精品解析：北京市北京大学附属中学元培学院2023-2024学年高一衔接班（高零）下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年第二学期北大附中元培学院高零年级期末考试 数学试卷 2024.7 考生须知： 1．本试卷共6页，共3个小题、18个小题，满分100分，考试时间120分． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 已知集合、，其中，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为（ ）． A. 6 B. 8 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性以及集合之间的包含关系进行分类讨论求解. 【详解】依题意，当时，，有序数对有4个； 当时，，有序数对有4个；全部有序数对的个数为8个.故A，C，D错误. 故选：B. 2. 已知、、，则下列选项可能成立的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、， 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出，排除BD，再根据和判断即可. 【详解】因为、，故，排除BD； 因为，所以，， 又，所以， 故A错误，C正确. 故选：C 3. 已知关于，，，方程组，其中．则，，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设得到，令，从而解出，，，，再根据条件，即可求解出结果. 【详解】由，得到， 即，令， 则，又，所以， 故选：D. 4. 已知关于x，y的方程组对于方程组的实数解，下列判断中正确的是（ ）． A. 恰有一组实数解 B. 恰有两组实数解 C. 没有实数解 D. 条件不足无法判断 【答案】D 【解析】 【分析】解方程组可得答案. 【详解】由得， 当时，解得，方程组有一组实数解， 当时，，方程组有两组实数解， 综上，条件不足无法判断. 故选：D. 5. 函数的图象关于（ ）作对称，再向（ ）平移1个单位，得到函数的图象．（ ） A. 轴、上 B. 轴、下 C. 轴、左 D. 轴、右 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴与顶点性质判断即可. 【详解】函数，对称轴轴为，顶点为， 函数，对称轴为，顶点为， 故函数的图象关于轴作对称，得到，再向下平移1个单位，得到函数的图象． 故选：B 6. 在中，顶点，，的对边分别为，，．若，则的内角大小可能为（ ）． ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据各选项的角度得出三边的大小关系，进而代入等式验证是否满足即可. 【详解】则，即. ①当的内角大小为时，不妨设，满足，故①正确； ②当的内角大小为时，不妨设，满足，故②正确； ③当的内角大小为时，三边长度分别为，均不满足，故③错误； ④当的内角大小为时，三边长度分别为，均不满足，故④错误； 综上有①②满足题意. 故选：A 7. 在锐角中，，，则（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理和二倍角公式化简得结果. 【详解】在锐角中，正弦定理可得 . 故选：B. 8. 已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】假设为真，验证能否得到，再假设为真，验证能否得到即可得. 【详解】若，则可化为， 则与的解集不同， 故不是的必要条件； 若、的解集都为空集， 如、，此时两不等式解集都为空集， 不满足，故不是的充分条件； 综上所述，是成立的既不充分又不必要条件. 故选：D. 第二部分 非选择题 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 9. 已知．若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据已知，利用差角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，建立方程组求解. 【详解】因为，所以，两边平方有： ，所以，所以， 所以， 当，又，所以，此时； 当，又，所以，此时. 故答案为：或. 10. 已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是，，，的四段圆弧．则这个四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的周长公式计算圆的半径，结合三角形面积公式求得四边形的面积； 【详解】已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是，，，的四段圆弧， 设圆的半径为，可知， 所以四边形的面积由四个三角形面积组成，四边形的面积为 故答案为：. 11. 已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，再根据集合之间的真包含关系求解. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以. 故答案为：. 12. 已知集合、．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据、集合的性质可得答案. 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. 13. 函数在上的最大值为______． 【答案】1 【解析】 分析】合理换元，后讨论参数范围，利用基本不等式和对勾函数性质求解即可. 【详解】令，所以， 则可化为， 当时，，当时，， 当时，， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)， 故此时，则此时最大值为1， 当时， 因为函数在上单调递减， 得到，所以， 故，即， 综上函数在上的最大值为1. 故答案为：1 14. 已知函数、的图象恰有三个交点，交点坐标分别为.则下列判断： ①② ③④ 其中正确的是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】首先根据对称性得到两个函数图象的三个交点关于对称，且应为其中一个交点，不妨设，根据判断①的正误；根据是方程的两个根借助韦达定理判断②的正误；根据立方和公式和②中韦达定理得到的结论判断③的正误；根据对称性得判断④的正误即可. 【详解】因为， 又， 所以的对称中心为， 因为函数、的图象恰有三个交点， 且也是中心对称图形， 所以两个函数图象的三个交点也关于对称， 不妨设，则应为其中一个交点，故， 对于①，因为关于对称，则， 所以，故①正确； 对于②，将代入直线方程得，即， 联立得：， 因为是方程的根且， 所以是方程的两个根， 由韦达定理得，所以，故②正确； 对于③，因，所以， 又 ， 所以，故③错误； 对于④，， 因为两个函数图象的三个交点也关于对称， 所以，则， 即，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析得关于对称，从而得解. 三、解答题（共4小题，共44分） 15. 求下列关于的不等式的解集： （1） （2） 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论与0，1的大小关系，结合分式与二次不等式求解即可； （2）先求得，再两边平方求解即可. 【小问1详解】 当时，恒成立； 当时，即，则，即，无解； 当时，，即，即，解得. 综上有解集为或. 【小问2详解】 当时，，故，故无解，故. 两边平方有，即，，解得或. 又，故解集为. 16. （1）观察：、、、、……叙述其中的一般规律，并加以证明． （2）求证：对于任何、，存在，，使得． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）发现规律，归纳出，证明即可; （2）运用第一问的结论，结合裂项可证明. 【详解】（1）规律：左右两边分子都是1，等式左边的分母是从1开始的连续整数，等号右边的分母是等式左边分母加1和左边分母加1与左边分母的积， 即; 证明：，得证. （2）由于 则， 即 故对于任何、，存在，，使得． 17. 已知一个等腰直角三角形的三个顶点分别在另一个等腰直角三角形的三条不同的边上． （1）如图，若的直角顶点在的斜边上，求，的面积之比的最小值． （2）如图，若的直角顶点在的直角边上．求，的面积之比的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由四点共圆，在和中，应用正弦定理得，过点作于点， 有，则； （2）设，，，则，由正弦定理，得，所以. 【小问1详解】 当等腰直角三角形的直角顶点在等腰直角三角形的斜边上时，如图所示， 则有四点共圆， 则，所以， 和中，分别应用正弦定理得， 又，，所以，即为的中点. 过点作于点， 则， 所以，即为中点时的最小值为. 【小问2详解】 等腰直角三角形的直角顶点在等腰直角三角形的直角边上时， 不妨设直角顶点在直角边上，如图所示， 设，，， 则， 在中，， 在中，，，， 在中，由正弦定理有，即， 得，解得， ， 当且仅当时取等号，此时的最小值为. 18. 一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： （1），其中． （2），其中，． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数学归纳法证明的步骤进行证明； （2）根据数学归纳法证明的步骤进行证明. 【小问1详解】 ①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. 【小问2详解】 ①当时，左边，右边，不等式成立； ②假 设 当 时不等式成立， 即， 由于， 当时，单调递增，则，所以， 那么，， 即当时不等式也成立. 由①②知，不等式对任何都成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期北大附中元培学院高零年级期末考试 数学试卷 2024.7 考生须知： 1．本试卷共6页，共3个小题、18个小题，满分100分，考试时间120分． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 已知集合、，其中，且．满足以上条件全部有序数对的个数为（ ）． A. 6 B. 8 C. 20 D. 36 2. 已知、、，则下列选项可能成立的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C 、、、 D. 、、， 3. 已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知关于x，y方程组对于方程组的实数解，下列判断中正确的是（ ）． A. 恰有一组实数解 B. 恰有两组实数解 C. 没有实数解 D. 条件不足无法判断 5. 函数图象关于（ ）作对称，再向（ ）平移1个单位，得到函数的图象．（ ） A. 轴、上 B. 轴、下 C. 轴、左 D. 轴、右 6. 在中，顶点，，的对边分别为，，．若，则的内角大小可能为（ ）． ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 7. 在锐角中，，，则（ ）． A. 2 B. C. D. 8. 已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 第二部分 非选择题 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 9. 已知．若，则______． 10. 已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是，，，的四段圆弧．则这个四边形的面积为______． 11. 已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为______． 12. 已知集合、．若，则______． 13. 函数在上的最大值为______． 14. 已知函数、的图象恰有三个交点，交点坐标分别为.则下列判断： ①② ③④ 其中正确的是______. 三、解答题（共4小题，共44分） 15. 求下列关于的不等式的解集： （1） （2） 16. （1）观察：、、、、……叙述其中的一般规律，并加以证明． （2）求证：对于任何、，存在，，使得． 17. 已知一个等腰直角三角形的三个顶点分别在另一个等腰直角三角形的三条不同的边上． （1）如图，若的直角顶点在的斜边上，求，的面积之比的最小值． （2）如图，若的直角顶点在的直角边上．求，的面积之比的最小值． 18. 一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于的自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： （1），其中． （2），其中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $