第2章轴对称图形 中档题拓展训练 【11个考点50题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第2章轴对称图形 中档题拓展训练★★【11个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．含30度角的直角三角形 八．直角三角形斜边上的中线 九．轴对称的性质 一十．作图−轴对称变换 一十一．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． · 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． · 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． · 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． · 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． · 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． · 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2024春•碑林区校级月考）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024•阳泉一模）在中，，，，是的平分线，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长为 　　． 3．（2024•朝阳区校级三模）如图，在中，平分，．若，，则　　． 4．（2024春•碑林区校级月考）已知：直线，直线与直线、分别相交于点、点． （1）如图1，若平分，平分，则直线与的位置关系是 　　． （2）如图2，若，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并证明你的结论； （3）如图3，若点是射线上一动点，平分，平分，过点作于点，则与的关系是 　　． 二．线段垂直平分线的性质 5．（2024•凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则　　 A． B． C． D． 6．（2024•花都区模拟）如图，小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 　　． 7．如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． （1）若，则的度数为 　　； （2）若，则的度数为 　　；（用含的代数式表示） （3）连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 三．等腰三角形的性质 8．（2024•沂水县二模）如图，在中，，平分，是中点，，，则的周长为　　． A．28 B．18 C．24 D．29.5 9．（2024春•中原区校级月考）在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是　　 A．底边上的高 B．腰上的中线 C．底边上的中线 D．顶角的角平分线 10．（2024春•未央区月考）若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•长清区期末）如图，在中，，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①； ②当时， ③当为等腰三角形时，或 ④当点为的中点时，．其中正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024春•惠来县期末）等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是　　 A．或 B．或 C．或 D． 13．一个等腰三角形的两边长分别是和，这个等腰三角形的周长是 　　． 14．（2024春•宝丰县期末）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若是等腰三角形，则的度数是 　　． 15．（2024春•金水区校级月考）如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，　　时，的形状是等腰三角形． 16．（2024春•安源区校级月考）等腰三角形的顶角大于，如果过它的顶点作一直线能将它分成两个等腰三角形，则的度数为　 　． 17．（2024春•大丰区校级月考）已知，的三边长为4，7，． （1）求的取值范围； （2）当为等腰三角形时，求的值． 18．（2024春•松江区校级月考）如图，已知在中，，，，求的度数． 四．等腰三角形的判定与性质 19．（2024春•白塔区校级月考）如图所示，，，，分别是，的平分线，经过点且平行于，则　　度． 20．（2024•香坊区三模）如图，在中，，平分交于，，，于，则　　． 21．（2024春•商河县期末）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形． 五．等边三角形的性质 22．如图所示，将边长为3个单位的等边沿边向右平移2个单位得到，则四边形的周长为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 23．直角三角形的三边长分别为，，，以直角三角形的三边为边（或直径）分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足的图形的序号是　　 A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 24．（2024•汉中二模）如图，在等边中，延长到点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D．3 25．（2024•路南区二模）等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． （1）如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②若，求的度数； （2）如图2，连接，若，，则　　． 六．等边三角形的判定与性质 26．（2023秋•阳信县期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证： （1）是等边三角形； （2）点在线段的垂直平分线上． 七．含30度角的直角三角形 27．（2023秋•济南期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当为何值时，为等边三角形？ （2）当为何值时，为直角三角形？ 八．直角三角形斜边上的中线 28．（2024•佛山二模）如图，在中，，点是边的中点，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 29．（2024春•道县校级月考）如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是 　　． 30．（2024春•吐鲁番市期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的大小是　　． 31．（2024春•新宁县校级月考）如图，九洞天风景区内的路，互相垂直，路的中点与点被经过景区的六冲河隔开．若测得路的长为，则、两点间的距离是 　　． 32．（2024春•两江新区期末）如图，在中，，点是的中点，，，则　　． 九．轴对称的性质 33．（2024春•武侯区期末）某社区准备在街道（直线旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶．如图，已知点关于直线的对称点为，与直线相交于点，与直线相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区，到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为　　 A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 34．（2024春•鄄城县期末）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 一十．作图−轴对称变换 35．（2024春•城厢区校级月考）如图，在的方格纸中，，为格点，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中画出格点，点，，的对应点分别为，，，使得与关于线段成轴对称图形． （2）在图2中画出平移后的格点，点，，的对应点分别为，，，使得线段平分的面积． 36．（2024春•娄星区校级期末）如图，已知的顶点都在正方形网格的格点上． （1）请画出，使得与关于直线对称，点，的对应点分别为点，； （2）在（1）的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1，试求的面积． 一十一．翻折变换（折叠问题） 37．（2024•香坊区校级模拟）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则的长为　　 A．2 B． C． D．4 38．（2024春•驿城区校级月考）如图，把一张长方形的纸按如图所示那样折叠，、两点分别落在，点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 39．（2024•建华区二模）在中，，，，点在的边上，且，将折叠，使点落在点处，折痕交边于点，交另一边于点，则　　． 40．（2024•吕梁一模）如图，将直角三角形纸片折叠，使点的对应点与斜边的中点重合，折痕为．若，，则折痕的长度为 　　． 第2章轴对称图形 中档题拓展训练★★【11个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．含30度角的直角三角形 八．直角三角形斜边上的中线 九．轴对称的性质 一十．作图−轴对称变换 一十一．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． · 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． · 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． · 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． · 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． · 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． · 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2024春•碑林区校级月考）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】过点作于，得到，再根据进行求解即可． 【解答】解：如图所示，过点作于， 是的角平分线，，， ， ，，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 2．（2024•阳泉一模）在中，，，，是的平分线，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】交于点，如图，利用勾股定理计算出，利用角平分线定理得到，再证明，所以，然后根据平行线分线段成比例定理得到，则，从而利用比例的性质可求出的长． 【解答】解：交于点，如图， ，，， ， 是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了相似三角形的判定与性质． 3．（2024•朝阳区校级三模）如图，在中，平分，．若，，则　　． 【答案】． 【分析】根据角平分线的性质可得，即可求出结果． 【解答】解：过点作于点， 平分，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 4．（2024春•碑林区校级月考）已知：直线，直线与直线、分别相交于点、点． （1）如图1，若平分，平分，则直线与的位置关系是 　　． （2）如图2，若，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并证明你的结论； （3）如图3，若点是射线上一动点，平分，平分，过点作于点，则与的关系是 　　． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理，即可求出，即可得到答案； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，，相加即可得到答案； （3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用垂线的定义和三角形内角和定理，得到，即可得到答案． 【解答】解：（1），理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为：； （2），证明如下： 如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ，平分，平分， ，， ，， ； （3）， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． 二．线段垂直平分线的性质 5．（2024•凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线得出，进而利用三角形的周长解答即可． 【解答】解：垂直平分交于点， ， 的周长为， 即， 故选：． 【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出解答． 6．（2024•花都区模拟）如图，小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 　8　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据三角形的周长的公式解答即可． 【解答】解：点刚好落在的垂直平分线上， ， 的周长，的周长， ， 故答案为：8． 【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出解答． 7．如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． （1）若，则的度数为 　　； （2）若，则的度数为 　　；（用含的代数式表示） （3）连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，再由，分别垂直平分和，求出，即可求解． 【解答】解：（1），分别垂直平分和， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （2），分别垂直平分和， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图， 、分别垂直平分和， ，， 的周长， 的周长为， ， 的周长为， ， ， ，分别垂直平分和， ，， ， ． 【点评】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 三．等腰三角形的性质 8．（2024•沂水县二模）如图，在中，，平分，是中点，，，则的周长为　　． A．28 B．18 C．24 D．29.5 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到答案． 【解答】解：，平分，， ，， ， 点为的中点，， ， ， ， 的周长． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，解答该题的突破口在于运用等腰三角形的“三线合一”的性质推知，． 9．（2024春•中原区校级月考）在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是　　 A．底边上的高 B．腰上的中线 C．底边上的中线 D．顶角的角平分线 【答案】 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，据此进行分析即可得出结果． 【解答】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合， 故选项不符合条件， 故选：． 【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练应用． 10．（2024春•未央区月考）若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等边对等角，可知两个底角相等，再根据三角形内角和定理，可计算出答案． 【解答】解：该等腰三角形的顶角为， 底角为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 11．（2024春•长清区期末）如图，在中，，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①； ②当时， ③当为等腰三角形时，或 ④当点为的中点时，．其中正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①根据等腰三角形性质得，在根据，得，进而得，据此可对结论结论①进行判断； ②证明和全等得，，则，进而，由此可求出，据此可对结论结论②进行判断； ③根据，得，因此当为等腰三角形时有以下两种情况：（ⅰ）当时，则，进而得，再由结论①正确得，（ⅱ）当时，则，进而得，再由结论①正确得，据此可对结论结论③进行判断； ④当点为的中点时，则，，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在中，，， ， ，， ， ， ，， ， 故结论①正确； ②由①可知：，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故结论②正确； ③，， ， ， 当为等腰三角形时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，如图1所示： 则， ， 由结论①正确得：， ， （ⅱ）当时，如图2所示： 则， ， ， 综上所述：当为等腰三角形时，或， 故结论③正确； ④当点为的中点时，如图3所示： 在中，，， ，， ， 即， 在中，，， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 12．（2024春•惠来县期末）等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是　　 A．或 B．或 C．或 D． 【答案】 【分析】分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【解答】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为； 综上所述，它的底角是或． 故选：． 【点评】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题． 13．一个等腰三角形的两边长分别是和，这个等腰三角形的周长是 　16或17　． 【答案】16或17． 【分析】由等腰三角形两边长为和，分别从等腰三角形的腰长为和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【解答】解：若等腰三角形的腰长为，底边长为， ， 能组成三角形， 它的周长是：； 若等腰三角形的腰长为，底边长为， ， 能组成三角形， 它的周长是：． 它的周长是：或． 故答案是：16或17． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 14．（2024春•宝丰县期末）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若是等腰三角形，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据三角形中角的关系，平行线的性质即可求解． 【解答】解：是等腰三角形， ， 如图所示，三角尺与直尺的交点为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角板中角度的计算与平行线的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 15．（2024春•金水区校级月考）如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，　或或　时，的形状是等腰三角形． 【答案】或或． 【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【解答】解：，， ， ①当时，此时， ， ， ； ②当时，此时， ， ， ，此时点与点重合； ③当时，此时， ， ； 综上可知，点在滑动时，或或时，的形状是等腰三角形， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 16．（2024春•安源区校级月考）等腰三角形的顶角大于，如果过它的顶点作一直线能将它分成两个等腰三角形，则的度数为　　． 【分析】根据等边对等角，得到，，，根据三角形中一个外角等于与它不相邻的内角和，得，再利用三角形内定理建立方程求出为，进而求出顶角的度数． 【解答】解：如图，，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 17．（2024春•大丰区校级月考）已知，的三边长为4，7，． （1）求的取值范围； （2）当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）；（2）4或7． 【分析】（1）根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可； （2）分腰长为4，腰长为7两种情况求解即可． 【解答】解：（1）的三边长为4，7，， ， ； （2）当腰长为4时，则，此时符合； 当腰长为7时，则，此时符合； 综上所述，的值为4或7． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握三角形三边的关系是关键． 18．（2024春•松江区校级月考）如图，已知在中，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据平行可得，即可得出答案． 【解答】解：， ， 在中， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 四．等腰三角形的判定与性质 19．（2024春•白塔区校级月考）如图所示，，，，分别是，的平分线，经过点且平行于，则　125　度． 【答案】125． 【分析】由，，，分别是，的平分线可以得到、的度数，又因为经过点且平行，所以根据平行线性质可以求出，，而是平角即，所以可以求出． 【解答】解：，，，分别是，的平分线， ，， 又经过点且平行， ，， ． 故答案为：125． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练应用． 20．（2024•香坊区三模）如图，在中，，平分交于，，，于，则　3　． 【答案】3． 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，，，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后结合已知，可得，从而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（2024春•商河县期末）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形． 【分析】根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案． 【解答】证明：在中， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 五．等边三角形的性质 22．如图所示，将边长为3个单位的等边沿边向右平移2个单位得到，则四边形的周长为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】 【分析】根据平移的性质易得，那么四边形的周长即可求得． 【解答】解：将边长为4个单位的等边沿边向右平移2个单位得到， ，各等边三角形的边长均为3． 四边形的周长． 故选：． 【点评】本题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长． 23．直角三角形的三边长分别为，，，以直角三角形的三边为边（或直径）分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足的图形的序号是　　 A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】先由勾股定理得，利用等边三角形的性质可求出，，，由此得，据此可对①进行判断；根据圆的面积公式得，，，由此得，据此可对②进行判断；利用等腰直角三角形的性质可求出，，，由此得，据此可对③进行判断；根据正方形的面积公式得，，，由此得，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：由勾股定理得：， 如图1所示：过点作于， 为等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 同理：，， ， ， 故①符合题意； 根据圆的面积公式得： ，，， ， ， 故②符合题意； 如图2所示： 为等腰直角三角形，， ， ， 同理：，， ， ， 故③符合题意； 根据正方形的面积公式得：，，， ， ， 故④符合题意， 综上所述：面积关系满足的图形的序号是①②③④． 故选：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，理解等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，三角形的面积公式，圆的面积公式，正方形的面积公式是解决问题的关键． 24．（2024•汉中二模）如图，在等边中，延长到点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D．3 【答案】 【分析】过点作于，利用等边三角形的性质得出，从而得出□是等腰直角三角形，即可求得，在中，，则，利用勾股定理即可求出的长． 【解答】解：过点作于，如图， 等边， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键． 25．（2024•路南区二模）等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． （1）如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②若，求的度数； （2）如图2，连接，若，，则　　． 【答案】（1）①答案见解答过程；②； （2）． 【分析】（1）①证明和全等得，再根据平行线的判定可得出结论； ②延长交的延长线于，根据等边三角形性质得，，进而可求出，再由①，得，由此得，据此可得的度数； （2）延长到是，连接，，先求出，，由勾股定理得，根据得，再根据，得，然后由勾股定理即可求出的长． 【解答】（1）①证明：在和中， ， ， ， ； ②解：延长交的延长线于，如图1所示： 为等边三角形， ，， 又， ， ， ， ， 由①可知：， ， ，即， 又， ， ； （2）延长到是，连接，，如图2所示： 由（1）②可知：， 为等边三角形，且边长为2， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）①可知：， ， 又，， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 六．等边三角形的判定与性质 26．（2023秋•阳信县期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证： （1）是等边三角形； （2）点在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证． 【解答】（1）证明：在中，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是的垂直平分线， ，， ，则， ， 平分， ，， ， 是等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 七．含30度角的直角三角形 27．（2023秋•济南期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当为何值时，为等边三角形？ （2）当为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1）； （2）或． 【分析】用含的代数式表示出、． （1）由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论． 【解答】解：在中，，， ． ， ，， （1）当时，为等边三角形． 即． ． 当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时，， 即， ． ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 【点评】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程是解决本题的关键． 八．直角三角形斜边上的中线 28．（2024•佛山二模）如图，在中，，点是边的中点，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行分析判断． 【解答】解：在中，，点是边的中点，则是斜边上的中线． 所以． 只有当时，． 观察选项．只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）． 29．（2024春•道县校级月考）如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是 　　． 【答案】． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论． 【解答】解：在中，，点是的中点， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 30．（2024春•吐鲁番市期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的大小是　　． 【答案】． 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，结合等腰三角形的性质求得，则直角三角形的两个锐角互余． 【解答】解：如图，在中，，是边上的中线， ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，熟练运用等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点． 31．（2024春•新宁县校级月考）如图，九洞天风景区内的路，互相垂直，路的中点与点被经过景区的六冲河隔开．若测得路的长为，则、两点间的距离是 　　． 【答案】． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【解答】解：在中， 点为斜边的中点， ， 即、两点间的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 32．（2024春•两江新区期末）如图，在中，，点是的中点，，，则　　． 【答案】． 【分析】根据直角三角形性质，计算出的长，利用直角三角形斜边中线性质求解． 【解答】解：，，， ， 点为的中点， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 九．轴对称的性质 33．（2024春•武侯区期末）某社区准备在街道（直线旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶．如图，已知点关于直线的对称点为，与直线相交于点，与直线相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区，到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为　　 A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【解答】解：因为点和点关于直线对称， 所以直线上的任意一点到点和点的距离相等， 所以对于直线上的任意一点，总有． 根据两点之间线段最短可知， 当奶站建在点处时，取得最小值，即为的长， 所以奶站建在点处时，居民区，到奶站的距离之和最短． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质及垂线段最短是解题的关键． 34．（2024春•鄄城县期末）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【解答】解：①边上的中线：如图1，使点、重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 一十．作图−轴对称变换 35．（2024春•城厢区校级月考）如图，在的方格纸中，，为格点，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中画出格点，点，，的对应点分别为，，，使得与关于线段成轴对称图形． （2）在图2中画出平移后的格点，点，，的对应点分别为，，，使得线段平分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析（答案不唯一）． 【分析】（1）分别画出点，，关于的对称点，，，再顺次连接即可得； （2）在线段上选一个格点为点，由此确定平移方式，再分别根据平移方式画出点，，然后顺次连接即可得． 【解答】解：（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查了画轴对称图形和平移—作图，熟练掌握轴对称图形和平移作图是解题关键． 36．（2024春•娄星区校级期末）如图，已知的顶点都在正方形网格的格点上． （1）请画出，使得与关于直线对称，点，的对应点分别为点，； （2）在（1）的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1，试求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出、、的对应点、、即可； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求． （2）的面积． 【点评】本题考查作图—轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 一十一．翻折变换（折叠问题） 37．（2024•香坊区校级模拟）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则的长为　　 A．2 B． C． D．4 【答案】 【分析】由，是边上的中线，可得，由翻折的性质可知，，故，而，即得，在中，，可解得，从而可得答案． 【解答】解：设交于，如图： ，是边上的中线， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含角的直角三角形三边的关系． 38．（2024春•驿城区校级月考）如图，把一张长方形的纸按如图所示那样折叠，、两点分别落在，点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再根据，由平角的定义即可得出的度数． 【解答】解：、两点落在、点处， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角是解此题的关键． 39．（2024•建华区二模）在中，，，，点在的边上，且，将折叠，使点落在点处，折痕交边于点，交另一边于点，则　　． 【答案】． 【分析】分两种情况：在边上，，或在边上，再结合根据角平分线的性质可求． 【解答】解：如图1．在边上， 将折叠，使点落在点处，折痕交边 于点，交另一边于点， ， ，，， ， ， ， ， 当在边上，如图2． 在中， ，，， ， ， ， 将折叠，使点落在点处，折痕交边 于点，交另一边于点，连接交于点，分 别过点作，， 与重合， ， ，，， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， 设，， ， ， ， 解得， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不 变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理以及角平分线的性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 40．（2024•吕梁一模）如图，将直角三角形纸片折叠，使点的对应点与斜边的中点重合，折痕为．若，，则折痕的长度为 　　． 【答案】． 【分析】分别取，的中点，，连接，，利用三角形中位线定理，求相互，，以及，再分别中和中，利用勾股定理列方程求出，，从而可求出． 【解答】解：分别取，的中点，，连接，，如图， 点是的中点，，， ，，，，，， ， 是由翻折得到的， ，， ，， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换，三角形中位线定理，勾股定理，通过取，的中点，，连接，，构造三角形中位线以及直角三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$