第1章全等三角形 中档题拓展训练 【4个考点50题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形 中档题拓展训练★★【4个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．全等三角形的性质 二．全等三角形的判定 三．全等三角形的判定与性质 四．全等三角形的应用 · 知识点梳理 · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 一．全等三角形的性质 1．（2023秋•庆阳期末）如图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D．无法确定 2．如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为　　 A． B． C． D． 3．如图，，点、的对应点分别是点、，点在边上，如果，那么　　度． 4．（2023秋•亳州期末）如图，，，，则的长是 　　． 5．（2023秋•西和县期末）在中，，，且，则的度数为 　　． 6．如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 二．全等三角形的判定 7．（2023秋•和平区期末）如图，已知，添加一个条件仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•张家口二模）如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是　　 A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 9．（2024春•西安期末）在与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•滨城区期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．在中，若，则是直角三角形 B．每条边都相等的多边形是正多边形 C．所有正方形都是全等图形 D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 12．（2024•湘潭一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加以下条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 13．（2024•钱塘区二模）在中，，，所对的边分别记为，，，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（2023秋•平泉市期末）如图，八边形每条边都相等，且，若，四边形的周长分别为，，则下列正确的是　　 A． B． C． D．，大小无法比较 15．（2023秋•景县期末）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒， （1）　　厘米，　　厘米．（用含的代数式表示） （2）若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，则的值为 　　． 16．（2023秋•綦江区期末）如图，，只需添加一个条件即可证明．这一个条件可以是（写出一个即可） 　　． 17．（2023秋•嵊州市期末）如图，，，要使，可添加的条件为 　　． 18．（2023秋•双辽市期末）如图，在和中，，，当添加 　　条件时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 三．全等三角形的判定与性质 19．（2024•大庆一模）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 20．如图，，，，，则的度数等于　　 A． B． C． D． 21．（2024•宽城区校级一模）如图，中边上的高为，中边上的高为，若，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 22．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，则不能得到的是　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•金安区校级期末）如图，的面积为，平分，过点作于点．则的面积为 　　． 24．（2023秋•福田区校级期末）如图，在中，，，三角形内有一点，连接，，，若平分，，则　　． 25．（2024春•和平区期末）如图，中，于，是上一点，连接并延长交于，若，，，．则的面积是 　　． 26．（2024春•上海期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　　时，． 27．（2024•鄄城县三模）如图，中，，，，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是 　　． 28．（2024春•光明区月考）如图，在四边形中，，，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的面积为 　　． 29．（2024春•钢城区期末）如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 　　． 30．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在中，，点在上，点在上，，点在上，，，，，则　　． 31．（2024•山阳县三模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．求证：． 32．（2024春•秦都区校级月考）如图，在和中，，，，求证：． 33．（2024春•兰山区校级月考）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示． 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 已知：如图，在中，．求证：． 甲的方法： 证明：作的平分线交于点． 乙的方法： 证明：作于点． 丙的方法： 证明：取的中点，连接． （1）请判断哪位同学的方法是正确的； （2）请选择一位同学的方法进行证明，并补全证明过程． 34．如图，在中，是中线，于点，，交的延长线于点，求证：． 35．（2024春•上海期末）如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 36．（2024•泸县模拟）如图，在和中，延长交于．，，．求证：． 37．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，已知 和，是 上一点，，，．求证：． 38．（2024•乐山）如图，是的平分线，，求证：． 四．全等三角形的应用 39．（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定△的理由是　　 A． B． C． D． 40．（2024•五华区校级三模）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长．判断以上方法是否可行，如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由． 第1章全等三角形 中档题拓展训练★★【4个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．全等三角形的性质 二．全等三角形的判定 三．全等三角形的判定与性质 四．全等三角形的应用 · 知识点梳理 · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 一．全等三角形的性质 1．（2023秋•庆阳期末）如图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可． 【解答】解：两个三角形全等， 的度数． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 2．如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质可知，然后问题可求解． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3．如图，，点、的对应点分别是点、，点在边上，如果，那么　75　度． 【答案】75． 【分析】由全等三角形的性质得到，，由等腰三角形的性质即可求出． 【解答】解：， ，， ． 故答案为：75． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到，． 4．（2023秋•亳州期末）如图，，，，则的长是 　5　． 【分析】根据全等三角形性质，可得：，得出，从而，即可求解． 【解答】解：，，， ， 即 ． 故答案为：5 【点评】本题考查了全等三角形性质，关键找出对应边和对应角．求线段的大小往往利用全等三角形的性质求解． 5．（2023秋•西和县期末）在中，，，且，则的度数为 　　． 【分析】根据全等三角形的性质，，由三角形的内角和定理求出，即可求出的度数． 【解答】解：， ， ，， ， ， 的度数是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 6．如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，求出即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ，，， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 二．全等三角形的判定 7．（2023秋•和平区期末）如图，已知，添加一个条件仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】各个选项均根据所添加的条件和全等三角形的判定定理，逐一进行判断即可． 【解答】解：．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； ．若添加，不能根据全等三角形判定定理能判定，故符合题意； ．若添加，根据平角定义可以证明，然后根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； ．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形常见的几个判定定理． 8．（2024•张家口二模）如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是　　 A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】 【分析】根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【解答】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与全等， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的条件是解题的关键． 9．（2024春•西安期末）在与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．， ， 即， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； ．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 10．（2023秋•滨城区期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据即可判断；根据即可判断；根据两三角形不一定全等即可判断；根据即可判断． 【解答】解：、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； 、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有，，，，共4种，主要培养学生的辨析能力． 11．（2024春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．在中，若，则是直角三角形 B．每条边都相等的多边形是正多边形 C．所有正方形都是全等图形 D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 【答案】 【分析】根据直角三角形的判定、正多边形的判定、全等图形和三角形全等的判定解答即可． 【解答】解：、在中，若，则是直角三角形，说法正确，符合题意； 、每条边和每个内角都相等的多边形是正多边形，原命题是假命题，不符合题意； 、所有正方形是相似图形，不一定是全等图形，原命题是假命题，不符合题意； 、如果两个三角形有两边和其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据直角三角形的判定、正多边形的判定、全等图形和三角形全等的判定解答． 12．（2024•湘潭一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加以下条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题目条件可得，，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理可得答案． 【解答】解：， ， ， ， 、添加条件，可以利用定理证明，故此选项不合题意； 、添加条件，利用能证明，故此选项不合题意； 、添加条件，不能证明，故此选项符合题意； 、添加条件，可得，可以利用定理证明，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 13．（2024•钱塘区二模）在中，，，所对的边分别记为，，，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断． 【解答】解：、不能确定三角形，本选项符合题意； 、能确定三角形，本选项不符合题意； 、能确定三角形，本选项不符合题意； 、只能是钝角三角形，能唯一确定，本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 14．（2023秋•平泉市期末）如图，八边形每条边都相等，且，若，四边形的周长分别为，，则下列正确的是　　 A． B． C． D．，大小无法比较 【答案】 【分析】可先求得，再根据四边形的周长，的周长，，即可得到、的大小关系． 【解答】解：在和中， ， ， ． 同理可得：． ． 四边形的周长，， 四边形的周长． 又的周长，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（2023秋•景县期末）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒， （1）　　厘米，　　厘米．（用含的代数式表示） （2）若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，则的值为 　　． 【答案】（1），；（2）4.8或4． 【分析】（1）根据路程与速度的关系求解即可； （2）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程求解即可． 【解答】解：（1）点在线段上以秒的速度由点向点运动，运动的时间为秒， ， ， ， 故答案为：，； （2）点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，运动的时间为秒， ， 当时， ，，即，，即， ， ， 解得：； 当时， ，，即，， ， ， 即， 综上，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，则的值为4.8或4， 故答案为：4.8或4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，分类讨论的思想思考问题． 16．（2023秋•綦江区期末）如图，，只需添加一个条件即可证明．这一个条件可以是（写出一个即可） 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】由证明即可． 【解答】解：这一个条件可以是，理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 17．（2023秋•嵊州市期末）如图，，，要使，可添加的条件为 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】由题意知，添加的条件为，可证． 【解答】解：由题意知，添加的条件为， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键是掌握在于确定判定三角形全等的条件． 18．（2023秋•双辽市期末）如图，在和中，，，当添加 　　条件时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 【分析】由利用等式的性质可得，再添加可利用判定． 【解答】解：， ， 即， 在和中， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 三．全等三角形的判定与性质 19．（2024•大庆一模）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：延长至，使，连接． 在与中， ， ， ． 在中，， 即， ． 故选：． 【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 20．如图，，，，，则的度数等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件证明，再根据三角形内角和定理和外角性质即可得结论． 【解答】解：在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 21．（2024•宽城区校级一模）如图，中边上的高为，中边上的高为，若，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，由证得，得，即可得出结论． 【解答】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示： 则，， ，， ； ， ， 在和中， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，则不能得到的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，得，而，，即可根据“”证明，得，，，则，，可判断不符合题意，不符合题意，不符合题意；假设成立，则，与已知条件不符，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ，， ， 故不符合题意，不符合题意； ， ， 故不符合题意； 假设成立，则，与已知条件不符， 不成立， 故符合题意， 故选：． 【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形判定与性质等知识，证明是解题的关键． 23．（2023秋•金安区校级期末）如图，的面积为，平分，过点作于点．则的面积为 　7.5　． 【答案】7.5． 【分析】根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能够根据已知条件证得得到，进而得到，是解决问题的关键． 24．（2023秋•福田区校级期末）如图，在中，，，三角形内有一点，连接，，，若平分，，则　　． 【答案】． 【分析】延长到点使，连接，，根据三角形外角的性质得出，再由得出，故可得出，故，由定理，再求出，，进而证明是等边三角形，推出，则． 【解答】解：延长到点使，连接，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 25．（2024春•和平区期末）如图，中，于，是上一点，连接并延长交于，若，，，．则的面积是 　500　． 【答案】500． 【分析】由于，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，则，即可证明，因为，，所以，即可求得的面积是5． 【解答】解：于， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的面积是500， 故答案为：500． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 26．（2024春•上海期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　2或5　时，． 【分析】先证明，得出，①当点在射线上移动时，，即可求出移动了；②当点在射线上移动时，，即可求出移动了． 【解答】解：， ， 为边上的高， ， ， ， ， ， 过点作的垂线交直线于点， ， 在和中， ， ， ， ①如图，当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； ②当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； 综上所述，当点在射线上移动或时，； 故答案为：2或5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2024•鄄城县三模）如图，中，，，，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是 　　． 【答案】． 【分析】取中点，使，连接，，易证，即可得出，因为在中，为中位线，即．再利用勾股定理求得即可． 【解答】解：如图，取中点，使，连接，， 点为中点， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得， ， 在中，为中位线， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力．关键要懂得：在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 28．（2024春•光明区月考）如图，在四边形中，，，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的面积为 　　． 【答案】． 【分析】延长、交于点，由，得，而，，即可根据“”证明，得，，，由，得，求得，由，得，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长、交于点， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、高相等的两个三角形的面积的比等于底边长的比等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 29．（2024春•钢城区期末）如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 　506　． 【答案】506． 【分析】连接，，根据正方形性质可得，，，即可得到，即可得到△△，即可得到一个图形重叠的面积，即可得到答案． 【解答】解：连接，， 正方形的边长为1， ，，， ， △△， 个正方形重叠形成的重叠部分的面积为， 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， 故答案为：506． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，规律型：图形的变化类，解决本题的关键是求出每个阴影部分的面积都是1． 30．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在中，，点在上，点在上，，点在上，，，，，则　1　． 【分析】作于，延长至使，设，首先证明为等腰三角形，然后证△，根据全等三角形的性质得，，从而得出，即可得 是等边三角形，求出，由即可求解． 【解答】解：作于，延长至使，设， ，， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据． 31．（2024•山阳县三模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，得，而，，即可根据“”证明，则． 【解答】证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 32．（2024春•秦都区校级月考）如图，在和中，，，，求证：． 【答案】证明见解析过程． 【分析】由题意可求得，利用即可判定，即可得到结论． 【解答】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用． 33．（2024春•兰山区校级月考）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示． 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 已知：如图，在中，．求证：． 甲的方法： 证明：作的平分线交于点． 乙的方法： 证明：作于点． 丙的方法： 证明：取的中点，连接． （1）请判断哪位同学的方法是正确的； （2）请选择一位同学的方法进行证明，并补全证明过程． 【答案】（1）甲和乙的方法正确； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据添加的辅助线作出判断即可； （2）利用全等三角形的判定性质分别证明即可． 【解答】解：（1）甲和乙的方法正确； （2）选择甲的方法，证明如下： 如图，作的平分线交于点， 则， 在和中， ， ， ； 选择乙的方法，证明如下： 如图，过作于点， 则， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 34．如图，在中，是中线，于点，，交的延长线于点，求证：． 【分析】根据证明即可解决问题． 【解答】解：，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 35．（2024春•上海期末）如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）求出，根据全等得出，根据平行线的判定得出即可； （2）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：在和中 ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， 平分， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 36．（2024•泸县模拟）如图，在和中，延长交于．，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】由“”可证，可得结论． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 37．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，已知 和，是 上一点，，，．求证：． 【分析】根据平行线的性质找出，借助全等三角形的判定定理证出，由此即可得出． 【解答】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 38．（2024•乐山）如图，是的平分线，，求证：． 【答案】见解答过程． 【分析】由角平分线的定义可得，利用可判定，从而可求得． 【解答】证明：是的平分线， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件与性质并灵活运用． 四．全等三角形的应用 39．（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定△的理由是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据证明△即可； 【解答】解：是，的中点， ，， 又与是对顶角， ， 在和△中， ， △， ， 只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准， 判定△的理由是． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 40．（2024•五华区校级三模）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长．判断以上方法是否可行，如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】见解析． 【分析】由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【解答】解：，理由如下： ，， ． 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$