第1章全等三角形 基础题过关检测★【6个考点50题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形 基础题过关检测★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 一．全等图形 二．全等三角形的性质 三．全等三角形的判定 四．直角三角形全等的判定 五．全等三角形的判定与性质 六．全等三角形的应用 · 知识点梳理 · 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 一．全等图形 1．（2024春•普陀区期中）“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，如果将边长为1厘米的正方形沿对角线向右平移厘米得到正方形，形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为 　　厘米． 2．（2024春•莲湖区期末）如图，在的正方形网格中标出了、和，则　　． 二．全等三角形的性质 3．（2024春•工业园区期末）如图，先将两个全等的直角三角形、重叠在一起，再将三角形沿方向平移，、相交于点．若，，则阴影部分的面积为 　　． 4．（2024•成都）如图，，若，，则的度数为 　　． 5．（2023秋•璧山区期末）如图，△，，，此时点恰好在线段上，则的度数为 　　． 6．（2024春•东城区校级期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 　　． 7．（2024春•开封期末）如图，若，，则的长度是 　　． 三．全等三角形的判定 8．（2024春•乐平市期末）如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为　　 A． B． C． D． 9．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024春•平陆县期末）“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．在中，若，则是直角三角形 B．每条边都相等的多边形是正多边形 C．所有正方形都是全等图形 D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 12．（2023秋•宁国市期末）如图，点，点在直线上，，，下列条件中不能推断的是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•攸县期末）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　 A． B． C． D． 14．（2024春•榕城区月考）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与，重合，连接，与交于点．下列判断正确的有　　 ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 15．（2024春•黄浦区期末）如图：已知，使，还需添加一个条件，你添加的条件是　　．（只需一个，不添加辅助线） 16．（2023秋•无锡期末）如图，、相交于点，，请添加一个条件使成立，这个条件可以是 　　． 17．（2024•江阳区校级三模）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．求证：． 18．（2024•绥江县三模）如图，在四边形中，同时平分和． 求证：． 四．直角三角形全等的判定 19．（2024春•凤翔区月考）如图，于点，于点，．若添加一个条件可使用“”判定，则添加的条件为 　　． 20．（2023秋•赣州期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 　　． 21．（2024•武威三模）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则　　． 五．全等三角形的判定与性质 22．（2023秋•同心县校级期末）如图，在和中，，，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是　　 A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 23．（2024•苏州模拟）如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则　　 A． B． C． D． 24．（2024春•清徐县校级期末）如图，在中，过点作于点，且，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．以下结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 25．（2024春•朝阳区校级期中）如图，在中，，，点在边上，且，点、在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 　　． 26．（2024春•莱芜区期中）如图，直线经过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是2，1，则正方形的边长为 　　． 27．（2023秋•泗水县期末）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 　　． 28．（2024春•江宁区校级月考）如图，，相交于点，，，点与点在上，且． （1）求证：； （2）求证：点为的中点． 29．（2024春•武城县期末）如图，四边形的对角线、交于点，已知是的中点，，． （1）求证：； （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 30．（2024•南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 31．（2024•凉州区二模）已知：如图，，，，相交于点．求证：． 32．（2024•长沙一模）如图，，，点在边上，，和相交于点 （1）求证：； （2）若，求的度数． 33．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，为中的角平分线，，，延长至，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 34．（2024•阎良区校级二模）如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：． 35．（2024•韩城市一模）如图，在和中，点在上，，，，求证：． 六．全等三角形的应用 36．（2023秋•盘龙区期末）如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则　　 A．只带①去 B．只带③去 C．只带②去 D．带②和③去 37．（2024春•碑林区校级月考）如图，曲晓星站在河边的点处，在河对面（曲晓星正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树处，接着再向前走了10米到达处，然后他左转直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，的长度就是的长度，他的依据是　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•北流市期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是　　 A． B． C． D． 40．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　 A． B． C． D． 第1章全等三角形 基础题过关检测★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 【解析版】 一．全等图形 二．全等三角形的性质 三．全等三角形的判定 四．直角三角形全等的判定 五．全等三角形的判定与性质 六．全等三角形的应用 · 知识点梳理 · 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 一．全等图形 1．（2024春•普陀区期中）“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，如果将边长为1厘米的正方形沿对角线向右平移厘米得到正方形，形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为 　6　厘米． 【答案】6． 【分析】求出，可得结论． 【解答】解：正方形都是边长为1厘米， （厘米）， 厘米， （厘米）， （厘米）， （厘米）， “方胜”图案的周长（厘米）． 故答案为：6． 【点评】本题考查全等图形，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2024春•莲湖区期末）如图，在的正方形网格中标出了、和，则　　． 【答案】． 【分析】根据图形判断出、是全等直角三角形的两个互余的锐角，为等腰直角三角形的锐角，然后求解即可． 【解答】解：如图，在和中， ， ， ， 在中，， ， 由图可知，是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等图形，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 二．全等三角形的性质 3．（2024春•工业园区期末）如图，先将两个全等的直角三角形、重叠在一起，再将三角形沿方向平移，、相交于点．若，，则阴影部分的面积为 　13　． 【答案】13． 【分析】由全等三角形的性质可知，，进而得出，，最后根据面积公式得出答案． 【解答】解：由全等三角形的性质可知，，， ． 由平移的性质可知， ． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，平移的性质，求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键． 4．（2024•成都）如图，，若，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】由，得，故． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等． 5．（2023秋•璧山区期末）如图，△，，，此时点恰好在线段上，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，于是得到． 【解答】解：，， ， △， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 6．（2024春•东城区校级期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 　　． 【答案】． 【分析】用整体的面积减空白的面积即可解决本题． 【解答】解：由题意知：可知正方形的边长为， 在中，根据勾股定理可得：， ， ， 正方形的面积为：正方形的面积四个全等三角形的面积， 即：正方形的面积， 正方形的边长为2， 小正方形对角线的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了特殊图形中求阴影部分面积的知识，勾股定理，全等三角形的性质，把握整体减空白的思想是解决本题的关键． 7．（2024春•开封期末）如图，若，，则的长度是 　3　． 【答案】3． 【分析】直接根据全等三角形的性质求解． 【解答】解：， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 三．全等三角形的判定 8．（2024春•乐平市期末）如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定和各个选项中的条件，可以判断哪个选项中的条件，不能判定，本题得以解决． 【解答】解：由已知可得， ，， 添加，则，故选项不符合题意； 添加，则，故，故选项不符合题意； 添加，则，故选项不符合题意； 添加，无法证明，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法． 9．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【解答】解：在中，， ， 、分别平分、， ，， ， ，故结论①正确； ， 又， ， ， ， 在和中， ， ，故结论②正确； ，，， ， 在和中， ， ， ，， 是的外角， ， ，故结论③错误； 又，， ， 即，故结论④正确， 正确的个数是3个． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 10．（2024春•平陆县期末）“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知的两条对应边相等，再加上中间的公共边即可证明． 【解答】解：在和中 ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法， 11．（2024春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．在中，若，则是直角三角形 B．每条边都相等的多边形是正多边形 C．所有正方形都是全等图形 D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 【答案】 【分析】根据直角三角形的判定、正多边形的判定、全等图形和三角形全等的判定解答即可． 【解答】解：、在中，若，则是直角三角形，说法正确，符合题意； 、每条边和每个内角都相等的多边形是正多边形，原命题是假命题，不符合题意； 、所有正方形是相似图形，不一定是全等图形，原命题是假命题，不符合题意； 、如果两个三角形有两边和其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据直角三角形的判定、正多边形的判定、全等图形和三角形全等的判定解答． 12．（2023秋•宁国市期末）如图，点，点在直线上，，，下列条件中不能推断的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法，一一判断即可． 【解答】解：、不能判定三角形全等，本选项符合题意． 、根据，可以推出，本选项不符合题意． 、根据，可以推出，本选项不符合题意． 、根据，可以推出，本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 13．（2023秋•攸县期末）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：在和中， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 14．（2024春•榕城区月考）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与，重合，连接，与交于点．下列判断正确的有　　 ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断，从而对①进行判断；再利用证明，则可对②进行判断；由①②得出，可对③进行判断；由得到，由得到，从而可对④进行判断． 【解答】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ，所以①正确； ， ， ，所以②正确； 由①②得，， 为等腰直角三角形． ，所以③正确； ， ， ， 在中， ， ， ， ，所以④错误． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质和三角形的面积，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 15．（2024春•黄浦区期末）如图：已知，使，还需添加一个条件，你添加的条件是　　．（只需一个，不添加辅助线） 【分析】由图形可知，结合条件，根据全等三角形的判定方法填写答案即可． 【解答】解： ，且， 当或时，满足，可证明， 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 16．（2023秋•无锡期末）如图，、相交于点，，请添加一个条件使成立，这个条件可以是 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】由平行线的性质推出，，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可答案． 【解答】解：， ，， 在和中， ， ， 添加一个条件使成立，这个条件可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，． 17．（2024•江阳区校级三模）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解答． 【分析】先利用等角的补角相等得到，则可判断，所以，然后根据“”可判断． 【解答】证明：， ， ， ， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 18．（2024•绥江县三模）如图，在四边形中，同时平分和． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】利用可证得和全等． 【解答】证明：同时平分和， ，， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 四．直角三角形全等的判定 19．（2024春•凤翔区月考）如图，于点，于点，．若添加一个条件可使用“”判定，则添加的条件为 　　． 【答案】． 【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【解答】解：添加的条件为，理由如下： 于点，于点， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法“”． 20．（2023秋•赣州期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 　　． 【答案】． 【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题． 【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边． 根据三角形的判定方法可解决此题． 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 21．（2024•武威三模）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则　7　． 【分析】可判定，从而得出，则． 【解答】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为7． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单． 五．全等三角形的判定与性质 22．（2023秋•同心县校级期末）如图，在和中，，，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是　　 A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】 【分析】先证，得出，，，故②正确；再由三角形的外角性质求得，故①正确；过点作于点，于点，然后证，得出，则平分，④正确；假设平分，则，证，推出，与矛盾，故③不正确． 【解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，，故②正确； 由三角形的外角性质得：， ，故①正确； 如图，过点作于点，于点， 则， 在和中， ， ， ， 平分，故④正确； ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与矛盾，故③不正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由和证明三角形全等是解题的关键． 23．（2024•苏州模拟）如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】证明，得，再由三角形的外角性质得，即可得出结论． 【解答】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．（2024春•清徐县校级期末）如图，在中，过点作于点，且，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．以下结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于点，于点，得，可证明，可判断正确；再证明，则，可判断错误；由，，得，推导出，可判断正确；再证明，得，可判断正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：于点，于点， ， ，， ， 故正确； 于点， ， ， 在和中， ， ， ，， 故错误； ，， ， ，， ， 故正确； 在和中， ， ， ， 故正确， 故选：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理，证明及是解题的关键． 25．（2024春•朝阳区校级期中）如图，在中，，，点在边上，且，点、在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 　12　． 【答案】12． 【分析】先证，得出与的面积之和与的面积之和的面积，根据与等高，底边值为，得出与面积比为，即可选出答案． 【解答】解：，，，， ，， 在和中， ， ， 的面积的面积， 与的面积之和与的面积之和的面积， 的面积为18，， 的面积， 与的面积之和， 故答案为：12． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明，是解题的关键． 26．（2024春•莱芜区期中）如图，直线经过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是2，1，则正方形的边长为 　　． 【答案】． 【分析】由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 27．（2023秋•泗水县期末）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 　7　． 【答案】7． 【分析】连接，依据“”判定和全等，得，，根据的周长为，可得，再根据的周长为，可得，据此可得的长． 【解答】解：连接，如下图所示： ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ，， 的周长为， ， 即， ， 又的周长为， ， 即， ， ． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定和性质，三角形的周长，准确识图，熟练掌握直角三角形全等的判定和性质是解决问题的关键． 28．（2024春•江宁区校级月考）如图，，相交于点，，，点与点在上，且． （1）求证：； （2）求证：点为的中点． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）由可证； （2）由可证，可得，可得结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ． （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 点为的中点． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 29．（2024春•武城县期末）如图，四边形的对角线、交于点，已知是的中点，，． （1）求证：； （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【分析】（1）由与平行，得到两对内错角相等，再由为的中点，得到，又，得到，利用即可得证； （2）若，则四边形为矩形，理由为：由，得到，即，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 【解答】（1）证明：， ，， 为的中点， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）若，则四边形是矩形，理由为： ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形为矩形． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 30．（2024•南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程． 【分析】（1）根据线段中点定义得，再根据得，，由此即可得出结论； （2）根据点为的中点，得直线为线段的垂直平分线，则，再由（1）得，则，据此即可得出结论． 【解答】（1）证明：点为的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）证明：点为的中点，， 直线为线段的垂直平分线， ， 由（1）可知：， ， ． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 31．（2024•凉州区二模）已知：如图，，，，相交于点．求证：． 【答案】见解析． 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【解答】证明：，， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 32．（2024•长沙一模）如图，，，点在边上，，和相交于点 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数； 【解答】（1）证明：和相交于点， ． 在和中， ，． 又， ， ． 在和中， ， ． （2）， ，． 在中， ，， ， ． 【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 33．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，为中的角平分线，，，延长至，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质及三角形角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形外角性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【解答】（1）解：， ， ， ， ， ， 为中的角平分线， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 为中的角平分线， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 34．（2024•阎良区校级二模）如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，推导出，而，，即可根据“”证明，则． 【解答】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 35．（2024•韩城市一模）如图，在和中，点在上，，，，求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，得，而，，即可根据“”证明，得． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 六．全等三角形的应用 36．（2023秋•盘龙区期末）如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则　　 A．只带①去 B．只带③去 C．只带②去 D．带②和③去 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形， 只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的． 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 37．（2024春•碑林区校级月考）如图，曲晓星站在河边的点处，在河对面（曲晓星正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树处，接着再向前走了10米到达处，然后他左转直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，的长度就是的长度，他的依据是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】通过证得，则其对应边相等．即可得的答案． 【解答】解：根据题意，得，． 在和中， ， ． ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 38．（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，利用全等三角形判定方法进行判断． 【解答】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“”重新配一块与原来全等的三角形玻璃． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 39．（2023秋•北流市期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在用到的条件是：，，， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法． 故选：． 【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时注意选择． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 40．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案． 【解答】解：由题意可知，， ， ． ， 在和中， ， ， ，， 、分别为和， ， ， ， 答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$