1.1 等腰三角形同步练 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

第1章 三角形的证明 §1.1等腰三角形（1） 一、选择题 1.如图1，△ABC中，AB =AC，，BD是AC边上的高，则DBC的度数是 ( ) A. B. C. D. 2.如图2，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，，则B的度数为 ( ) A. B． C． D． 3.如图3，△ABC是等腰直角三角形(AB=AC，)，AD是底边BC上的高，点E、F分别在AB、AC上，ED⊥FD于D，BE =3，CF =4，则AD的长度是 ( ) A．5 B．7 C． D． 4．若，则、为边长的等腰三角形的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．4或者5 5. 如图4，在△ABC中，AB =AC，点D在AC 上，且BD=BC=AD，则A的度数为( ) A． B． C． D． 二、填空题 6. (1)等腰三角形的两边分别为5与3，则这个三角形的周长为 ． (2)等腰△ABC中，AB =AC．，= , = 7. (1)等腰三角形一个角为，它的另外两个角为 ． (2)如图5，在Rt△ABC中，AC=BC，延长CA至点D，使AD=AB，连结BD，则 ． 8．如图6，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ． 9. 等腰三角形一个角为，它的另外两个角为 . 10. 如图7，在中，，AB=，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，的度数为 . 三、解答题 11.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE.求证：AD =AE . 12.如图，AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E，求证：AE⊥BC. 13．如图，在△ABC中，AB =AC，，分别以AB、AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BAD=CAE=.(1)求DBC的度数； (2)求证：BD=CE． 14．如图，在△ABC中，AB=BD=AC，AD=CD，求ADB的度数． 15. 已知：如图，在△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE. 求证：DE⊥BC. 思维拓展： 1. 已知，如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，，D是AB的中点，E,F 分别是边AC,BC上的动点（不与端点重合），且DE⊥DF。 （1）求证：AE=CF；（2）问四边形CEDF 的面积是否发生改变？证明你的结论. §1.1等腰三角形（2） 一、选择题 1.如图1，在△ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM +CN =9，则线段MN的长为 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 2.下列给出的几种三角形，其中是等边三角形的个数是 ( ) ①有两个角为的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角是的等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 3. 如图2，在△ABC中, ,ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形( ) A.0个 B .l个 C．2个 D．3个 4.△ABC的三边满足等式，则△ABC的形状是 ( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 5. 如图3所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE =BD;②AG=BF;③FG∥BE;④BOC=EOC，其中正确结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题 6. (1)在△ABC中，AB =BC=6，， 则CA= ． (2)已知、、是△ABC的三边，且，则△ABC的形状是 . 7. (1)如图4，已知，则图中的等腰三角形有 个． (2)如图5，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD =1，连结DE， 则DE= ． 8. 如图6上午10时，一条船从A处出发以20海里 每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，则从B处到灯塔C的距离为 海里． 9. 如图7，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ． 10. 如图8所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是 . 三、解答题 11. 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E．求证：△BDE是等腰三角形． 12. 如图，在等边三角形ABC中，AB =6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE， 求线段DE的长度． 13. 如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA． (1)求证：BE=DC；(2)求∠BOD的度数；(3)求证：OA平分∠DOE. . 14. 如图，正方形ABCD中，以A、B、C、D为顶点，能构成多少个等腰三角形？ 15. 如图，正方形上给定8个点，其中点E、F、G、H是边的中点，以这些点为顶点，能构成多少个等腰三角形？ 拓展延伸： 在中，AC=BC=2，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的三种情况． (1)三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明． (2)三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由． §1.1等腰三角形（3） 一、选择题 1. 如图1，已知直线AB∥CD，, 且AE =AF，则A等于 ( ) A． B． C． D． 2. 如图2，△ABC中，AB=AC=6,BC=8,AE平分BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结 DE， 则△BDE的周长是 ( ) A． B．10 C． D．12 3. 下列四个判断中，正确的有 ( ) ①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A.l个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 已知，点P在AOB的内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则 三点所构成的三角形是 ( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 5. 如图3，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上．沿E'F折叠，使点A落在BC边上点D的位置，且ED⊥BC，则AE的长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6．(1)若三角形中最大角是，那么这个三角形是 ． (2)等边三角形两条高线所夹的锐角的度数是 ． 7．(1)如图4，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△.若，△ABC与重叠部分面积为2，则= ．(2)如图5，在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE,则BCD+CBE= ． 8．如图6，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG =CD，DF=DE，则E= 度． 9．(1)如图7，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE +DF= . (2)如图8，在△ABC中，已知ABC=ACB，BF平分ABC，CF平分ACB，过点F作EG//BC交AB、AC于E、G则等腰三角形有 个. 10.如图9，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内一点，PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点F，PD∥BC交AC于点D，已知△ABC的周长为24，则PD+PE+PF= . 三、解答题 11. 如图，△ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q若BF =2，求PE的长． 12. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，求ABC的度数． 13. 如图，在△ABC中，AB =AC，D是BC边上的中点，，AD =AE，求B的度数． 14. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如DE=DF，则AB =AC.说明理由． 15. 已知，在三角形ABC中，AB=AC，经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形，则A等于多少度？ 拓展延伸： 利用数学事实“三角形两边中点的连线叫作中位线，三角形的中位线平行且等于第三边的一半”解答：如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）． (1)如图①，当点M在点B左侧时，靖你判断EN与MF有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必证明或说明理由， (2)如图②，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由． (3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数星关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由， 学科网（北京）股份有限公司 $$