精品解析：江苏省扬州市宝应县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

江苏省扬州市宝应县2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四幅作品，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列二次根式中的最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A、不是最简二次根式，错误； B、不是最简二次根式，错误； C、不是最简二次根式，错误； D、是最简二次根式，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，4 C. 4，5 D. 5，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数．将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列：3，4，5，5，7． 则这组数据的中位数为5， 5出现次数最多，则众数为5， 故选：D． 4. 在一个不透明的袋中装有2个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出总数，然后即可求出白球的个数． 【详解】解：根据题意知，袋中球的总个数约为（个）， 所以袋中白球的个数约为（个）， 故选：C． 5. 整数a满足，则a的值为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：， ． 故选：C． 6. 已知点是反比例函数图象上的两个点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象经过第一、三象限 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，平行四边形与平行四边形全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在上，F在上，C在上．若，，则四边形的周长为何？（　　） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等形的性质等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．根据全等形和平行四边形的性质可得，则，再根据线段的和差可得，最后根据四边形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵平行四边形与平行四边形全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的周长， 故选：A． 8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁， 过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， 、乙、、丁在反比例函数图像上， 根据题意可知优秀人数，则 ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 10. 若分式的值为0，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．熟知分式值为0的条件是分母不为0分子为0是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是_____． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，根据“方差越小，这组数据的波动性越小，即这组数据越集中，数据越稳定，”进行判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴测试成绩最稳定的是丁． 故答案为：丁． 12. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，把黑色方砖的面积除以总面积，即可作答． 【详解】解：∵总面积为15块方砖的面积，且每个其中方砖的面积是相等的，黑色方砖有5块， ∴小球停在黑色方砖的概率为， 故答案为： 13. 在某公司的一次招聘中，甲的成绩如下表所示（单位：分）．若将材料、笔试和面试的成绩按的比计算平均成绩，则甲的平均成绩为______分． 应试者 材料 笔试 面试 甲的成绩 80 85 90 【答案】85.5 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：由题意可得： 平均成绩（分）． 故答案为：． 14. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 15. 如图，在中，对角线相交于点，过点作于点，连接．若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据平行四边形的性质，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：5 16. 将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ACB=26°，则∠ACD=____. 【答案】128°. 【解析】 【分析】如图，延长DC到F，根据折叠性质可得∠ACB=∠BCF，继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°，从而可得∠ACF=52°，再根据平角的定义即可求得答案. 【详解】如图，延长DC到F， ∵矩形纸条折叠， ∴∠ACB=∠BCF， ∵AB∥CD， ∴∠BCF=∠ABC=26°， ∴∠ACF=52°， ∵∠ACF+∠ACD=180°， ∴∠ACD=128°， 故答案为128°. 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 17. 如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，设的图象与x轴的交点为C，连接，求得点C的坐标，即可求得，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得k即可． 【详解】解：设的图象与x轴的交点为C，连接， 令，则， ， ， ∵直线与直线平行， ， ， 把代入，求得， ， ∵反比例函数的图象过点A， ， 故答案为：． 18. 若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了方程的整数解问题，由题意，令，则，可得，由m是正整数，且整数，推出时，，时，，由此即可解决问题．解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令从而使得用表示的代数式不含根式是解题的关键． 【详解】解：由题意，令，则， ∴， ∵m是正整数，且整数， ∴时，， 时，， ∴正整数m的所有取值的和为15， 故答案为：15． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 化简或计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法，然后计算加减即可； （2）将分式的除法转换为乘法，然后计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 21. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，收集数据（百分制）进行整理如下： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩是：74，79，80，83，88，88，90，90，90，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 中位数 众数 七年级 87 b 八年级 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）分别求七年级、八年级这10名学生的竞赛成绩的平均数，并根据已有统计数据分析你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）88，87 （2）七年级竞赛成绩的平均数为86，八年级竞赛成绩的平均数为86，八年级学生数学文化知识较好，见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b； （2）从中位数、众数的角度比较得出结论． 【小问1详解】 解：被抽取八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列， 排在中间的两个数分别为88，88， 故中位数， 在被抽取的七年级10名学生的竞赛成绩中，87分出现的次数最多， 故众数， 故答案为：88，87； 【小问2详解】 七年级这10名学生的竞赛成绩的平均数， 八年级这10名学生的竞赛成绩的平均数， 八年级学生数学文化知识较好， 理由：因为平均成绩一样，但八年级学生成绩的中位数和众数均高于七年级，所以八年级学生数学文化知识较好． 22. 不负韶华梦，读书正当时！某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 ． （2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及《红楼梦》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4部名著， ∴随机选择1部为《西游记》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 23. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得，，从而可得结论； （2）先证明，再求解， 结合对折的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠， 则，． 在△DAF和△ECF中， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键． 24. 某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆，A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ 【答案】A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设B型汽车的进价为x每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可 【详解】解：设B型汽车的进价为x每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 则 故A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元． 25. 如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，． （1）求证：； （2）若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）4秒，见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据矩形的性质，结合已知条件，证明，进而即可得证； （2）设点运动秒，四边形是菱形，根据菱形的性质可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设点运动秒，四边形是菱形， 四边形是菱形 ， ， ， ，即， ，即， 点运动秒，四边形是菱形． 26. 我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． （1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； （2）请你尝试化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； 本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． 【小问1详解】 解： 的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ． 27. 小明家饮水机中原有水温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】（1） （2） （3）饮水机内水温约为，共有6次达到 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； 【小问2详解】 在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； 【小问3详解】 由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D在边上从点C运动到点B，以为边作正方形，连、，在点D运动过程中，请探究以下问题： （1）若为直角三角形，求此时正方形的边长； （2）的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由； （3）设，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）不会改变， （3）当时， 【解析】 【分析】（1）根据条件，若为直角三角形，正方形的对称中心为点B，点A、B、E在同一直线上，点D、B、F在同一直线上，利用勾股定理求解即可； （2）过点F作，交的延长线于H，根据矩形的性质可得，且，证明，可得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）由全等三角形的性质可得，，可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为直角三角形， ∴正方形的对称中心为点B，点A、B、E在同一直线上，点D、B、F在同一直线上， ∵， ∴正方形边长． 【小问2详解】 解：的面积不会改变， 如图，过点F作，交的延长线于H， ∵矩形的顶点B坐标为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，且， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，如图，过点E作于H， 同理（2）可知 ∴，，且， ∴，， ∴， 当时，如图，过点F作于H，连接， 同理可得：，， ∴， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省扬州市宝应县2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四幅作品，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中的最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，4 C. 4，5 D. 5，5 4. 在一个不透明的袋中装有2个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知点是反比例函数图象上的两个点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形与平行四边形全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在上，F在上，C在上．若，，则四边形的周长为何？（　　） A 21 B. 20 C. 19 D. 18 8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 10. 若分式的值为0，则_____________． 11. 甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是_____． 12. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 13. 在某公司的一次招聘中，甲的成绩如下表所示（单位：分）．若将材料、笔试和面试的成绩按的比计算平均成绩，则甲的平均成绩为______分． 应试者 材料 笔试 面试 甲的成绩 80 85 90 14. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 15. 如图，在中，对角线相交于点，过点作于点，连接．若，则的长为______． 16. 将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ACB=26°，则∠ACD=____. 17. 如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为_____． 18. 若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 化简或计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，收集数据（百分制）进行整理如下： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩是：74，79，80，83，88，88，90，90，90，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 中位数 众数 七年级 87 b 八年级 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）分别求七年级、八年级这10名学生的竞赛成绩的平均数，并根据已有统计数据分析你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由．（写出一条理由即可） 22. 不负韶华梦，读书正当时！某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 ． （2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 23. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆，A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ 25. 如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，． （1）求证：； （2）若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由． 26. 我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． （1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； （2）请你尝试化简：． 27. 小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（）与开机时间x（分）函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D在边上从点C运动到点B，以为边作正方形，连、，在点D运动过程中，请探究以下问题： （1）若为直角三角形，求此时正方形的边长； （2）的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由； （3）设，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$