第2章轴对称图形 基础题过关检测 【12个考点50题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第2章轴对称图形 基础题过关检测★【12个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定 七．含30度角的直角三角形 八．生活中的轴对称现象 九．轴对称图形 一十．作图−轴对称变换 一十一．利用轴对称设计图案 一十二．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 1. 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 2. 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 3. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 4. 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 5. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6. 等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 7. 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 8. 生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 9. 轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 10. 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 11. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 12. 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2024•西城区二模）如图，是的角平分线，于点．若，的面积为1.5，则点到边的距离为 　　． 2．（2024春•文山市期末）如图，是中的平分线，于点，，，，则长是 　　． 3．（2023秋•嵩县期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 　　． 4．（2024春•大东区期末）如图，平分，是上一点，过点作于，，是上任意一点，连接，则的最小值为 　　． 5．（2022秋•寿县校级期末）如图，已知，的，的外角平分线交于点，是的平分线吗？说明理由． 6．（2023•胶州市模拟）如图，某城市公园里有三个景点、、，直线、表示直路，而表示弯路．想在区里修建一座公厕，使它到两条路和的距离相等，且到两个景点和的距离也相等．求点位置． 二．线段垂直平分线的性质 7．（2024春•二七区期末）如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在　　 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 8．（2024•容县一模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为 　　． 9．（2024春•文山市月考）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 10．（2022秋•昭化区期末）如图，在中，于点，是上一点，，且点在的垂直平分线上，若的周长为，求的长． 11．（2023春•宝鸡期中）如图所示，已知，，，求证：点在的垂直平分线上． 三．等腰三角形的性质 12．（2024春•嵩县期末）已知是等腰三角形，若它的两边长分别为和，则它的周长为　 　． 13．（2024春•徐汇区校级期末）已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为 　　． 14．（2024春•奉节县期末）如图，在等腰中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，则的度数是 　　度． 15．（2023秋•瑶海区校级期中）在等腰中，，边上的中线把的周长分为15和17两部分． （1）求和的长； （2）若，且点到边的距离为4，求点到边的距离． 四．等腰三角形的判定与性质 16．如图，在中，，，若、三等分，则图中等腰三角形有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．（2024春•松江区期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点、在边上，则的周长为 　　． 五．等边三角形的性质 18．（2024•香洲区二模）如图，点在等边三角形边延长线上，，连接，则的长为 　　． 19．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则　　． 20．（2023秋•通河县期末）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 　　． 21．（2023秋•德惠市期末）如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）点到的距离为 　　． 六．等边三角形的判定 22．（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，，，，且平分，求证：是等边三角形． 七．含30度角的直角三角形 23．（2024春•历城区期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 　　． 八．生活中的轴对称现象 24．（2024春•河南月考）如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，． （1）若，求的度数； （2）已知，求证：． 九．轴对称图形 25．（2024春•顺德区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•福田区期末）下列四幅作品分别代表二十四节气中的“春分”、“夏至”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 27．（2024•海东市二模）2024年青海非物质文化遗产精品展以“山宗水源大美青海”为主题在青海省图书馆开幕．下列艺术字不能看作轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 28．（2024春•龙泉驿区期末）2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 29．（2024春•娄星区校级月考）中国是第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家．下列奥运会徽是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 30．（2024春•碑林区校级月考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 31．（2024春•南岸区期末）下列图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 32．（2024春•成都期末）剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．下列剪纸中，不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 33．（2024春•沙坪坝区校级期末）在生活中，我们经常会看见以如下图标，其中不是轴对称图形的是　　 A． B．￥ C．※ D．〇 34．（2024•洪山区模拟）下列校徽的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 35．（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有　　个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 36．（2024•娄星区一模）在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 一十．作图−轴对称变换 37．（2023秋•金寨县期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中作出关于轴对称的△，并写出点的对应点． （2）在（1）的条件下，求的面积． 一十一．利用轴对称设计图案 38．（2024春•武汉期末）如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 　　个． 一十二．翻折变换（折叠问题） 39．（2024春•高碑店市月考）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的　　 A．对角线 B．中线 C．高线 D．角平分线 40．（2024春•郧西县期末）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，是折痕，若，则　　． 第2章轴对称图形 基础题过关检测★【12个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定 七．含30度角的直角三角形 八．生活中的轴对称现象 九．轴对称图形 一十．作图−轴对称变换 一十一．利用轴对称设计图案 一十二．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 1. 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 2. 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 3. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 4. 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 5. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6. 等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 7. 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 8. 生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 9. 轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 10. 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 11. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 12. 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2024•西城区二模）如图，是的角平分线，于点．若，的面积为1.5，则点到边的距离为 　1　． 【答案】1． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质证得，然后根据面积公式求出即可解答． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， 是的角平分线，于点， ， ，的面积为1.5， ， 解得， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 2．（2024春•文山市期末）如图，是中的平分线，于点，，，，则长是 　5　． 【答案】5． 【分析】作于，如图，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【解答】解：作于，如图， 是中的角平分线，，， ， ， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．（2023秋•嵩县期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 　18　． 【答案】18． 【分析】过作于，依据角平分线的性质，即可得到的长，进而得出的面积． 【解答】解：如图所示，过作于， ，平分， ， 又， 的面积为， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 4．（2024春•大东区期末）如图，平分，是上一点，过点作于，，是上任意一点，连接，则的最小值为 　8　． 【答案】8． 【分析】根据垂线段的性质可知，当时，的值最小，再根据角平分线的性质求出即可． 【解答】解：根据垂线段最短可得，当时，的值最小， 平分，， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 5．（2022秋•寿县校级期末）如图，已知，的，的外角平分线交于点，是的平分线吗？说明理由． 【分析】首先作辅助线：分别过作、、垂直于、、，垂足分别为、、，然后利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明． 【解答】证明：分别过作、、垂直于、、，垂足分别为、、，作射线， 平分，，， ， 同理， ， 点在平分线上， 是的平分线． 【点评】本题考查了角平分线的性质及其逆用；解题的关键是作辅助线，辅助线是证明一道题的重中之重，然后利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理． 6．（2023•胶州市模拟）如图，某城市公园里有三个景点、、，直线、表示直路，而表示弯路．想在区里修建一座公厕，使它到两条路和的距离相等，且到两个景点和的距离也相等．求点位置． 【答案】答案见解答过程． 【分析】设和交于点，先作出的平分线，再作出线段的垂直平分线，与相交的点即为所求作的点． 【解答】解：设和交于点， 以点为圆心，以适当的长为半径画弧分别交，于点，， 分别以为圆心，以大于为半径画弧在，的内部交于点， 作射线， 连接， 分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，， 作直线与射线交于点， 则点为所求作的点． 理由如下： 由作图可知：为直线，夹角的平分线，点在上， 点到和的距离相等， 由作图可知：直线为线段的垂直平分线，点在上， ． 点点到和的距离相等，且到点和的距离也相等． 【点评】此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握利用直尺和圆规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，理解角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 二．线段垂直平分线的性质 7．（2024春•二七区期末）如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在　　 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】 【分析】到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等． 【解答】解：在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， 广场应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 8．（2024•容县一模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为 　　． 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：，是角平分线， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 的垂直平分线交于点， ， 的垂直， 故答案为：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．（2024春•文山市月考）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）2． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，根据等腰三角形的性质求出．结合角平分线定义求出，再根据“直角三角形的两锐角互余”求解即可； （2）根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）的垂直平分， ， ． 又平分， ， ， 又， ． （2），， ， ， ． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10．（2022秋•昭化区期末）如图，在中，于点，是上一点，，且点在的垂直平分线上，若的周长为，求的长． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：点在的垂直平分线上， ， ，， ， 的周长为18， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 11．（2023春•宝鸡期中）如图所示，已知，，，求证：点在的垂直平分线上． 【分析】首先根据，，可得是的垂直平分线，再根据可证明出，再根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上可得结论． 【解答】证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，关键是掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 三．等腰三角形的性质 12．（2024春•嵩县期末）已知是等腰三角形，若它的两边长分别为和，则它的周长为　19　． 【分析】从当等腰三角形的腰长为，底边长为时；当等腰三角形的腰长为，底边长为时，两种情况去分析即可． 【解答】解：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时： ， 可构成三角形， 其周长为：； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时： ， 不能构成三角形． 故答案为：19． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系的理解和掌握，是一道基础题． 13．（2024春•徐汇区校级期末）已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为 　17　． 【答案】17． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， 这个等腰三角形的周长； 综上所述：这个等腰三角形的周长为17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 14．（2024春•奉节县期末）如图，在等腰中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，则的度数是 　60　度． 【答案】60 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出． 【解答】解：如图， ，， ， 为的垂直平分线， ，， ， ， 故答案为：60． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键． 15．（2023秋•瑶海区校级期中）在等腰中，，边上的中线把的周长分为15和17两部分． （1）求和的长； （2）若，且点到边的距离为4，求点到边的距离． 【答案】（1）的长为10或，的长为12或； （2）． 【分析】（1）分两种情况讨论，根据等腰三角形的性质列出方程即可解决问题； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1），边上的中线把的周长分为15和17两部分 当时，解得， 底边， ，10，12能构成三角形， 和的长分别为10，12； 当时，解得， 底边， ，，能构成三角形， 和的长分别为，； 综上，的长为10或，的长为12或； （2）如图，过点作于点，于点， ， ，， 是的中线， ， ， 点到边的距离为4， 点到边的距离． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 四．等腰三角形的判定与性质 16．如图，在中，，，若、三等分，则图中等腰三角形有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】 【分析】根据，，易求，且知道是等腰三角形，再结合、三等分，又易求，进而可求，再结合三角形内角和定理可求，从而可判断、、、、是等腰三角形． 【解答】解：，， ，是等腰三角形， ，、三等分， ， ， ， ，， 、、、、是等腰三角形， 一共有6个等腰三角形． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边即可判断． 17．（2024春•松江区期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点、在边上，则的周长为 　3　． 【答案】3． 【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得和为等腰三角形，由等腰三角形的性质得，，那么的周长就转化为边的长，即为． 【解答】解：、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， 的周长． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质等知识点．本题的关键是将的周长就转化为边的长． 五．等边三角形的性质 18．（2024•香洲区二模）如图，点在等边三角形边延长线上，，连接，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据等边三角形的性质及三角形的外角定理分别求出，，，进而得，然后在中由勾股定理可得的长． 【解答】解：为等边三角形，， ，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，勾股定理是解决问题的关键． 19．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则　7.8．　． 【答案】7.8． 【分析】过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【解答】解：过点作于，如下图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键． 20．（2023秋•通河县期末）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】先根据等边三角形的性质得出，，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：等边中， ，平分， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答． 21．（2023秋•德惠市期末）如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）点到的距离为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据角的和差求解即可； （2）根据等边三角形的性质及勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）连结． ，， 是等边三角形， ，， ，， ，．． ， 是直角三角形，边所对的角是直角， ， ， 即； （2）过点作于点， 是等边三角形， ， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 六．等边三角形的判定 22．（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，，，，且平分，求证：是等边三角形． 【分析】根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质得出，再根据等边三角形的判定定理得出结论． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，以及角平分线的定义和平行线的性质，是一道基础题目，难度不大，是中考的常见题型． 七．含30度角的直角三角形 23．（2024春•历城区期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 　6　． 【答案】6． 【分析】连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，由此得，据此可求出的长． 【解答】解：连接，如下图所示： 在中，，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 八．生活中的轴对称现象 24．（2024春•河南月考）如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，． （1）若，求的度数； （2）已知，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据题意先得到，再由平角的定义求解即可； （2）根据题意得到，再由平角的定义得到，，由此可得，即可证明． 【解答】（1）解：， ， ， ； （2）证明：，，， ， ，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，关键是平行线判定定理的应用． 九．轴对称图形 25．（2024春•顺德区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【解答】解：选项、、的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； 选项的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 26．（2024春•福田区期末）下列四幅作品分别代表二十四节气中的“春分”、“夏至”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念解答即可． 【解答】解：、、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 27．（2024•海东市二模）2024年青海非物质文化遗产精品展以“山宗水源大美青海”为主题在青海省图书馆开幕．下列艺术字不能看作轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念解答即可． 【解答】解：，，选项中的汉字都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项中的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 28．（2024春•龙泉驿区期末）2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：由图形可知，是轴对称图形，符合题意； 、、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（对称轴）对称是解题的关键． 29．（2024春•娄星区校级月考）中国是第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家．下列奥运会徽是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 30．（2024春•碑林区校级月考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 31．（2024春•南岸区期末）下列图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 32．（2024春•成都期末）剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．下列剪纸中，不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：，，三个图形是轴对称图形，不是轴对称图形， 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 33．（2024春•沙坪坝区校级期末）在生活中，我们经常会看见以如下图标，其中不是轴对称图形的是　　 A． B．￥ C．※ D．〇 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：选项的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项、、的图标均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 34．（2024•洪山区模拟）下列校徽的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：．选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意； ．选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意； ．选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意； ．选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 35．（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有　　个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可． 【解答】解：①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑥正方形；⑦圆都是轴对称图形，共6个． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握相关定义是解答本题关键． 36．（2024•娄星区一模）在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：选项的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项、、的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 一十．作图−轴对称变换 37．（2023秋•金寨县期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中作出关于轴对称的△，并写出点的对应点． （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1）作图见解析过程，； （2）9． 【分析】（1）先作出点、、的对应点、、然后顺次连接即可； （2）根据三角形面积公式求出的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． 根据图可知，； （2）． 答：的面积为9． 【点评】本题主要考查了作图轴对称变换，求三角形的面积，解题的关键是作出三角形三个顶点的对称点． 一十一．利用轴对称设计图案 38．（2024春•武汉期末）如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 　5　个． 【答案】5． 【分析】直接利用轴对称图形的定义进而得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示：标有数字的5个位置都是轴对称图形． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 一十二．翻折变换（折叠问题） 39．（2024春•高碑店市月考）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的　　 A．对角线 B．中线 C．高线 D．角平分线 【答案】 【分析】根据题意可得，即可求解． 【解答】解：依题意，， 则是的角平分线， 故选：． 【点评】本题考查了折叠的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键． 40．（2024春•郧西县期末）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，是折痕，若，则　　． 【答案】． 【分析】利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得：，然后利用平行线的性质可得，最后再利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：， ， 由折叠得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$