三角形． （4），，，， ， 当时，． 【点评】本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，此题难度不大． 18．（2020春•越城区期中）如图，在中，厘米，厘米，于点，动点从点出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点运动．设动点运动时间为秒． （1）求的长； （2）当的面积为15平方厘米时，求的值； （3）动点从点出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点与点同时出发，且当点运动到终点时，点也停止运动．是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可； ②根据直角三角形面积求出即可求出； ③根据题意列出、的表达式解方程组，由于在点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件． 【解答】解：（1），， ，且， ． （2），， 又由面积为， 解得，． （3）假设存在， 使得． ①若点在线段上， 即时，，， 由， 即， 解得（舍去），．（2分） ②若点在射线上，即． 由 得， 解得，．（2分） 综上，存在的值为2或或，使得．（1分） 【点评】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件． 19．（2021•温州模拟）如图，已知平分，于，于，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）要证明，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等； （2）结合（1）中的结论进行分析，发现：，求出的长，再根据勾股定理求得的长，再运用勾股定理进行求解即可． 【解答】（1）证明：平分，于，于， ，（垂线的意义） （角平分线的性质） （已知） （2）解：由（1）得， ，设， ，， ， 即： ，， 解得， 在中，， 中， 答：的长为17． 【点评】（1）掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等； （2）注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理． 三．勾股定理的证明 20．（2021•鹿城区校级三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结并延长交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】解：设，由，可得，所以，由勾股定理得，然后证明，，，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，延长交于点，设与交于点， 设， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 四个全等的直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，数学常识，相似三角形的判定与性质，勾股定理，图形的全等，解决本题的关键是得到． 21．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为　　 A．28 B．26 C．32 D．30 【答案】 【分析】根据，，想法把，，求出来，想到作辅助线，构造直角三角形． 【解答】解：设，，，过作作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ，， ， 在与中， ， ， ，， 同理可证， ，， 在中，，即， 在中，，即， ，，． ． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，求出，，． 22．（2023•阜宁县二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为　　 A．8 B．6 C．4 D．3 【分析】利用整体代入的思想求出的值即可． 【解答】解：由题意可得，， 小正方形的面积， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（2021•永嘉县校级模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知，，．作四边形，满足点、在边上，点、分别在边，上，，、是直线与，的交点．那么的长等于　　 A． B． C． D． 【分析】如图，延长交于，过点作于，过点作于．首先证明，利用相似三角形的性质求出，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长交于，过点作于，过点作于． 四边形，四边形都是正方形， ，，， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 同法可证，，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 四．勾股定理的逆定理 24．（黄州区校级期末）如图，是等边形内一点，连接、、，，以为边在形外作△，连接，则以下结论错误的是　　 A．是正三角形 B．是直角三角形 C． D． 【答案】 【分析】先运用全等得出，，从而，得出是等边三角形，，，再运用勾股定理逆定理得出，由此得解． 【解答】解：是等边三角形，则，又△，则，， 是正三角形，又， 设，则：，，， 根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且， 又是正三角形， ， 错误的结论只能是． 故选：． 【点评】解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键． 25．（2022秋•泰山区校级月考）若的三边，，满足，，为奇数，且能被3整除，则　13　，是 　　三角形． 【分析】依据三角形的三边关系即三角形的任意一边大于其它两边的差，小于其它两边的和，列出不等式，再根据勾股定理的逆定理求得． 【解答】解：根据三角形的三边关系知，第三边应满足：， 又为奇数，满足从7到17的奇数有9，11，13，15， 与的和又是3的倍的只有13了，，此时有， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． 故填13，直角． 【点评】本题考查了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考查直角三角形的判定． 26．（潮阳区模拟）如图，中，度．将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为　6　． 【分析】运用线段垂直平分线的性质得，根据折叠的性质得，然后根据直角三角形的性质计算． 【解答】解：根据题意，得垂直平分，则． 得 根据折叠，得 再根据直角三角形的两个锐角互余得 则． 【点评】此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统． 27．（中方县校级期中）中，三边长分别为，，，则中最小的角为　30　度． 【分析】此题利用勾股定理的逆定理和直角三角形的性质进行求解． 【解答】解：中，三边长分别为，，， ， 是直角三角形， 又， 中最小的角为边所对的角， ，， ， 中最小的角为30度． 【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形． 28．（2022春•洪山区期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④以，，为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形；其中正确的说法有 　②③④　（填写正确说法的序号）． 【答案】②③④． 【分析】根据勾股定理和勾股定理逆定理以及三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案． 【解答】解：由勾股定理得， 以，，为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形； ①不正确； ，， 又， ， ， 以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形， ②正确． ，， ， ， ， 以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形， ③正确． 第④个可以用特值法，当时，，此时， 所以，以，，为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形， ④正确． 故答案为：②③④． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理． 29．（2021•江西模拟）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 　3.6或4.32或4.8　． 【分析】在中，通过解直角三角形可得出，，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可． 【解答】解：在中，，，， ，． 沿过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： ①当时，如图①所示， ； ②当，且在上时，如图②所示， 作的高，则， ， ， ； ③当时，如图③所示， ； ④当时，点在线段的垂直平分线上， 根据平行线分线段成比例定理得点是的中点， 是斜边上的中线， ， 此时也是等腰三角形，不符合题意，舍去． 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8． 故答案为3.6或4.32或4.8． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键． 30．（大邑县期中）在中，、、的对边分别为，，且满足，则是　等腰直角　三角形． 【分析】首先根据非负数的性质求出，，进而判断出的形状． 【解答】解：， ，， ， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 故答案为等腰直角． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及非负数的性质，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断． 31．（2022春•抚远市期中）已知的三边长为，，，且满足．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析． 【分析】根据绝对值、平方的非负性就可以求出，，的值，然后根据勾股定理的逆定理就可以证明是直角三角形． 【解答】解：是直角三角形． 理由：，，，， ，，， ，，， ，， ， 是直角三角形． 【点评】本题考查绝对值、平方的非负性，二次根式的化简，勾股定理的逆定理，是常考题型．解题的关键是要利用绝对值、平方的非负性就可以求出，，的值． 五．勾股定理的应用 32．（钦州）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有　　 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】 【分析】如图所示，找出从点到点的最短距离的走法即可． 【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示， 最短路程长为， 则从点到点的最短距离的走法共有3种， 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键． 33．（2023•金东区三模）如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条，，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条，一端分别与支撑条，中点连接，并且可绕固定支点与支点转动，通过转动活动条，将末端点与点分别卡入支撑条及上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条． 将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条，使得，调节活动条使得，此时活动条末端点到桌面的距离为 　　，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即，将其放置到上述状态电脑支架上，使点与点重合，此时点恰好与点重合，开合电脑显示屏，点到桌面的最大高度是 　　． 【答案】；． 【分析】①根据题上条件，依据勾股定理先求出长，再算出长，利用求出活动条末端点到桌面的距离即可； ②如图4，当时，点到桌面的高度最大，作于点，延长交于点，作于点，作于点，交于点，交于点，作于点，辅助线构造直角三角形，矩形．根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求出，根据矩形性质，求出，根据勾股定理求出，面积法求出，再用勾股定理求出、解直角三角形求出、，进而求出，，再根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求出，进而求出、，再根据三角形中位线定理，求出，即可求解的值，即点到桌面的最大高度． 【解答】解：①，，， ， ， 又， 活动条末端点到桌面的距离； ②如图4，当时，点到桌面的高度最大， 作于点，延长交于点，作于点，作于点，交于点，交于点，作于点， 在中，，， ， ，，，， 四边形为矩形，四边形为矩形， ， ，，，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 即点到桌面的最大高度是． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，矩形的性质等知识点，综合性较强，添辅助线构造直角三角形是解题的关键． 34．（2022•温州一模）图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，，，木架高．按压点旋转至点，抛杆绕点旋转至，弹绳随之拉伸至，测得，则抛杆的长为 　　．若弹绳自然状态时，点，，在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度为 　　． 【答案】，． 【分析】（1）延长交的延长线于，证明，从而得出，的值，进而解直角三角形，进一步求得结果． 【解答】解：如图， 延长交的延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 为， 故答案为：，． 【点评】本题考查了解直角三角形（运用相似三角形也可以），全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是理解题意，转化成数学问题． 35．（沭阳县期中）一架梯子长2.5米，斜靠在一面垂直于地面的墙上，梯子底端离墙0.7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了0.4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为多少米？ 【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：（1）是直角三角形，米，米， ， （米． 答：这个梯子的顶端距地面有2.4米； （2）梯子的顶端下滑了0.4米到， 米． △是直角三角形， ， 米， （米． 答：梯子的底端在水平方向滑动的距离为0.8米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式． 36．（泰兴市期末）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达岛，乙船达到岛，若、两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 【分析】根据题意得出海里，海里，海里；由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，即可求出乙船的航行方向． 【解答】解：根据题意得；海里，海里，海里； ， 是直角三角形，， ， 乙船的航行方向为南偏东． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、方向角；证明是直角三角形是解决问题的关键． 37．（建昌县期末）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度．（彩旗完全展平时的尺寸是如图②所示的长方形．单位： 【分析】根据图形标出的长度，先构造直角三角形，根据勾股定理就可求出彩旗的对角线的长，继而求出的值． 【解答】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为：， 所以． 彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 【点评】本题考查勾股定理的实际运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 38．（文安县期中）小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开5米到后，发现下端刚好接触地面．你能帮他把旗杆的高度求出来吗？ 【分析】首先根据题意可得米，米，再根据勾股定理可得，解方程即可． 【解答】解：由题意得：米，米， ， ， 解得：． 答：旗杆的高度是12米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方． 39．（石鼓区校级期末）如图，一架25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ （3）如果梯子与地面的夹角小于时，梯子就会滑倒，那么在第（2）问中，梯子会滑倒吗？请说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理，即分别求出和，求二者之差即可解答； （3）设时，在△中，求得．由于，于是得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得：，， ， 答：这个梯子的顶端距地面有； （2）， ， ， ，， 梯子的底部在水平方向滑动了8米； （3）设时， ， 在△中，． ， 梯子不会滑倒． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键． 40．（宁河区校级月考）如图，为修通铁路凿通隧道，量出，公里，公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道凿通？ 【分析】首先求出的长，再根据每天凿隧道0.3公里，即可求出时间． 【解答】解：在中，，公理，公理， 公理， 每天凿隧道0.3公里，， 天才能把隧道凿通． 【点评】本题考查勾股定理、凿隧道的速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，所以中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$