1.2空间向量基本定理（七个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

1.2空间向量基本定理 一、基底的判断 五、证明平行、垂直 二、用基底表示空间向量 六、求距离、长度 三、正交分解 七、求夹角 四、证明共线、共面 知识点1空间向量基本定理 1.空间向量基本定理： 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 2．用基底表示向量的步骤: （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． （2）找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． （3）下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 重难点一 基底的判断 【例1】（多选）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 【例2】，，是三个不共面的单位向量，可为空间的一个基底，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据基底的定义，可知，若 ，，是三个不共面的单位向量，则可为空间的一个基底， 反过来，若为空间的一个基底，则，，是三个不共面的向量，不一定是单位向量， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-1】（多选）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 【变式1-2】若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以存在实数、使得， 即， 即， 因为是空间的一个基底， 则，解得. 故选：A. 【变式1-3】（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】如图所示，    令，则，， A：由四点共面，则向量也共面，故A不符合题意； B：由四点不共面，则向量也不共面，故B符合题意； C：由四点不共面，则向量也不共面，故C符合题意； D：由四点不共面，则向量也不共面，故D符合题意. 故选：BCD. 重难点二 用基底表示空间向量 【例3】如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为与的交点， 则 故选：C. 【例4】如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，.    （2）因为，，， 所以 , 又， ， 所以. 【变式2-1】如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 【变式2-2】在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 【答案】 【详解】取中点N，连接， 又 ，. 故答案为：. 【变式2-3】已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，，. (1)用，，表示； (2)求. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为，且，， 所以，， . （2）由题意得， 所以，，，，， 所以 ， 所以. 知识点2空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 重难点三 正交分解 【例5】已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标． 【详解】不妨设向量，，； 则向量，，． 设， 即， ∴解得 即在，，下的坐标为． 故选：C． 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单． 【例6】已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式3-1】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，故. 故选：C 【变式3-2】已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 【答案】 【详解】向量在基底下的坐标是， ， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 【变式3-3】已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{+，-，}是空间另一个基底，若向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）则在基底{，，}下的坐标为 ． 【答案】（1，2，3） 【详解】解：∵向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3） ∴向量=（+）-（-）+3=+2+3， 故在基底{，，}下的坐标为（1，2，3）， 故答案为（1，2，3）． 【点睛】本题考查的知识点是空间向量的基本定理及其意义，空间向量的坐标，难度不大，属于基础题． 重难点四 证明共线、共面 【例7】在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】证明见解析 【详解】设的中点为，连接GB，GD，，，    ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【例8】在四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．    (1)用表示； (2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面 【答案】(1)， (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 所以， ； （2）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 所以，，所以， 所以E，F，G，H四点共面. 【变式4-1】对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问与，是否共面？若共面，请给出证明；不共面，请说明理由.      【答案】共面，证明见解析 【详解】与，共面 证明如下： 在空间四边形中，分别是上的点，由向量加法法则， 得① 又E，F分别是AB，CD的中点， 故有② 将②代入①中，再两式相加得， 所以， 即与，共面. 【变式4-2】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式4-3】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵ ∴ （2）连接 ∵分别是的中点，∴. 又∵，∴， ∴，则四点共面. 重难点五 证明垂直、平行 【例9】如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点．设．求证．      【答案】证明见解析 【详解】证明：    因为空间四边形的每条边和对角线长都等于， 所以,都为等边三角形，所以， ， 故. 【例10】已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 【变式5-1】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：设，，， 则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底． 所以，． 所以． 所以． 【变式5-2】如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ，， 所以 . 所以． 【变式5-3】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】（1）因为，所以，、、为共面向量， 因为、、有公共点，故、、、四点共面， 因为，则、、为共面向量， 因为、、有公共点，故、、、四点共面； （2），，， ，， 因为、无公共点，故. 重难点六 求距离、长度 【例11】如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图形易得， 所以， 即. 故选：A 【例12】已知线段AB在平面内，线段，线段，且与所成的角是，如果，求C，D间的距离． 【答案】 【详解】解：如图，由，知，过点D作于点，连接， 所以为在平面上的的射影，所以为与平面所成角. 则，所以 故． 故答案为： 【变式6-1】如图，已知平行六面体中， ，，.为的中点，则长度为 .    【答案】 【详解】，， ，，， ， ， ， ，即. 故答案为： 【变式6-2】如图，在平行六面体中，，M是底面的中心，设，则 （用表示），的长度为 ． 【答案】 / 【详解】如图，取的中心，连接，， 则， ， ，即的长度为. 故答案为：；. 【变式6-3】如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为，与的交点为，点在上，且，，，.    (1)用，，表示，； (2)求的长度. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， . （2）由（1）知 ∴ ∴， 即的长度为. 重难点七 求夹角 【例13】点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则 ． 【答案】 【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则 , 所以 ， 所以, 故答案为： 【例14】如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2）， 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 【变式7-1】平行六面体的底面是菱形，，，，线段的长度为，则 ． 【答案】/0.5 【详解】因为， 所以 因为，，，， 所以， 解得：. 故答案为： 【变式7-2】如图，正四面体的高的中点为，的中点为.    (1)求证：，，两两垂直； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，，，正四面体的棱长为1， 因为 ， ， ， ， 所以 ，所以，即. 同理，，，所以，，两两垂直. （2）， 所以， 又， ， 所以， 又，所以. 【变式7-3】如图，在三棱锥中，，，点M，N分别是，的中点 (1)求的值； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)-14 (2) 【详解】（1）选取一个基底， 由题意得，， ， ， 因为， 所以 . （2）方法一：由（1）知，， 所以 所以 ， 所以. 即异面直线，所成角的余弦值为. 方法二：取的中点E，连接，，如图， 因为点M是的中点，所以，且， 故异面直线，所成的角为或其补角. 因为，，点M，N分别是，的中点， 所以，⊥，⊥，⊥， 由勾股定理得， 所以，， 由勾股定理得， 在中，， 即异面直线，所成角的余弦值为. 一、单选题 1．已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知：，则与共面， 同理，， 即、均与共面， 所以A、B、D三项均不能和构成空间的另一个基底，故A、B、D错误； 设，显然无法成立，即与不共面，故C正确. 故选：C 2．在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可得 . 故选：C 3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可知，空间四边形的四个面都是等边三角形， 则， 则 . 故选：A. 4．如图，平行六面体的各棱长均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得， ，两边平方得， ， 所以. 故选：B. 5．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 6．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别作，，垂足为，则． 由，可得， 所以． 因为， 则 即， 故， 故选：B．    二、多选题 7．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ） A．，，一定能构成空间的一个基底 B．，，两两共面，但，，不可能共面 C．有且仅有一对实数，，使得 D．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，，是空间一个基底，则，，不共面， 可知，，也不共面，，，一定能构成空间的一个基底，故A正确； 对于选项B：由基底向量的定义可知：，，两两共面，但，，不可能共面，故B正确； 对于选项C：因为，，不共面，所以不存在实数，，使得，故C错误； 对于选项D：因为，，是空间一个基底， 由空间向量基本定理可知：对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使得，故D正确； 故选：ABD. 8．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 【答案】ACD 【详解】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 【答案】 【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 所以 . 故答案为： 10．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 【答案】/ 【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点， 得，且，则， ， ，而， 所以 . 故答案为：. 11．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】设，，，    设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 12．已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . （2）正四面体的棱长为1，则， 所以. 13．在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量，，表示； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）因为，又， 所以 ，所以与的夹角为. 14．如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形， 则，，， ， 所以， 又因为，所以 15．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，时，. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2空间向量基本定理 一、基底的判断 五、证明平行、垂直 二、用基底表示空间向量 六、求距离、长度 三、正交分解 七、求夹角 四、证明共线、共面 知识点1空间向量基本定理 1.空间向量基本定理： 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 2．用基底表示向量的步骤: （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． （2）找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． （3）下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 重难点一 基底的判断 【例1】（多选）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】，，是三个不共面的单位向量，可为空间的一个基底，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（多选）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式1-3】（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 重难点二 用基底表示空间向量 【例3】如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4】如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 【变式2-1】如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 【变式2-3】已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，，. (1)用，，表示； (2)求. 知识点2空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 重难点三 正交分解 【例5】已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 【变式3-3】已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{+，-，}是空间另一个基底，若向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）则在基底{，，}下的坐标为 ． 重难点四 证明共线、共面 【例7】在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【例8】在四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．    (1)用表示； (2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面 【变式4-1】对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问与，是否共面？若共面，请给出证明；不共面，请说明理由.      【变式4-2】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式4-3】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 重难点五 证明垂直、平行 【例9】如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点．设．求证．      【例10】已知在空间四边形中，，，求证：． 【变式5-1】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：． 【变式5-2】如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：． 【变式5-3】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）． 重难点六 求距离、长度 【例11】如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知线段AB在平面内，线段，线段，且与所成的角是，如果，求C，D间的距离． 【变式6-1】如图，已知平行六面体中， ，，.为的中点，则长度为 .    【变式6-2】如图，在平行六面体中，，M是底面的中心，设，则 （用表示），的长度为 ． 【变式6-3】如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为，与的交点为，点在上，且，，，.    (1)用，，表示，； (2)求的长度. 重难点七 求夹角 【例13】点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则 ． 【例14】如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【变式7-1】平行六面体的底面是菱形，，，，线段的长度为，则 ． 【变式7-2】如图，正四面体的高的中点为，的中点为.    (1)求证：，，两两垂直； (2)求. 【变式7-3】如图，在三棱锥中，，，点M，N分别是，的中点 (1)求的值； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 一、单选题 1．已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，平行六面体的各棱长均为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 7．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ） A．，，一定能构成空间的一个基底 B．，，两两共面，但，，不可能共面 C．有且仅有一对实数，，使得 D．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 8．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 三、填空题 9．如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 10．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 11．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 四、解答题 12．已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 13．在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量，，表示； (2)求与的夹角. 14．如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 15．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$