精品解析：湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题

名校联考联合体2025届新高三年级入学模底考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知向量，若，则等于（ ） A. 9 B. 3 C. -1 D. -3 2. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为13 C. 平均数不变 D. 方差变小 10. 已知定义在区间上的函数，其中 ，若函数恰有两个极值点，设其极大值､极小值分别记为.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 实数的取值范围为 C. D. 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（ ） A. 若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为 B. 若是动点，则的值恒为2 C. 若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若是动点，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________. 13. 已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为__________. 14. 某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 10 20 30 40 天数 3 6 15 6 该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为__________.（以样本估计总体，将频率视为概率） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期国务院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代 1 2 3 4 5 产值（百亿元） 16 20 27 30 37 （1）求出关于的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值； （2）该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量，求的分布列和数学期望. 参考公式：； 参考数据：. 16. 已知抛物线 的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于两点，且，点 为线段的垂直平分线与轴的交点，求点 的横坐标的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，. （1）证明：平面 平面； （2）求锐二面角的余弦值. 18. 已知函数 . （1）求的单调区间； （2）设函数.证明： （i）函数有唯一极值点； （ii）若函数有唯一零点，则 . 19. 给定整数，数列，且，为整数.在中去掉一项，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值. （1）已知数列，写出的值及的特征值； （2）若，当，其中，且 时，证明：； （3）已知数列的特征值为 ，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体2025届新高三年级入学模底考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知向量，若，则等于（ ） A. 9 B. 3 C. -1 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直利用数量积的坐标表示解方程可得结果. 【详解】因为，所以，得. 故选：C. 2. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数 的取值范围为. 故选：B. 3. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数 的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再根据纯虚数概念得解. 【详解】由已知，复数为纯虚数， 所以得. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式代入计算可得结果. 【详解】因为，又， 则可得. 所以， 故选：A. 5. 已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线公式求出 ，再求出 ，再用离心率公式求解即可. 【详解】依题意可知双曲线 的渐近线为，从而，即 ， 所以，所以 的离心率. 故选:B. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理和两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，得， 所以，即， 因为，所以， 所以，或，所以 ，或（舍）， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为 . 故选：C. 8. 如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点得到正六边形，当圆锥的底面与正六边形相内切时，圆锥的底面积最大，求出此时底面积，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】如图所示，取的中点，记为，， 根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点在正六边形的中心，且 平面， 当圆锥底面内切于正六边形时该圆锥的底面积最大， 设此时圆锥底面圆半径为，因为，所以， 所以，圆锥底面积为，圆锥顶点为处， 圆锥体积. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是由正方体的性质确定圆锥底面面积最大值，根据正六边形的性质求出圆锥的底面半径. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为13 C. 平均数不变 D. 方差变小 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确； 当时，数据按从小到大顺序排列：. 因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数15，故B错误； 由于，故， 原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确； 原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知定义在区间上的函数，其中 ，若函数恰有两个极值点，设其极大值､极小值分别记为.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 实数 的取值范围为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出，根据正弦函数性质判断选项A； 结合单调性和条件，列不等式组求解即可判断B； 利用导数确定函数的极值点，结合的对称性，得到，判断选项C，D. 【详解】因为，其中，则， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项A正确； 因为在上单调递减，在上单调递增， 因为在上有两个极值点，且， 所以，解得，所以选项B正确； 因为存在，使得， 当或时，；当时，. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 又因为函数的图象关于直线对称，则， 所以 .所以选项C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆 上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（ ） A. 若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆 的标准方程为 B. 若是动点，则的值恒为2 C. 若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若是动点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆性质以及的面积可得A正确；设可得，利用并结合椭圆方程可得B正确；由椭圆范围可得可得离心率，即C错误；由椭圆定义可得的取值范围为，即D正确. 【详解】对于A，若点是椭圆的短轴顶点，则，又， 所以 ，所以椭圆 的标准方程为，故选项A正确； 对于B，设，由题意可知①， 因为，所以，即②，又 ③， 由②③及得，又由①知，所以 .故选项B正确； 对于C，由②③得，所以，从而，故. 所以椭圆的离心率，故选项C错误； 对于D，由椭圆定义可得，即的取值范围为，即选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率等范围问题经常利用椭圆定义以及椭圆性质得出关系式，再由变量自身范围即可得出结论. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据向左平移得出的解析式，再求函数值即可. 【详解】由已知得， 所以. 故答案为：1. 13. 已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质以及函数单调性限定出不等式取值范围可得结论. 【详解】因为是奇函数，所以等价于， 又函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即 的取值范围为. 故答案为： 14. 某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 10 20 30 40 天数 3 6 15 6 该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为__________.（以样本估计总体，将频率视为概率） 【答案】#0.19 【解析】 【分析】根据全概率公式进行计算. 【详解】由题设第一天营业结束后不补货的情况为事件销售10件}， 补货的情况为事件销售20件，30件，40件， 所以， 令事件第二天营业结束后货架上有20件存货， 则， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期国务院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代 1 2 3 4 5 产值（百亿元） 16 20 27 30 37 （1）求出关于的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值； （2）该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量，求的分布列和数学期望. 参考公式：； 参考数据：. 【答案】（1），62.4百亿元. （2）分布列见解析，50（万元）. 【解析】 【分析】（1）先依次求出以及，最后求出即可得线性回归方程，代入即可预测； （2）随机变量的可能取值为，求出对应的概率即可得分布列，结合期望公式即可求解期望. 【小问1详解】 . 所以， 所以关于的经验回归方程为， 当时，， 故明年3月份该企业的产值约为62.4百亿元. 【小问2详解】 由题设随机变量的可能取值为，， ， . 随机变量的分布列如下表： 30 40 50 55 65 80 0.09 0.30 0.25 0.12 0.20 0.04 （万元）. 16. 已知抛物线 的焦点为，点在抛物线 上，且. （1）求抛物线 的标准方程； （2）抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线 于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程并利用焦半径公式可得 ，求出抛物线 的标准方程； （2）设出直线方程并与抛物线联立，利用韦达定理表示出点的横坐标，结合函数单调性以及可得结果. 【小问1详解】 因为在拋物线 上，所以， 得； 因为，所以，即，解得 ， 所以抛物线 的标准方程为 . 【小问2详解】 易知抛物线的准线为，则可得； 设，由可得， 如下图所示： 设直线，代入到 中得 ， 所以，即可得，联立两式并整理可得， 又 由可得递增，即有，即， 又中点坐标为， 可得直线的垂直平分线的方程为， 令，可得， 所以点的横坐标的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，. （1）证明：平面 平面； （2）求锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三棱柱性质以及边长关系可得为正方形，所以 ；再利用勾股定理以及面面垂直的判定定理即可证明出结论； （2）以 为原点建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量为，易知平面的一个法向量为，可得锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 设，因为， 由余弦定理可得，即； 可得四边形为正方形，所以 ， 且，又是侧棱的中点，连接， 因为，又，则， 因为为的中点，所以， 由平面，且，可得 平面， 又因为 平面， 可得平面 平面. 【小问2详解】 由直棱柱的性质与已知，得， 以 为原点，以垂直于平面的直线，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，可得，且是中点， 则. 可得， 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 由（1）可知平面的一个法向量为， 可得， 所以锐二面角的余弦值为. 18. 已知函数 . （1）求的单调区间； （2）设函数.证明： （i）函数有唯一极值点； （ii）若函数有唯一零点，则 . 【答案】（1）减区间是，增区间是. （2）（i）证明如下： 因为 的定义域为， 所以 ， 设 ，则 ，当时， ，所以单调递增， 当 时， ，所以单调递减，所以 ， 所以 ，即， 所以 ，又 ， 所以存在唯一的，使得 ，即 ， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数有唯一极值点. （ii）证明如下： 由（i）得，因为函数有唯一零点，所以 ， 所以， 即 ，所以 ， 设，所以 ， 所以在单调递减， 因为 ，所以 . 【解析】 【分析】（1）利用函数导数求解函数单调性；（2）利用导数证明极值点和零点所在范围. 【小问1详解】 由函数 可得：，且， 当时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增， 所以函数减区间是，增区间是. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 给定整数，数列，且，为整数.在中去掉一项，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值. （1）已知数列，写出的值及的特征值； （2）若，当，其中，且 时，证明：； （3）已知数列的特征值为 ，求的最小值. 【答案】（1），1 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分情况分类求和即可证明； （3）由已知的特征值结合（2）的结论，累加法求和得出差的绝对值的和的最小值即可. 【小问1详解】 由题知：， 的特征值为1. 【小问2详解】 由于， ①当时，根据定义可知 ， 同理可得：. 所以，所以； ②当时，同理可得： ， ， 所以，所以. 综上有：. 【小问3详解】 不妨设， 显然，， ， 当且仅当时取等号； ， 当且仅当时取等号； 由（2）可知的较小值为 ， 所以， 当且仅当时取等号， 此时数列为常数列，其特征值为0，不符合题意， 则必有. 当时， 因为. 所以. 因此 . 当时，可取到最小值，符合题意. 所以.最小值为. 【点睛】方法点睛：应用（2）及不等关系结合累加法得出差的绝对值的和的最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $