第2章轴对称图形 培优题突破练习【14个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第2章轴对称图形 培优题突破练习★★★【14个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．角平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．直角三角形斜边上的中线 八．生活中的轴对称现象 九．轴对称的性质 一十．轴对称图形 一十一．镜面对称 一十二．作图−轴对称变换 一十三．剪纸问题 一十四．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 1、 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 2、 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 3、 等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 4、 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 5、 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6、 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 7、 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 8、 生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 9、 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 10、 轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 11、 镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 12、 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 13、 剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 14、 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2022秋•黄石港区校级期中）与是的角平分线，，分别在，上，若，，则　　 A． B． C． D．不能确定 2．（2018秋•南岗区校级月考）如图，四边形中，平分，，，若，，则的长度为 　　． 3．（2022•乐清市一模）如图1是一款多功能儿童餐椅，有坐和躺两种模式，图2是它的横截面示意图，已知脚架，脚垫，两点之间的距离为，靠背，分离式餐盘与，所在直线平行，固定支撑杆平分，坐垫与交于点，且，脚踏始终与保持平行，当调到坐式时，，则此时点到的距离为 　　，当调到躺式时，坐垫会沿方向平移，从点恰好移动到的中点，移动到，靠背向下调整到，此时，则点向下调整的高度为 　　． 二．等腰三角形的性质 4．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形， 那么它的最大内角可能是　 　． 5．（2011春•青羊区校级期中）如图所示，在中，，是上一点，是上一点，连接、，若，，则　 　． 6．（2024•凉州区三模）如图，已知在四边形内，，，，，则　　． 7．（2021•罗湖区校级模拟）在中，，点是线段上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，如果，则　　； （2）如图2，设，．当点在线段上移动时，请写出，之间的数量关系，请说明理由． 8．（2020秋•乐亭县期末）若、是的两边且 （1）试求、的值，并求第三边的取值范围． （2）若是等腰三角形，试求此三角形的周长． （3）若另一等腰，其中一内角为，另一个内角为试求此三角形各内角度数． 9．（2020秋•大足区期末）在中，，点在上，点在上，连接且． （1）当点在（点，除外）边上运动时（如图，且点在边上，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （2）当点在直线上运动时（如图，且点在边所在的直线上，若，求的度数（直接写出结果）． 10．（2021春•青浦区校级期末）如图，在中，，，是过的一条直线，且，在的两侧，在，之间，于，于，求证：． 三．等腰三角形的判定 11．（2018秋•镇原县期中）如图在中，，，在直线或上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有 　　个． 四．等腰三角形的判定与性质 12．（2021秋•义乌市期末）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 13．（2021秋•龙门县期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）当时，求的度数． 14．（2021春•黑山县期中）如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 试说明： 探究一：请写出图①中线段与、间的关系，并说明理由． 探究二：如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．这时与、的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由． 五．等边三角形的性质 15．（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 16．（2021•平房区一模）已知等边三角形，，点在上，过点作的垂线，交射线于点，交射线于点，若，则的长为　　． 17．（2021秋•开封期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． （1）如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是 　　；此时　　； （2）如图2，点、在边、上，且当时，猜想问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 六．等边三角形的判定与性质 18．（镇江）边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为　　 A． B． C． D． 七．直角三角形斜边上的中线 19．（竞秀区二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为1，斜边的端点、分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是　　 A． B． C．2 D． 八．生活中的轴对称现象 20．（葫芦岛二模）如图，以平面镜和为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面上开有一个小孔，一位观察者在盒外沿与平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源所发出的光线　　 A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 九．轴对称的性质 21．（2019秋•武昌区期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，则点到的距离是　　 A．2.5 B． C．4 D． 22．（2018秋•武昌区月考）如图，在四边形中，是的中点，，，．若，则线段长度的最大值为　　． 23．（2020春•成华区期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是　　． 一十．轴对称图形 24．（南通二模）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是　　 A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 一十一．镜面对称 25．有两面夹角的镜面、，从一个镜面上点发射的光线，顺次在点，，，反射，当垂直地射到镜面上的点时，光线就会逆向从原路返回到点，若当反射次数为最大时，则的大小为　　度． 26．某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为　 　． 一十二．作图−轴对称变换 27．（2022秋•城阳区期中）（1）在下面的平面直角坐标系中画，使各顶点坐标分别为，，； （2）使各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得△，画出△并说明△与有怎样的位置关系？ 28．（2019秋•宜昌期中）如图所示，的顶点分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形△； （2）写出、、的坐标； （3）若，求的边上的高． 一十三．剪纸问题 29．（内江）跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线剪下，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是，则在图③中应沿什么角度剪即的度数为　　 A． B． C． D． 30．（南宁）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为，再以的中点为顶点，把平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是　　 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 一十四．翻折变换（折叠问题） 31．（乐清市模拟）如图，一张三角形纸片，其中，，点是边上一动点，将，翻折使得，分别落在，边上，与，与分别对应），点从点运动运动至点，△面积的大小变化情况是　　 A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 32．如图，是等边边上一点，将折叠使点落在点处，折痕为，如果若，那么是　　 A． B． C． D． 33．（乌鲁木齐）如图是一张足够长的矩形纸条，以点所在直线为折痕，折叠纸条，使点落在边上，折痕与边交于点；然后将其展平，再以点所在直线为折痕，使点落在边上，折痕交边于点．则的大小是　　 A． B． C． D． 34．（2021•绵阳模拟）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为　　 A． B． C． D． 35．（2021秋•梁溪区校级月考）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为　　 A．1.5 B． C．2 D． 36．（2020秋•开福区校级月考）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 　　度． 37．（河南模拟）如图所示，等边中，边长为4，、为、上的点，将沿着折叠，使得点与线段上的点重合，且，则的长度为　　． 38．（2019秋•南岗区校级月考）如图所示，在中，，，，将折叠，使点落在点处，折痕所在直线交的外角平分线于点，则点到的距离为　　． 39．（淳安县自主招生）已知如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长、相交于点，若，，则　　． 40．（2020•南关区校级模拟）阅读理解： 在以后你的学习中， 我们会学习一个定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 即： 如图 1 ， 在中，，若点是斜边的中点， 则． 灵活应用： 如图 2 ，中，，，，点是的中点， 将沿翻折得到，连接，． （1） 求的长： （2） 判断的形状： （3） 请直接写出的长 ． 第2章轴对称图形 培优题突破练习★★★【14个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．角平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．直角三角形斜边上的中线 八．生活中的轴对称现象 九．轴对称的性质 一十．轴对称图形 一十一．镜面对称 一十二．作图−轴对称变换 一十三．剪纸问题 一十四．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 1、 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 2、 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 3、 等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 4、 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 5、 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6、 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 7、 直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 8、 生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 9、 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 10、 轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 11、 镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 12、 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 13、 剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 14、 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2022秋•黄石港区校级期中）与是的角平分线，，分别在，上，若，，则　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】根据和三角形内角和、外角性质，寻找和的关系的表达式；再根据，寻找和关系的另一种表达式，由此可得关于的方程，求得的度数，代入即可求得． 【解答】解：， ， ； ， ， ， 解得， ． 故选：． 【点评】此题综合考查角平分线的定义、外角的性质、三角形的内角和和等边对等角等知识点，难度较大，注意寻找角之间的关系． 2．（2018秋•南岗区校级月考）如图，四边形中，平分，，，若，，则的长度为 　　． 【答案】． 【分析】将沿着折叠得，分别连接、，分别延长、交于点，延长至点，使得，连接，在上截取一点，使得，连接，再利用相似三角形、角平分线相关知识进行求解即可． 【解答】解：将沿着折叠，点折叠后为点，分别连接、，分别延长、交于点，延长至点，使得，连接，在上截取一点，使得，连接，如图所示： 平分， ， 沿着折叠成， ， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 设时，，， 由可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ，， ， ，即， 根据角平分线定理可知，， ，解得：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查图形的折叠问题，要求考生掌握折叠图形的相关性质；在解题过程中遇到一元二次方程，需要考生掌握一元二次方程的求根公式；此题中有角平分线，需要考生掌握角平分线定理，此题最终求的长度，实际上就是角平分线长，若能掌握角平分线长公式，就能快速地得出答案． 3．（2022•乐清市一模）如图1是一款多功能儿童餐椅，有坐和躺两种模式，图2是它的横截面示意图，已知脚架，脚垫，两点之间的距离为，靠背，分离式餐盘与，所在直线平行，固定支撑杆平分，坐垫与交于点，且，脚踏始终与保持平行，当调到坐式时，，则此时点到的距离为 　　，当调到躺式时，坐垫会沿方向平移，从点恰好移动到的中点，移动到，靠背向下调整到，此时，则点向下调整的高度为 　　． 【答案】；． 【分析】（1）坐式时，延长交于点，作，，延长交于点，由平行线和角平分线的性质，证明，通过对应边成比例求出，进而求出答案； （2）躺式时，连接，作，延长交于点，作，，分别交于点，点，根据的正切值求出的正切值，再求出的长度，由，求出的长度，由推出的长度，即可求出答案． 【解答】解：（1）如图1，延长交于点，作，，延长交于点， ，， ，， ， 平分，，， ，， ，， ， ，即： ， 解得：， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； （2）躺式时，如图2，连接，作，延长交于点，作，，分别交于点，点， ，， ， ， 如图3，在中，过点作交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设，则： ， 由勾股定理可得： ，即： ， 解得：， ， ，， △， ，即： ， 解得：， ， ， ， ， ，即： ， 解得：， ， ， 点向下调整的高度为：， 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线的性质、平移、相似三角形、等腰三角形等知识点，综合性比较强，难度较大，解题的关键是根据题意正确作出辅助线，敢于猜测、验证． 二．等腰三角形的性质 4．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形， 那么它的最大内角可能是　，，，，　． 【分析】当它为顶角时， 根据等腰三角形的性质， 可以求得最大角是 90 度， 如图①所示；当它是侧角时， 用同样的方法， 可求得最大角有 4 种情况 ． 【解答】解： 如图①所示， 当时， 那么它的最大内角是 当时， 有以下 4 种情况， 故答案为：，，，， 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握， 此题涉及等知识点并不多， 但是要分 4 种情况解答， 因此， 属于难题 ． 5．（2011春•青羊区校级期中）如图所示，在中，，是上一点，是上一点，连接、，若，，则　　． 【分析】是的外角，是的外角．根据外角的性质代换、计算． 【解答】解：，， ． 又，， ． 故答案为． 【点评】此题考查三角形外角的性质，如何建立已知与未知的联系是关键． 6．（2024•凉州区三模）如图，已知在四边形内，，，，，则　　． 【答案】， 【分析】延长到连从而可证是等边三角形，就可解决问题． 【解答】解：延长到使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题较难，考查了全等三角形，等边三角形的知识，要构造全等三角形，得到等边三角形． 7．（2021•罗湖区校级模拟）在中，，点是线段上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，如果，则　　； （2）如图2，设，．当点在线段上移动时，请写出，之间的数量关系，请说明理由． 【分析】（1）问要求的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）问在第（1）问的基础上，将转化成三角形的内角和． 【解答】解：（1）． 理由：， ．即． 在与中， ， ， ． ， ， 又 ； （2）， 理由：， ． 即． 在与中， ， ， ． ． ， ， ． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键． 8．（2020秋•乐亭县期末）若、是的两边且 （1）试求、的值，并求第三边的取值范围． （2）若是等腰三角形，试求此三角形的周长． （3）若另一等腰，其中一内角为，另一个内角为试求此三角形各内角度数． 【分析】（1）利用非负数的性质可求得、的值，根据三角形三边关系可求得的范围； （2）分腰长为3或4两种情况进行计算； （3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得，可得出三个角的度数． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10； 当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11； 综上可知等腰三角形的周长为10或11； （3）当底角为、顶角为时，则根据三角形内角和为可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 当顶角为、底角为时，则根据三角形内角和为可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 当底角为、时，则等腰三角形性质可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键． 9．（2020秋•大足区期末）在中，，点在上，点在上，连接且． （1）当点在（点，除外）边上运动时（如图，且点在边上，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （2）当点在直线上运动时（如图，且点在边所在的直线上，若，求的度数（直接写出结果）． 【答案】（1）结论：．证明见解析部分； （2）或或． 【分析】（1）设，，根据已知等量求得与，再通过三角形的外角性质求得，通过三角形的内角和定理求得，便可得出结论； （2）分四种情形画出图形分别求解可得结论． 【解答】解：（1）结论：．理由如下： 设，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）当点在的延长线上时，，此时，故点不可能在的延长线上， 分两种情况： 当点在线段上时，与①相同，； 当点在的延长线上时，如图2，在边上截取，连接， ， ， ， 由①知，， ， ， ， ． 如图3中，当点在的延长线上时，同法可得， 综上所述：的度数为或或． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形性质的外角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 10．（2021春•青浦区校级期末）如图，在中，，，是过的一条直线，且，在的两侧，在，之间，于，于，求证：． 【分析】先根据已知证明，从而得到，，因为从而得到了结论． 【解答】证明：，， ． ，， ． ，． ， ． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．证明线段的和差问题往往通过三角形全等来证明，要掌握这种重要的方法． 三．等腰三角形的判定 11．（2018秋•镇原县期中）如图在中，，，在直线或上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有 　8　个． 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可． 【解答】解：如图， ①以为圆心，为半径画圆，交直线有二点，，交有一点，（此时； ②以为圆心，为半径画圆，交直线有二点，，交有一点（此时． ③的垂直平分线交一点，交直线于点； 符合条件的点有8个． 故答案为：8． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏． 四．等腰三角形的判定与性质 12．（2021秋•义乌市期末）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【答案】 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大． 【解答】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 13．（2021秋•龙门县期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）当时，求的度数． 【分析】（1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形； （2）根据，可知，即可得出结论； （3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）， ， （3）由（2）知， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． 14．（2021春•黑山县期中）如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 试说明： 探究一：请写出图①中线段与、间的关系，并说明理由． 探究二：如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．这时与、的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由． 【分析】由平分与，易证得，即可证得； 探究一：同上题，可得，，继而可证得． 探究二：同理可证得：，，继而可证得． 【解答】证明：平分， ， ， ， ， ； 探究一：． 理由：， 同理可证：， ； 探究二：． 理由：平分， ， ， ， ， ； 同理可得：， ． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 五．等边三角形的性质 15．（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到．连接．想办法证明，即可解决问题； 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到．连接． 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，，为边长的三角形是钝角三角形， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．（2021•平房区一模）已知等边三角形，，点在上，过点作的垂线，交射线于点，交射线于点，若，则的长为　10或6　． 【答案】10或6． 【分析】分两种情况：①与交于点，与延长线交于点，作，交延长线于点，②与交于点，与延长线交于点，作，交延长线于点，根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：分两种情况： ①与交于点，与延长线交于点，作，交延长线于点， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 设，则，， ， ，即， 在中，，， ， ； ②与交于点，与延长线交于点，作，交延长线于点， ， ， ， ， ， 设，则， 是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ． 综上，的长为10或6． 故答案为：10或6． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，关键是证明作辅助线构造全等三角形或相似三角形． 17．（2021秋•开封期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． （1）如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是 　　；此时　　； （2）如图2，点、在边、上，且当时，猜想问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 【分析】（1）由，，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得、、之间的数量关系，此时； （2）在的延长线上截取，连接．可证，即可得，易证得，则可证得△，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得△，则可得． 【解答】解：（1）如图1，、、之间的数量关系， 此时， 理由：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，， ； ， 是等边三角形， ， ， ； （2）猜想：结论仍然成立， 证明：在的延长线上截取，连接， ，， ， ，，， ，， ， △， ， 的周长为：， ； （3）证明：在上截取，连接， 可证， ， 可证， △， ， ． 【点评】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 六．等边三角形的判定与性质 18．（镇江）边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接、、，求出，根据证两三角形全等得出，求出，过作，过作于，得出平行四边形得出，求出的长，求出第一个正六边形的边长是，是等边三角形的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长． 【解答】解：连接、、． 六边形是正六边形， ，，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 、分别为、中点， ， ， 六边形是正六边形，是等边三角形， ， ， 同理， 即， 等边三角形的边长是， 第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的， 过作于，过作于， 则， ， 四边形是平行四边形， ， ，（已证）， ， ， 同理， ，即第二个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是； 同理第第三个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是； 同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是； 第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是； 第六个等边三角形的边长是，第六个正六边形的边长是， 即第六个正六边形的边长是， 故选：． 【点评】本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目． 七．直角三角形斜边上的中线 19．（竞秀区二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为1，斜边的端点、分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是　　 A． B． C．2 D． 【答案】 【分析】取的中点，连接、．首先求出，根据三角形的三边关系可知：，推出当、、共线时，的值最大，最大值为2． 【解答】解：取的中点，连接、． 在中，，，， ， ，， ， ， 当、、共线时，的值最大，最大值为2． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线定理、坐标与图形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题． 八．生活中的轴对称现象 20．（葫芦岛二模）如图，以平面镜和为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面上开有一个小孔，一位观察者在盒外沿与平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源所发出的光线　　 A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】 【分析】根据光线的反射，即可确定． 【解答】解：有4条：分别是：由发出的线； 由发出，经过反射直接通过的光线； 由发出，经过反射直接通过的光线； 由发出，经过反射再经过反射通过的光线． 故选：． 【点评】本题主要考查了生活中的轴对称问题；结合对称的知识画出图形是解答本题的关键． 九．轴对称的性质 21．（2019秋•武昌区期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，则点到的距离是　　 A．2.5 B． C．4 D． 【答案】 【分析】根据翻折的性质和已知条件可得是角平分线，再根据锐角三角函数即可求解． 【解答】解：如图： 作于点，设． ，， 将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处， ，， ，，， 在和中， ， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了翻折变换、直角三角形、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识． 22．（2018秋•武昌区月考）如图，在四边形中，是的中点，，，．若，则线段长度的最大值为　　． 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．作于，求出，，，根据两点之间线段最短解决问题即可． 【解答】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．作于． 是边的中点， ， ，． 同理可证：， ， ， ． ． ．， ， ， ，， ， ． 当、、、共线时的值最大2，最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 23．（2020春•成华区期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是　6　． 【分析】如图，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，，，，．证明是等边三角形，再根据，当，，，共线时，的值最大． 【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，，，，． 由题意，，， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 当，，，共线时，的值最大，最大值为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 一十．轴对称图形 24．（南通二模）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是　　 A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】 【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故选项错误； 、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故选项正确； 、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故选项错误； 、如图，正五边形中，直线即为对称轴，故选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键． 一十一．镜面对称 25．有两面夹角的镜面、，从一个镜面上点发射的光线，顺次在点，，，反射，当垂直地射到镜面上的点时，光线就会逆向从原路返回到点，若当反射次数为最大时，则的大小为　2　度． 【分析】分别算出由至每次反射的入射角，根据入射角的计算规律得到最大的入射角，即可求得的大小． 【解答】解：光线由至在上的入射角分别为，， 根据角的转换 得到， ； ， ； ， ； ， ； 入射角此时已经不能再大． ， 故答案为2． 【点评】考查镜面对称的知识；难点是根据入射角等于反射角得到最大的入射角的度数． 26．某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为　81088　． 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088， 故答案为81088． 【点评】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字． 一十二．作图−轴对称变换 27．（2022秋•城阳区期中）（1）在下面的平面直角坐标系中画，使各顶点坐标分别为，，； （2）使各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得△，画出△并说明△与有怎样的位置关系？ 【分析】（1）直接利用，，各点的坐标画出三角形即可； （2）利用坐标之间的关系得出△各顶点位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：△即为所求，△与关于轴对称． 【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出各对应点位置是解题关键． 28．（2019秋•宜昌期中）如图所示，的顶点分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形△； （2）写出、、的坐标； （3）若，求的边上的高． 【分析】（1）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）利用三角形的面积计算即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）由图可知，，，，1 （3）， 的边上的高． 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 一十三．剪纸问题 29．（内江）跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线剪下，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是，则在图③中应沿什么角度剪即的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质及内角和定理解题． 【解答】解：， 正五角星的5个角都是， ， 三角形内角和为， ． 故选：． 【点评】主要在考查学生动手操作的能力的同时，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理． 30．（南宁）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为，再以的中点为顶点，把平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是　　 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【分析】先求出，再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解． 【解答】解：平角三等分， ， ， 剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是的等腰三角形， 再沿另一折痕展开得到有一个角是的直角三角形， 最后沿折痕展开得到等边三角形， 即正三角形． 故选：． 【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便． 一十四．翻折变换（折叠问题） 31．（乐清市模拟）如图，一张三角形纸片，其中，，点是边上一动点，将，翻折使得，分别落在，边上，与，与分别对应），点从点运动运动至点，△面积的大小变化情况是　　 A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】 【分析】如图，作于．设，则．构建二次函数，利用二次函数的性质即可判断． 【解答】解：如图，作于．设，则． ， ， 由翻折不变性可知：，， ，， ， ， 的值先增大后减小， 故选：． 【点评】本题考查翻折变换、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 32．如图，是等边边上一点，将折叠使点落在点处，折痕为，如果若，那么是　　 A． B． C． D． 【分析】由，可设，则，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，，再通过证明即可证明的值． 【解答】解：， 设，则， 是等边三角形， ，， 由折叠的性质可知：是线段的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 33．（乌鲁木齐）如图是一张足够长的矩形纸条，以点所在直线为折痕，折叠纸条，使点落在边上，折痕与边交于点；然后将其展平，再以点所在直线为折痕，使点落在边上，折痕交边于点．则的大小是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【解答】解：以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上，折痕与交于点，， ． ， ． 故选：． 【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 34．（2021•绵阳模拟）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，交于点，过点作于点，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长，则可得出答案． 【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点， ，是边上的中点， ， 由翻折知，，垂直平分， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在△中， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ， ， 点到的距离为， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 35．（2021秋•梁溪区校级月考）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为　　 A．1.5 B． C．2 D． 【答案】 【分析】如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明△△，可得，再证明，可得． 【解答】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知： ，， 是的角平分线， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 36．（2020秋•开福区校级月考）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 　124　度． 【答案】124． 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ， ， 点在的垂直平分线上， 又是的垂直平分线， 点是的外心， ， 将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故答案为：124． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 37．（河南模拟）如图所示，等边中，边长为4，、为、上的点，将沿着折叠，使得点与线段上的点重合，且，则的长度为　　． 【分析】由．可得，由，，推出，，设，则，构建方程即可解决问题； 【解答】解：是等边三角形， ， ，， ， ． ， ， ， ，， ，， 设，则， ，， ， ， 解得， ， 故答案为． 【点评】此题主要考查了翻折变换，等边三角形的性质等知识，关键是证明得到，再利用含的式子表示、． 38．（2019秋•南岗区校级月考）如图所示，在中，，，，将折叠，使点落在点处，折痕所在直线交的外角平分线于点，则点到的距离为　　． 【答案】 【分析】连接，作于，于，就可以得出，由条件就可以得出，，就有，，就可以把、表示出来，由于的关系就可以求出结论． 【解答】解：如图，连接，作于，于， 平分， ．， ， ， ， ， ， ． 与关于对称， ，．． ． ， ， ， ， ． ，． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ，，， 由勾股定理，得 ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时由轴对称的性质求解是关键． 39．（淳安县自主招生）已知如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长、相交于点，若，，则　　． 【分析】连接，根据折叠的性质和矩形的性质可得与是直角三角形，，再根据即可证明．根据全等三角形的性质可得，可设，在中，根据勾股定理可求的长，再在中，根据勾股定理可求的长． 【解答】解：连接． 是边的中点， ， 又四边形是矩形， ， ． 在与中， ， ； ， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度，关键是作出辅助线构造全等三角形． 40．（2020•南关区校级模拟）阅读理解： 在以后你的学习中， 我们会学习一个定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 即： 如图 1 ， 在中，，若点是斜边的中点， 则． 灵活应用： 如图 2 ，中，，，，点是的中点， 将沿翻折得到，连接，． （1） 求的长： （2） 判断的形状： （3） 请直接写出的长 ． 【分析】（1） 依据勾股定理进行计算即可得到的长， 再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到结论； （2） 依据，可得，，再根据三角形内角和定理， 即可得出，进而得到是直角三角形； （3） 利用，可得，依据垂直平分线段，可得，即可得出，，最后在中， 运用勾股定理可得． 【解答】解： （1） 在中，，，， 由勾股定理得，， 点是的中点，的斜边， ； （2）为直角三角形 ． 理由： 是的中点 将沿翻折得到， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形； （3） 如图， 连接交于，作于． 由题可得， ， ， ，， 点在的垂直平分线上， 点在的垂直平分线上， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，． 【点评】本题考查翻折变换、 直角三角形的斜边中线的性质、 勾股定理等知识， 解题的关键是学会利用面积法求高 ． 解题时注意： 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$