精品解析：吉林省长春市朝阳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度（下学期）期末质量监测·八年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟．注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，掌握分子等于零且分母不等于零是解题的关键．根据分式值为零的条件可得：，且，解答即可． 【详解】解：分式的值为0 ，且 时，原分式值为0 故选：B． 2. 2024年5月中旬，长春牡丹园牡丹花竞相开放，国色天香．某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解： 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意，分别把各点的坐标代入进行验证即可． 【详解】解：根据题意，， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 4. 一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表： 型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量/双 3 5 10 15 8 3 2 鞋店经理最关心哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量最有意义的是（ ）． A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数． 【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：B． 【点睛】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用，解题关键是对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 5. 在平面直角坐标系中，若将直线向上平移2个单位长度得到直线，则直线对应的函数关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减”的法则解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度得到直线，则直线对应的函数关系为， 即． 故选：B． 6. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列四个结论： ①四边形的周长不变；②四边形的面积有变化；③；④；其中一定正确的是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故③符合题意； 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故①、④不符合题意，②符合题意； 故选：D． 7. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O．将沿着射线的方向平移线段的长度得到，点A、O的对应点分别为点D、E．则四边形的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质和勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和平移的性质，可以得到、、、的长，然后即可求得四边形的周长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， 在中 ， ， 将沿着射线的方向平移线段的长度得到， ， ，， ， 四边形的周长为． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，再根据的面积为6得，由此即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：设与轴交于点，如下图所示： 轴于点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 的面积为6， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂，先化简零次幂、负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解： 故答案为：3 10. 学校有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为，甲、乙两队方差分别为和，则身高较整齐的球队为________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】此题考查了方差的意义，根据方差越小稳定性越好、差别越小进行判断即可． 【详解】∵甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为，甲、乙两队方差分别为和，即， ∴身高较整齐的球队为甲队， 故答案为：甲 11. 如图，在平面直角坐标系，为坐标原点，的顶点、顶点的坐标分别为、，则顶点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的对边平行且相等确定答案即可．本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对边平行且相等，难度不大． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， 顶点、顶点的坐标分别为、， ， 点的坐标为：， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线与直线交于点．则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想即可解决问题，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，由交点即可得出不等式的解集． 【详解】解：根据图象可得当时，， 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E为边上一动点（不与点A、B重合），于点F，于点G，连接，若，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定和性质，连接，得到矩形，可得，当时，取最小值，此时的值最小，由此可解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ，， ． ，，， 四边形是矩形， ， 当时，取最小值，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为正方形面积的； ④． 上述结论中，所有正确的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判定；②由得，据此可对结论②进行判定；③由得，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论③进行判定；④由结论②正确得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论④进行判定，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， 故结论②正确； ③由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ∴， ∴，故结论③正确； ④结论②正确得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，为斜边， ， ， ， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键在于分式加减乘除法则的运用，其次注意计算仔细即可． 首先计算括号，计算除法，继而化简分式，最后将代入化简后的式子求解． 【详解】解：原式． 当时，原式． 16. 已知y与x成正比例且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点在此函数的图象上，求a的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数的关系式； （2）把点代入即可求得的值． 【小问1详解】 解：与成正比例， 设，把，代入，得． 解得：． 故与的函数关系式为． 【小问2详解】 把点代入得：， 解得：． 【点睛】本题考查正比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数从而求得其解析式．把所求点代入即可求出的值． 17. 某中学在“五·四”青年节来临之际，购进A、B两种运动衫共88件，已知购买A、B两种运动衫的费用都是2400元，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．求B种运动衫的单价． 【答案】B种运动衫的单价是50元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设B种运动衫单价是x元，A种运动衫单价为元，故种运动衫购买数量为，种运动衫购买数量为，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结果． 【详解】解：设B种运动衫单价是x元． 由题意，得． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：B种运动衫的单价是50元． 18. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画矩形，使其面积为3． （2）在图②中画正方形． （3）在图③中画，使其面积为10． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可； （2）根据正方形的判定作出图形； （3）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 本题考查作图应用与设计作图，平行四边形判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【小问1详解】 解：如图①中，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，四边形即为所求． 19. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 20. 小刚在今年的全校篮球联赛中表现优异，下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的得分统计（其中得分、篮板、失误的单位均是分）． 场次 对阵甲队 对阵乙队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 21 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 31 15 0 第三场 24 14 3 16 12 4 第四场 26 10 5 2 8 2 平均值 11 3 18.5 13 2 （1）小刚在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 ． （2）小刚在这8场比赛的篮板统计中，众数是 分，中位数是 分． （3）如果规定综合得分为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，通过计算说明小刚在对阵哪一个队时表现更好． 【答案】（1）25 （2）10，11 （3）小刚在对阵甲队时表现更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）根据众数，中位数的概念求解即可； （3）根据“综合得分”的计算方法求出小刚在对阵甲队和乙队时的得分，然后比较求解即可． 本题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，掌握以上计算方法是关键． 【小问1详解】 解： ， 小刚在对阵甲队时的平均每场得分的值是25． 故答案为：25； 【小问2详解】 解：在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多， 众数是10， 从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17， 在中间的两个数为10，12， 中位数为， 故答案为：10；11； 【小问3详解】 解：小刚在对阵甲队时的“综合得分”为：， 对阵乙队时的“综合得分”为：， ， 小刚在对阵甲队时表现更好． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． （1） ． （2）求点E的坐标及四边形的面积． （3）当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）8 （2），四边形的面积为4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出的值即可； （2）根据点为边中点求出点坐标，进而可得出点坐标，由轴，轴可知四边形是正方形，进而可得出其面积； （3）先求出点坐标，再由函数图象可直接得出结论． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：∵点为边中点，， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为， ∵交该函数图象于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴当或时，正比例函数的值大于反比例函数的值． 22. 【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 【答案】感知：；探究：（1）见解析；（2）2；应用：32 【解析】 【分析】感知：由矩形的性质和折叠的性质可得，，，从而得到，，由勾股定理即可求解； 探究：（1）由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，得到，，即可证明；（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求，即可求解； 应用：由勾股定理可求，，推出，从而得到的面积即可求解． 【详解】感知：解：四边形是矩形 ， 将沿直线翻折得到且 ，， 是等腰直角三角形 故答案为：． 探究：（1）证明：四边形是矩形 ，， 由折叠可得：， ， 和中 （2），， 故答案为：2． 应用：将沿直线翻折得到且 ，， 解得： 四边形的面积 故答案为：32． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． （1）直接写出该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式．并写出自变量x的取值范围． （3）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）该模式下烤制的食物能健康食用，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式为，将点代入函数表达式求解即可； （2）设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间的函数表达式为，将点和点代入函数表达式求解即可，设段的函数表达式为，将点和点代入函数表达式，确定解析式，从而求出求该图象的函数表达式； （3）分别将分别代入两个函数关系式中计算时间，比较判断即可． 【小问1详解】 解：该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式为， 由题意，得，解得：， 故该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与之间的函数关系为． 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x的函数关系式为． 【小问3详解】 解：当时，令，则． 解得：． 当时，令，则， 解得：． ∵， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 24. 如图，矩形中，，，点P、点Q分别在边上，且．连结相交于点M，连结相交于点M． （1）当时，大小为 度． （2）求证：四边形平行四边形． （3）当时，求证：四边形是矩形 （4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写由该菱形的边长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）90 （2）见解析 （3）见解析 （4）当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关判定和性质并分类讨论是解题的关键． （1）证明是直角三角形，是斜边，即可得到答案； （2）证明四边形是平行四边形，得到，则，证明四边形是平行四边形，得到，则，即可得到结论； （3）由（2）可知，四边形是平行四边形；再证是直角三角形，是斜边，则，即可得到结论； （4）分三种情况分别画出图形，并说明理由即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，， ， ∵ ∴． ∴ 在中，由勾股定理得到， 在中，由勾股定理得到， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴ 故答案为：90 【小问2详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，则， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，则 ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：当时，如图1所示， 由（2）可知，四边形是平行四边形； ∵四边形为矩形， ∴，， ， ∵ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 在中，由勾股定理得到， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴ ∴四边形是矩形； 【小问4详解】 解：图中存在菱形时，有以下三种情况： ①当，四边形是菱形，其边长为， 理由如下： ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得到， ∴， 由（2）可知，四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形，其边长为， ②当，四边形是菱形，其边长为，如图3所示， 理由如下：∵，， ∴ 在中，由勾股定理得到， ∴， 由（2）可知，四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形，其边长为， ③当，四边形是菱形，其边长为，如图4， 理由如下： 连接， 在中，由勾股定理得到， ∵，， ∴点P、Q分别是、的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（2）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，边长为， 综上可知，当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下学期）期末质量监测·八年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟．注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. 6 C. D. 2. 2024年5月中旬，长春牡丹园的牡丹花竞相开放，国色天香．某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表： 型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量/双 3 5 10 15 8 3 2 鞋店经理最关心哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量最有意义的是（ ）． A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 在平面直角坐标系中，若将直线向上平移2个单位长度得到直线，则直线对应的函数关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列四个结论： ①四边形的周长不变；②四边形的面积有变化；③；④；其中一定正确的是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 7. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O．将沿着射线的方向平移线段的长度得到，点A、O的对应点分别为点D、E．则四边形的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 10 D. 8 8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：_________． 10. 学校有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为，甲、乙两队方差分别为和，则身高较整齐的球队为________队（填“甲”或“乙”）． 11. 如图，在平面直角坐标系，为坐标原点，的顶点、顶点的坐标分别为、，则顶点的坐标是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线与直线交于点．则关于的不等式的解集为___________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E为边上一动点（不与点A、B重合），于点F，于点G，连接，若，，则的最小值为__________． 14. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为正方形面积的； ④． 上述结论中，所有正确的序号是__________． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知y与x成正比例且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点在此函数的图象上，求a的值 17. 某中学在“五·四”青年节来临之际，购进A、B两种运动衫共88件，已知购买A、B两种运动衫的费用都是2400元，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．求B种运动衫的单价． 18. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画矩形，使其面积为3． （2）在图②中画正方形． （3）在图③中画，使其面积为10． 19. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 20. 小刚在今年的全校篮球联赛中表现优异，下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的得分统计（其中得分、篮板、失误的单位均是分）． 场次 对阵甲队 对阵乙队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 21 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 31 15 0 第三场 24 14 3 16 12 4 第四场 26 10 5 2 8 2 平均值 11 3 18.5 13 2 （1）小刚在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 ． （2）小刚在这8场比赛的篮板统计中，众数是 分，中位数是 分． （3）如果规定综合得分为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，通过计算说明小刚在对阵哪一个队时表现更好． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． （1） ． （2）求点E的坐标及四边形的面积． （3）当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 22. 【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 23. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． （1）直接写出该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式．并写出自变量x的取值范围． （3）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由． 24. 如图，矩形中，，，点P、点Q分别在边上，且．连结相交于点M，连结相交于点M． （1）当时，大小为 度． （2）求证：四边形是平行四边形． （3）当时，求证：四边形是矩形 （4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写由该菱形的边长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $