第1章全等三角形 培优题突破练习 【4个考点50题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形 培优题突破练习★★★【4个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．全等图形 二．全等三角形的判定 三．全等三角形的判定与性质 四．全等三角形的应用 · 知识点梳理 · 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 一．全等图形 1．（盐城模拟）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）　 　． 二．全等三角形的判定 2．（广汉市期末）已知△与△的周长相等．现有两个判断： ①若，，则△△； ②若，则△△．对于上述的两个判断，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 3．在和中，，，，，　 　，，根据　 　判定． 4．（2021秋•吐鲁番市期末）如图所示，在中，于点，要使，还需要加一个条件 　　． 5．（2023春•明水县期中）如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 三．全等三角形的判定与性质 6．（2023秋•郧西县期中）如图所示，在中，，点是的中点，是的平分线，作交于，已知，则的长为　　 A．12 B．11 C．10 D．9 7．（2023•虎林市校级三模）如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2018秋•南江县校级期中）在中，高和所在的直线交于点，且，则等于　　 A． B． C．或 D．或 9．（2023秋•洛南县校级期末）如图，在中，，为边上的高，平分，点在上，连接并延长交于点，若，，有下列结论：①；②； ③； ④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 10．（2021秋•和平区校级期中）如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连结，且平分，则以下命题不正确的是　　 A． B．为中点 C． D． 11．（2023秋•钟祥市校级期中）如图，已知，平分，，若，，则的长是　　 A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 12．（2021秋•宁阳县期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 13．（2021秋•庐阳区校级期末）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 14．（2023秋•江门期末）如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③若，则；④． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 15．（2023春•竞秀区期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则为中点； ④当为等腰三角形时，； 正确的有_____个．　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2018秋•黄岩区期末）如图，已知等边三角形，点为线段上一点，以线段为边向右侧作，使，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 17．（鄂州）如图四边形中，，，，，为上一点，且．若，则的面积为　　 A． B． C． D． 18．（2023春•淄博期末）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 19．（2022秋•南开区校级期中）如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点交于点．且平分交于．交于．连接．则下列结论： ①； ②； ③； ④； 错误的有　　个． A．0 B．1 C．3 D．4 20．（2017秋•南岗区校级期中）如图，在中，、分别在、边上，，，，，，则线段的长为 　　． 21．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，四边形中，，，，则　　． 22．（2011秋•惠山区校级月考）如图所示，在四边形中，，，平分，则的度数是　　度． 23．（2015春•大邑县期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列五个结论：①；②；③；④一定是等腰三角形；⑤．其中正确结论的序号是 　　． 24．中，，，为中线，，的长度为 　　． 25．如图，，，则　　． 26．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 　　．（填序号） 27．（2016秋•青羊区校级期中）如图，，，，点为外一点，且，连接交于点，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．已知，，则的长为　 　． 28．（2016秋•新都区校级月考）如图，中，，，、均为等边三角形，、交于点，，则的面积为　　． 29．（2022秋•游仙区校级期中）已知：如图，中，在上，在上，过作于，，，，则的长为　　． 30．（2022•于洪区一模）如图，在中，，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分，交于点，则的长为 　　． 31．（2023秋•瓯海区期中）如图，在中，于点，在上取点，使得，，连接并延长交于点，则　　． 32．（2023秋•龙南市期中）如图，在中，，过点作线段，连接，且满足．取的中点，连接、． （1）若、，直接写出的取值范围 　　； （2）求证：． 33．（2023秋•太康县期中）如图，点、分别为的边、上两点，且，，，，求的度数． 34．（2022秋•利川市期末）在中，，，是的角平分线，于． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）如图2，点为上一点，连接，作等边，连接，求证：； （3）如图3，点为线段上一点，连接，作，交延长线于，探究线段，与之间的数量关系，并证明． 35．（2023春•渠县校级期末）在下面过程中的横线上填空，并在括号内注明理由． 已知：如图，，，，试证明与相等． 证明：（已知） 　 　 在和中，　 　　 　， 　 　　 　， 　 　　 　， 　 　 　 　　 　． 36．（2023春•大竹县校级期中）如图①点、、、在同一直线上，，作，，且． （1）证明：平分线段； （2）若沿方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 37．（2023春•甘州区校级期末）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 38．（2023秋•雄县期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　． （2）若，试说明． （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 39．（2022秋•汉阳区校级期末）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； （2）如图2，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； （3）如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，求与的面积之和． 四．全等三角形的应用 40．（2023秋•四平期末）如图，是一段斜坡，是水平线，现为了测斜坡上一点的竖直高度的长度，欢欢在处立上一竹竿，并保证，然后在竿顶处垂下一根绳，与斜坡的交点为点，他调整好绳子的长度，使得，此时他测得米，求的长度． 第1章全等三角形 培优题突破练习★★★【4个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．全等图形 二．全等三角形的判定 三．全等三角形的判定与性质 四．全等三角形的应用 · 知识点梳理 · 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 一．全等图形 1．（盐城模拟）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）　21　． 【分析】观察图形，发现：以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用3个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格，以此类推，则画10个图，需要个． 【解答】解：后面画出的图形与第一个图形完全一样 画第二个图形的时候，需往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用三个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格 画第10个图时，网格的长为个． 【点评】本题考查的是全等图形的作图，根据图形观察发现画下一个图的时候，共需要的格数，一定要找清规律． 二．全等三角形的判定 2．（2019秋•广汉市期末）已知△与△的周长相等．现有两个判断： ①若，，则△△； ②若，则△△．对于上述的两个判断，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】 【分析】根据即可推出△△，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可． 【解答】解：△，△的周长相等，，， ， △△，①正确； 、， △△， 设相似比为，即， ， △，△的周长相等， ， 即，，， △△，②正确； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，而和不能判断两三角形全等． 3．在和中，，，，，　35　，，根据　 　判定． 【分析】根据已知条件的位置选择判定方法，利用常用的判定方法来证明． 【解答】解：根据题意，，，则， 故分别填35，． 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 4．（2021秋•吐鲁番市期末）如图所示，在中，于点，要使，还需要加一个条件 　或（答案不唯一）　． 【答案】或（答案不唯一）． 【分析】结合三角形全等的判定方法，可得答案． 【解答】解：， ， 又， 若添加“”，依据可判定全等， 若添加“”，依据可判定全等， 故答案为：或（答案不唯一）． 【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，关键在于熟记“”“ ”“ ”“ ”“ ”几种方法，其中“”是判断直角三角形全等的方法． 5．（2023春•明水县期中）如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【分析】根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【解答】解：， ， 设点、的运动时间为，则，， ，，点为的中点， ， ， ①、是对应边时，与全等， ，， 且， 解得， ②与是对应边时，与全等， ，， ，， 解得且（舍去）， 综上所述，与全等时，点运动的时间为1秒． 【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点． 三．全等三角形的判定与性质 6．（2023秋•郧西县期中）如图所示，在中，，点是的中点，是的平分线，作交于，已知，则的长为　　 A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】 【分析】可通过作辅助线，即延长到，使，连接，延长交延长线于，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【解答】解：如图，延长到，使，连接，延长交延长线于， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ，， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 7．（2023•虎林市校级三模）如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件证明，可得，再根据，可得，然后证明是等边三角形，是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 8．（2018秋•南江县校级期中）在中，高和所在的直线交于点，且，则等于　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】根据题意画出三个图形，证，推出，推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【解答】解：分为三种情况： ①如图1， 、是的高， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， ②如图2， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ③如图3中， 高和所在的直线交于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想． 9．（2023秋•洛南县校级期末）如图，在中，，为边上的高，平分，点在上，连接并延长交于点，若，，有下列结论：①；②； ③； ④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】 【分析】作于，由等腰三角形的性质，余角的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质可以解决问题． 【解答】解：如图，作于， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 平分， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ，故③正确； ， ， 在和中， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2021秋•和平区校级期中）如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连结，且平分，则以下命题不正确的是　　 A． B．为中点 C． D． 【答案】 【分析】：先根据，推，再根据平分，平分，进一步推，证明； ：延长，交于点，先通过证明，推，再证明， 从而证明为中点； ：根据，得，再根据为中点，得，最后的； ：由，，推，，再根据，推， 因此不一定成立． 【解答】解：延长，交于点， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故选项不符合题意； ， ，， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， 为中点， 故选项不符合题意； ， ， 为中点， ， ， 故选项不符合题意； ，， ，， ， ， 与不一定相等， 不一定成立； 故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质的应用，辅助线的做法是解题的关键． 11．（2023秋•钟祥市校级期中）如图，已知，平分，，若，，则的长是　　 A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】 【分析】在的延长线上取点，使，连接，则可证得为等边三角形，再结合条件可证明，可得，再利用线段的和差可求得，则可求得． 【解答】解：在的延长线上取点，使，连接， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造等边三角形再证是解题的关键． 12．（2021秋•宁阳县期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】由证明，根据全等三角形的性质得出，，①正确； 由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，据此得出，②正确； 作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确； 由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，， 故①正确，符合题意； ， ， 故②正确，符合题意； 如图所示，作于，于， 则， 在和中， ， ， ， 平分， 故④正确，符合题意； ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与题意不符， 故③错误，不符合题意； 综上，符合题意的有①②④； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 13．（2021秋•庐阳区校级期末）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】由证明得出，，②正确； 由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，①正确； 作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确； 假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，故②正确； ， 由三角形的外角性质得： ， ，故①正确； 作于，于，如图所示， 则， ， ， 平分，故④正确； ， ， ， 假设平分，则， 在与中， ， ， ， ， ， 而，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④，共3个． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键 14．（2023秋•江门期末）如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③若，则；④． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【答案】 【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故①是错误的． 【解答】解：如图，延长至，使，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ②是正确的； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， ①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③是正确的； ， ， ， ， ④是正确的， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 15．（2023春•竞秀区期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则为中点； ④当为等腰三角形时，； 正确的有_____个．　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据三角形外角的性质即可得到； ②当时，； ③根据，得，根据等腰三角形的性质得到为中点； ④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或． 【解答】解：①，， ， ， ， 由三角形内角和定理知：，故①正确； ②， ， 由①知：， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，故③正确； ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， 当时，， ， 故④不正确． 正确的有①②③，共3个， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键． 16．（2018秋•黄岩区期末）如图，已知等边三角形，点为线段上一点，以线段为边向右侧作，使，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图连接．证明，求出即可解决问题． 【解答】解：如图，连接． 是等边三角形， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 17．（鄂州）如图四边形中，，，，，为上一点，且．若，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方法一：作交的延长线于，在的延长线上取一点，是的．可证得正方形；通过解直角三角形计算出，所以，证，再想办法求出即可解决问题； 方法二：如图取的中点，连接延长交的延长线于，作于，于．作于．由，推出，，由，，推出，，由题意，设，在中，，可得，推出，推出，，设，，根据，，可得①，②，由此求出即可解决问题． 【解答】解法一：作交的延长线于，在的延长线上取一点，使得． ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，，解得， ，，设，则，． 在中，，解得， ， ． 解法二：如图取的中点，连接延长交的延长线于，作于，于．作于． ， ， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，易证，， ，， 由题意，设， 在中，， ， ， ，， 设，， ，， ①， ② 由②得到③， ①代入③可得④ ④代入①可得（负根已经舍弃）， ， 解法三：过点作于，于． 设，，， 在中，， 解得， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 18．（2023春•淄博期末）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解． 【解答】解：．， ，即， 在和中， ， ， ，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； ．， ， ， ， 平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 故选项不符合题意； ．根据已知条件无法证明，故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 19．（2022秋•南开区校级期中）如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点交于点．且平分交于．交于．连接．则下列结论： ①； ②； ③； ④； 错误的有　　个． A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】 【分析】作交的延长线于．通过证明，，即可解决问题． 【解答】解：如图，作交的延长线于． ，，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ，，，故②③正确， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，，故①④正确． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（2017秋•南岗区校级期中）如图，在中，、分别在、边上，，，，，，则线段的长为 　13　． 【答案】13． 【分析】将射线沿着直线翻折，交的延长线于点，在上截取，连接交于点，想办法求出，，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：将射线沿着直线翻折，交的延长线于点，在上截取，连接交于点，如图： 则， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， 在上截取，连接， ， 即有，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 过点作于，则， 在中，，， ，， ， 在中，． 故答案为：13． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 21．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，四边形中，，，，则　　． 【答案】． 【分析】作，使，证明，可得，，根据，可得，设，所以，得，进而可解决问题． 【解答】解：如图，作，使， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线得到． 22．（2011秋•惠山区校级月考）如图所示，在四边形中，，，平分，则的度数是　180　度． 【分析】本题的关键是要根据所求角的特点来作辅助线构筑全等三角形，然后根据全等三角形的性质来找出与所求角相关联的角，进行适当的化简，然后求解． 【解答】解：在上取一点使，连接， 平分， ， ，， ， ，， ， ， 为等腰三角形， 因此， ． 【点评】本题的关键是要根据所求角的特点来作辅助线构筑全等三角形．由需要全等进行尝试辅助线的作法． 23．（2015春•大邑县期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列五个结论：①；②；③；④一定是等腰三角形；⑤．其中正确结论的序号是 　①③⑤　． 【分析】可以证明，即可证得①③是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断⑤正确；根据的任意性可以判断②④的正确性． 【解答】解：延长交于点，延长交于点． 四边形是正方形． 又，， 四边形是正方形，， ， 在与中， ， ， ，（故①③正确）； 与中，， ，（故⑤正确）； 是上任意一点，因而是等腰三角形和不一定成立，（故②④错误）； 故正确的是：①③⑤． 故答案为：①③⑤ 【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确证明，以及理解的任意性是解决本题的关键． 24．中，，，为中线，，的长度为 　　． 【答案】． 【分析】延长至，使，连接，再延长至点，使，连接，作于点，首先证明，可得，，然后证明，再根据等腰三角形的三线合一可得，设，则，利用勾股定理即可求出的值． 【解答】解：如图，延长至，使，连接，再延长至点，使，连接，作于点， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， 根据勾股定理，得 ， ， 解得．负值舍去， 的长度为． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．如图，，，则　　． 【答案】． 【分析】利用，构造一组全等三角形，可得为等边三角形，通过角度推导可知、、、四点共圆，进而可推出，故点、、在以为圆心，以为半径的圆上，根据圆周角定理即可求出结果． 【解答】解：如图，作，，连接，延长交于点，连接， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 点、、在以为圆心，以为半径的圆上， ． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形综合知识，难点是对辅助线的构造，通过的条件构造全等是解题关键，同时需要对四点共圆的知识点非常熟悉． 26．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 　①②⑤　．（填序号） 【答案】①②⑤． 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明与全等，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明与全等，从而可以证明①②⑤正确，与不一定相等，所以③④不正确． 【解答】解：， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ， 故①小题正确； 如图，延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ，故②小题正确； ， ，即点为的中点， 与不一定相等 与不一定相等，故③小题错误； 若，则是斜边上的中线，则， 与不一定相等， 与不一定相等，故④小题错误； ，， 的取值范围为，故⑤小题正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 27．（2016秋•青羊区校级期中）如图，，，，点为外一点，且，连接交于点，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．已知，，则的长为　　． 【分析】延长交于，连接，以为圆心为半径作．首先证明、、、四点共圆，由，设，则，，，推出，，，，由，推出，推出，推出，根据，列出方程求出，求出，再证明即可解决问题． 【解答】解：延长交于，连接，以为圆心为半径作． ，平分， ，， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ，设，则，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题． 28．（2016秋•新都区校级月考）如图，中，，，、均为等边三角形，、交于点，，则的面积为　　． 【分析】可过点向引垂线，可证，即，即为中点． 【解答】解：如图所示，过作于，交的延长线于． 是等边三角形，， ，由勾股定理得：， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． ． ，， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ，， 在中，， ． 故答案为． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．（2022秋•游仙区校级期中）已知：如图，中，在上，在上，过作于，，，，则的长为　　． 【分析】在上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，连接．想办法证明，，推出，推出即可解决问题． 【解答】解：在上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，连接． ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 30．（2022•于洪区一模）如图，在中，，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分，交于点，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】延长至，使得，取的中点，连接，，过点作于点，直线将的周长平分，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【解答】解：如图，延长至，使得，取的中点，连接，，过点作于点， 为边上的中点， ， ， ， 直线将的周长平分， ，， ， ， ， ，， ， 是中点，是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作图是解题关键． 31．（2023秋•瓯海区期中）如图，在中，于点，在上取点，使得，，连接并延长交于点，则　　． 【答案】． 【分析】由勾股定理可求出的长，由证明，得到，，证明出是边上的高，再利用面积法可求出的长． 【解答】解：， ， 在中， ，， 由勾股定理，得， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，面积法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 32．（2023秋•龙南市期中）如图，在中，，过点作线段，连接，且满足．取的中点，连接、． （1）若、，直接写出的取值范围 　　； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）延长，交于点，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （2）由，得到于是得到结论，然后根据三线合一即可解决问题． 【解答】（1）解：延长，交于点， ， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 33．（2023秋•太康县期中）如图，点、分别为的边、上两点，且，，，，求的度数． 【分析】连接证，推出，求出，代入求出即可． 【解答】解：连接， 在和中 ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，关键是证出． 34．（2022秋•利川市期末）在中，，，是的角平分线，于． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）如图2，点为上一点，连接，作等边，连接，求证：； （3）如图3，点为线段上一点，连接，作，交延长线于，探究线段，与之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，由角平分线的定义得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，得出，即可得出结论； （3）延长至，使，连接，证出为等边三角形，得出，，得到，证出，由证明，得出，证出，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长至，使，连接，如图所示： ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论． 35．（2023春•渠县校级期末）在下面过程中的横线上填空，并在括号内注明理由． 已知：如图，，，，试证明与相等． 证明：（已知） 　　 在和中，　 　　 　， 　 　　 　， 　 　　 　， 　 　 　 　　 　． 【分析】根据平行线的性质推出，根据证即可，再根据全等三角形的性质得出结论． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，，，，，，，，，． 【点评】本题主要考查对平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键． 36．（2023春•大竹县校级期中）如图①点、、、在同一直线上，，作，，且． （1）证明：平分线段； （2）若沿方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【分析】（1）由，利用等式的性质得到，再由，利用得到直角三角形与直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，再利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，即可得证； （2）（1）中的结论成立，理由为：由，利用等式的性质得到，再由，利用得到直角三角形与直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，再利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，即可得证． 【解答】（1）证明：，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，即平分线段； （2）（1）中结论成立，理由为： 证明：，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，即平分线段． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 37．（2023春•甘州区校级期末）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　180　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论； （3）作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【解答】解：（1），， ， ，， ； 故答案为：180． （2）平分，平分， ，，； （3）作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，同理， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 38．（2023秋•雄县期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　25　，　　． （2）若，试说明． （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）25；65； （2）见解答； （3）可以，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， 故答案为：25；65； （2），， ，， ． ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ； （3） 的形状可以是等腰三角形． ①当时，， ， ②当时，， ． ， 此时，点与点重合，不符合题意． ③当时，， ． 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 39．（2022秋•汉阳区校级期末）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； （2）如图2，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； （3）如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，求与的面积之和． 【分析】图①，求出，，根据证两三角形全等即可；图②根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可；图③求出的面积，根据得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图①， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2），，，， ，， 在和中， ， ； （3）的面积为15，， 的面积是：， 由（2）中证出， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处． 四．全等三角形的应用 40．（2023秋•四平期末）如图，是一段斜坡，是水平线，现为了测斜坡上一点的竖直高度的长度，欢欢在处立上一竹竿，并保证，然后在竿顶处垂下一根绳，与斜坡的交点为点，他调整好绳子的长度，使得，此时他测得米，求的长度． 【分析】延长交于，根据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得． 【解答】解：如图，延长交于， 则，， （对顶角相等）， ， 在和中， ， ， ， 米， 的长度是2米． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$