专题01 命题、定理、定义重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题01 命题、定理、定义重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 命题的概念 题型二 判断命题的真假 题型三 指出命题的条件和结论 题型四 己知命题的真假求参数 知识点01 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点02 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【经典例题一 】命题的概念 【例1】（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 1．（21-22高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【经典例题二 】判断命题的真假 【例2】（23-24高三下·福建厦门·强基计划）对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 1.（20-21高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·上海·课前预习）要判断命题“若，则”是假命题，只要 一个满足条件，但是不满足结论的对象就可以了．要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明 满足条件的对象都满足结论． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【经典例题三 】指出命题的条件和结论 【例3】（2021高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 1．（20-21高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 2．（21-22高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 3．（2023高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【经典例题四 】己知命题的真假求参数 【例4】（21-22高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 1．（19-20高一·全国·课后作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 2．（22-23高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若p，q一真一假，求实数的取值范围. 1．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 3．（20-21高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 4．（17-18高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 6．（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·湖南衡阳·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A．对任意恒成立，则 B．若函数，且满足对任意的实数都有成立，则 C．函数的最大值是 D．若函数在区间上的最小值为，则 8．（19-20高二下·山东枣庄·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象过点，则 B．命题：“，”，则的否定为“，” C．“”是“”的充分不必要条件 D．若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件 9．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 10．（22-23高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 11．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 12．（21-22高一·全国·单元测试）已知全集为U，P⊈U，定义集合P的特征函数为，对于A⫋U，B⫋U，给出下列四个结论： ①对∀x∈U，有； ②对∀x∈U，若A⫋B，则fA（x）≤fB（x）； ③对∀x∈U，有fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）； ④对∀x∈U，有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）． 其中，正确结论的序号是 ． 13．（19-20高二下·北京·期末）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 14．（20-21高一上·宁夏·阶段练习）下列说法正确的是 .（填序号） ①空集是任何集合的真子集； ②函数的值域是，则函数的值域是； ③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若，则. 15．（2017·全国·二模）下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①已知，“且”是“”的充分条件； ②已知平面向量，，“且”是“”的必要不充分条件； ③已知，“”是“”的充分不必要条件； ④命题：“，使且”的否定为“，都有且”． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 18．（18-19高一·全国·课后作业）已知：集合，，：．若，求实数的取值范围． 19．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）课上我们学习了“”符号和数学上陈述句一些常用的否定形式 ，实际上“若，则”为假命题可以表述为“至少存在特例满足性质，使”，即我们常说的举反例． (1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假： ①任何集合都不是空集的子集；②若，则； (2)其他教材中有这样一种新命题的表述： 如果把命题“若，则”称为原命题，那么将其结论的否定作为条件，将其条件的否定作为结论，可以得到一个新命题“若，则”，我们称新命题为原命题的逆否命题．并且有一个非常强有力的结论：原命题与它的逆否命题是同真或同假的．请综合利用上述知识证明：对于正实数，若，则； (3)证明：原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题． 20．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 命题、定理、定义重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 命题的概念 题型二 判断命题的真假 题型三 指出命题的条件和结论 题型四 己知命题的真假求参数 知识点01 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点02 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【经典例题一 】命题的概念 【例1】（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 1．（21-22高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【答案】答案见解析 【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，进行判断，再寻找关系. 【详解】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题． （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题． 【经典例题二 】判断命题的真假 【例2】（23-24高三下·福建厦门·强基计划）对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 【答案】D 【分析】举反例可以排除A、B选项，逻辑推理可以排除C. 【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，命题p为真命题，但命题q为假命题，故A错误； 对B选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，满足p真，则q真，所以q假为假命题，则p假也是假命题， 令命题m：“q为假命题”是一个假命题，命题n：“p为假命题”是一个假命题， 那么“若q假，则p假”等价于“若m真，则n真”，参考A选项，可知B错误； 对C选项，若“p真且q真”为假命题，则p可能为假；故C错误； 对D选项，若p真,则p与q的真假分以下两种情况：p真或q真，p真或q假，这两种情况p或q均为真，故D正确， 故选：D. 1.（20-21高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 2．（24-25高一上·上海·课前预习）要判断命题“若，则”是假命题，只要 一个满足条件，但是不满足结论的对象就可以了．要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明 满足条件的对象都满足结论． 【答案】 存在 所有 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】（1）根据平行四边形、菱形的定义与性质分析判断； （2）根据全等三角形的性质分析判断； （3）根据一元二次方程的解分析判断； （4）根据平行线的性质分析判断. 【详解】（1）真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）假命题，例如边长为3，3，4和4，4，2，周长均为10，但三角形不全等. （3）假命题，由方程，解得或， 显然或不能得出，例如. （4）真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 【经典例题三 】指出命题的条件和结论 【例3】（2021高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【答案】A 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 1．（20-21高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【答案】B 【分析】将命题改写成“如果…，那么…”的形式，结合命题的相关概念即可得解. 【详解】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”， “如果”后面的部分是条件，即两个数只有符号不同是原命题的条件． 故选：B. 2．（21-22高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空. 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 3．（2023高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】利用命题“若，则”的定义即可得解. 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 【经典例题四 】己知命题的真假求参数 【例4】（21-22高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意求出的取值范围，判断选项 【详解】由题意得，，解得 故选：D 1．（19-20高一·全国·课后作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 【答案】D 【分析】利用不等式的解法和命题的否定即可得出. 【详解】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}， 又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<. 故选：D 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系，属于基础题. 2．（22-23高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若p，q一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可 （2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为为真命题， 所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，解得， 所以的取值范围； （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而， 所以，故； 因为一真一假， 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以的取值范围为. 1．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 3．（20-21高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】D 【分析】将A中的命题写成“若p，则q”的形式可判断选项A是错误的；根据命题的定义可判断选项B是错误的；根据菱形的定义可判断选项C是错误的；根据命题的定义可判断D. 【详解】命题“直角相等”，写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的； 语句“当时，方程有实根”是陈述句，而且可以判断真假，所以选项B是错误的； 选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”； 选项D，当时，方程成立，所以是真命题. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，属于基础题. 4．（17-18高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 【答案】D 【分析】将其改写为“若p，则q”的形式，从而判断A；根据命题的定义判断B；举反例判断C，D； 【详解】对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误； 对于B，所给语句是命题，则B错误； 对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误； 对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了命题的概念以及判断命题的真假，属于中档题. 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 6．（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件. 【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得， 命题“，或”为真命题，则或， 所以或或，显然，B，D选项中的区间为的子集． 故选：BD． 7．（21-22高一上·湖南衡阳·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A．对任意恒成立，则 B．若函数，且满足对任意的实数都有成立，则 C．函数的最大值是 D．若函数在区间上的最小值为，则 【答案】BC 【分析】分别根据对勾函数、函数的单调性、二次函数的最值、区间上的最值对每一个选项求解即可判断. 【详解】对于选项A，因为，有，由对勾函数可知，在上单调递增，所以，所以，故A不正确； 对于选项B，由可知在上单调递增，所以有，故B正确； 对于选项C，，故其是大值为，选项C正确； 对于选项D，在区间上要有最小值，其区间为开区间， 所以，解得， 又因为，即，故不满足题意的值，故D不正确. 故选：BC 8．（19-20高二下·山东枣庄·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象过点，则 B．命题：“，”，则的否定为“，” C．“”是“”的充分不必要条件 D．若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义与性质，可判定A不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B是正确的；根据对数函数的性质和充分、必要条件的判定，可得C上正确的；根据事件的关系，可判定D不正确. 【详解】对于A中，设幂函数，因为幂函数的图象过点，可得， 解得，所以，则，所以A不正确； 对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题：“，”，则的否定为“，”，所以B是正确的； 对于C中，由，则，即，所以， 所以充分性是成立的； 反之：例如：当，可得，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C上正确的； 对于D中，若与是相互独立事件，则与不一定相互独立事件，所以D不正确. 故选：BC. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到幂函数的图象与性质，全称命题与存在性命题的关系，对数函数的性质，以及事件的关系等知识点的应用，属于中档试题. 9．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【答案】ABC 【分析】由几何，代数知识判断相应选项正误即可. 【详解】A 选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误; B选项，当，时，，则B错误. C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误. D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确. 故选：ABC 10．（22-23高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 11．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 【答案】3 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 12．（21-22高一·全国·单元测试）已知全集为U，P⊈U，定义集合P的特征函数为，对于A⫋U，B⫋U，给出下列四个结论： ①对∀x∈U，有； ②对∀x∈U，若A⫋B，则fA（x）≤fB（x）； ③对∀x∈U，有fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）； ④对∀x∈U，有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）． 其中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用特殊值法，先设出特殊的集合U，A，B，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案． 【详解】解：利用特殊值法进行求解． 设U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{1，2}．那么： 对于①有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，（1）＝0，（2）＝1，（3）＝1．可知①正确； 对于②有fA（1）＝1＝fB（1），fA（2）＝0＜fB（2）＝1，fA（3）＝fB（3）＝0可知②正确； 对于③有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∩B（1）＝1，fA∩B（2）＝0，fA∩B（3）＝0．可知③正确； 对于④有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∪B（1）＝1，fA∪B（2）＝1，fA∪B（3）＝0可知．④不正确； 故答案为：①②③． 13．（19-20高二下·北京·期末）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 【答案】①②③ 【解析】举出反例可判断①②③，按照、分类，即可判断④，即可得解. 【详解】对于①，由，可得，故①为假命题； 对于②，由，可得，故②为假命题； 对于③，由，可得，故③为假命题； 对于④，当时，，， 此时满足； 当时，，， 此时满足；故④为真命题； 故答案为：①②③. 【点睛】解决本题的关键是准确理解题目中的概念，举出合理反例、合理分类. 14．（20-21高一上·宁夏·阶段练习）下列说法正确的是 .（填序号） ①空集是任何集合的真子集； ②函数的值域是，则函数的值域是； ③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若，则. 【答案】③④ 【解析】①利用空集的性质判断; ②根据函数平移的性质判断;③通过构造函数结合奇偶性定义判断;④利用并集与交集性质判断. 【详解】对于①，根据“空集是任何非空集合的真子集”，可知①错误; 对于②，函数平移可能改变函数的定义域，但值域不变，即函数f(x)的值域是[-2，2]，则函数f(x+1)的值域为[-2，2]，故②错误; 对于③，例如函数f(x) =0 (x∈R)既是奇函数又是偶函数，当改变函数的定义域为关于原点对称的定义域时，都既是奇函数又是偶函数，因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,故③正确; 对于④，若，则，所以A∩B=A，故④正确; 故答案为：③④ 【点睛】本题主要考查了命题真假性的判断，常运用性质法、定义法、列举法，属于基础题目. 15．（2017·全国·二模）下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①已知，“且”是“”的充分条件； ②已知平面向量，，“且”是“”的必要不充分条件； ③已知，“”是“”的充分不必要条件； ④命题：“，使且”的否定为“，都有且”． 【答案】①③ 【分析】①，由不等式的性质判定；②，利用向量的加法法则判定；③，利用单位圆判定；④，“且”的否定是“或” 【详解】对于①，已知，“且”是“”的充分条件，正确； 对于②，向量的加法法则可知，“且”不能得到“”；“ ”，不能得到，“且”，故错； 对于③，在单位圆上或圆外任取一点，满足“”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“”，在单位圆内任取一点，满足“”，但不满足，“”，故正确； 对于④，命题“，使且”的否定为“，都有或”，故错． 故答案为：①③ 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质，考查向量的运算，考查命题的否定，属于中档题． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）利用一元二次方程有解的条件求解即可. （2）举反例判断即可. 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【分析】（1）利用命题的定义判断即可. （2）利用命题的定义判断即可. （3）利用命题的定义判断即可. （4）利用命题的定义判断即可. （5）利用命题的定义判断即可. （6）利用命题的定义判断即可. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 18．（18-19高一·全国·课后作业）已知：集合，，：．若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据给定条件对a的取值进行分类讨论，结合集合的包含关系即可计算作答. 【详解】依题意，，即，解得， 当时，则有，解得，有成立，于是有， 当，即时，由得：，解得， 综上得：， 所以实数的取值范围是. 19．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）课上我们学习了“”符号和数学上陈述句一些常用的否定形式 ，实际上“若，则”为假命题可以表述为“至少存在特例满足性质，使”，即我们常说的举反例． (1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假： ①任何集合都不是空集的子集；②若，则； (2)其他教材中有这样一种新命题的表述： 如果把命题“若，则”称为原命题，那么将其结论的否定作为条件，将其条件的否定作为结论，可以得到一个新命题“若，则”，我们称新命题为原命题的逆否命题．并且有一个非常强有力的结论：原命题与它的逆否命题是同真或同假的．请综合利用上述知识证明：对于正实数，若，则； (3)证明：原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）由题意举出反例即可； （2）证明对于正实数，若，则即可； （3）利用所给信息及反证法可证明结论. 【详解】（1）①存在集合，使得A是空集的子集， 故任何集合都不是空集的子集为假命题； ②存在，满足，但是； 故若，则为假命题. （2）转化为证明其逆否命题：对于正实数，若，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以即，证毕， 因此原命题：对于正实数，若，则为真命题； （3）①“若，则”真， 假设“若，则”假，那么至少存在特例满足性质，使， 由于，所以至少存在特例满足性质，使，有，矛盾，故假设不成立，即“若，则”真； ②“若，则”假， 假设“若，则”真，那么至少存在特例满足性质，使， 由于，所以至少存在特例满足性质，使，有，矛盾，故假设不成立，即“若，则”假； 综上所述，原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题 20．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】分别求出当命题、为真命题时，实数的取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 学科网（北京）股份有限公司 $$