江苏省苏州中学校2023-2024学年高二下学期期末考前演练数学试卷(一)

江苏省苏州中学2023～2024学年第二学期期末考前演练试卷(一) 高二数学(人教) 导　数 (满分150分，考试时间120分钟) 2024．5 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)的值为(　　) A. 1　　　 B. －1　　　 C. 2　　 D. －2 2. 函数f(x)＝的极小值为(　　) A. 　　 B. －　　 C. 1　　 D. －1 3. 已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为(　　) A. －2　　　 B. －1　　 C. 0　　 D. 2 4. 某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是(　　) A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝ 5. 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1存在最大值1，则a的值为(　　) A. 　　　 B. e　　 C. 1　　 D. 6. 当x∈[1，＋∞)时，函数f(x)＝x3－x2＋a的图象始终在函数g(x)＝x2－3x图象的上方，则实数a的取值范围是(　　) A. (0，＋∞)　　 B. [0，＋∞) C. (－∞，－)　　 D. (－∞，－] 7. 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2>x1)是函数f(x)＝ln |x|图象上的两个不同的点，且在A，B两点处的切线互相垂直，则x2－x1的取值范围是(　　) A. (0，＋∞)　　 B. (0，2)　　 C. [1，＋∞)　　 D. [2，＋∞) 8. 设a＝，b＝ln ，c＝tan ，则(　　) A. c<a<b　　 B. a<c<b C. b<c<a　　 D. a<b<c 二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若x＝b是函数f(x)＝(x－b)(x2＋ax＋b)的一个极小值点，则实数b可能取值为(　　) A. －1　　　 B. 1　　 C. 2　　 D. π 10. 已知函数f(x)＝cos x＋tan x，则下列说法正确的有(　　) A. f(x)是周期函数，最小正周期为π B. f(x)有无数条对称轴 C. f(x)有无数个对称中心 D. f(x)在区间(0，)上是增函数 11. 设函数f(x)＝x ln2x＋x的导函数为f′(x)，则(　　) A．是f(x)唯一的极值点　　 B. f(x)在(，＋∞)上单调递增 C. f′(x)存在唯一的零点　　 D. f′(x)存在唯一的极值点 12. 已知函数y＝f(x)，x∈R是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是函数f(x)的导函数，则(　　) A. f(2 023)＝2　　 B. f(x)的一个周期是4 C. f′(x)是偶函数　　 D. f′(1)＝1 三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若点P在曲线y＝x3－x＋上，则在点P处的切线的倾斜角的取值范围是________． 14. 函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，x∈[0，π]的最小值为________． 15. 已知函数f(x)＝a ln x＋x2(a>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2恒成立，则实数a的取值范围是________． 16. 若a>1，对任意x∈[，＋∞)，不等式4x－ln (3x)≤aex－ln a恒成立，则a的最小值为________． 四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分) 求导：(1) y＝(x2＋2x－1)e1－x；(2) y＝x(x2＋＋)；(3) f(x)＝. 18.(本小题满分12分) 在①f(x)的极大值为6，极小值为2；②f(x)在x＝1处取得极小值2.这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答： 问题：已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且________， (1) 求实数a，b的值； (2) 求过点(0，4)的曲线y＝f(x)的切线方程． 19. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直． (1) 求实数a，b的值； (2) 求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 20.(本小题满分12分) 某分公司经销某种产品，每件产品的成本为30元，且每件产品向总公司缴纳m元的管理费，且m∈[2，5].据经验，预计每件产品的售价为x元时，产品一年的销量为万件． 经过物价部门的核定，每件产品售价不低于35元且不超过41元． (1) 求公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品售价x之间的函数关系式； (2) 求L(x)的最大值g(m)，并求g(m)的取值范围． 21. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x2＋2ln x＋1. (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 若函数g(x)＝f(x)－2ax(a∈R)有两个极值点x1，x2，且x1<x2<e，求g(x1)－g(x2)的取值范围． 22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x3＋|x－a|，a∈R. (1) 若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2) 若函数f(x)在R上不单调， ① 记f(x)在[－1，1]上的最大值、最小值分别为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)； ② 设b∈R，若|f(x)＋b|≤对任意的x∈[－1，1]恒成立，求a－b的取值范围． 江苏省苏州中学2023～2024学年第二学期期末考前演练试卷(一) 高二数学(人教)　参考答案 1. B　解析：由导数定义易得． 2. B　解析：f′(x)＝，画出导函数图象，易知f(x)有极小值f(－2)＝－. 3. A　解析：设切点(x0，ex0＋a)，k切＝ex0＋a，则切线：y－ex0＋a＝ex0＋a(x－x0)与切线：y＝x－1等价，则有ex0＋a＝1，ex0＋a(1－x0)＝－1，解得a＝－2. 4. D　解析：可从函数的零点个数、奇偶性等方面判断． 5. A　解析：若f(x)有最大值，则f′(x)＝中a>0，且f(x)有最大值f()＝1，解得a＝. 6. A　解析：f(x)>g(x)⇔a>－x3＋2x2－3x对任意x≥1恒成立．对右侧三次函数求导后可求得其最大值为f(3)＝0，所以a>0. 7. D　解析：去除绝对值后再求导，分x>0，x<0两种情况，可得x1x2＝－1为定值，再用基本不等式可求值域，x2－x1＝x2＋(－x1)≥2＝2. 8. D　解析：利用对数中的常见不等式结论：ln x>1－(x>0且x≠1)，令x＝.另外，以作为桥梁，且由tan x>x(0<x<1)，可比出另外两数大小． 9. CD　解析：由x＝b是极值点，则f′(b)＝0，求得b(a＋b＋1)＝0；当b≠0时，a＝－b－1，则有f′(x)＝(x－b)·(3x－b－2).要使x＝b为极小值点，则b>，即b>1. 10. CD　解析：f(x)的对称中心有无数个(＋kπ，0)(k∈Z).f′(x)＝－sin x＋，当x∈(0，)时，sinx，cos x∈(0，1)，则>1，即f′(x)>0. 11．BCD　解析：由题可知f(x)＝x ln2x＋x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln2x＋2ln x＋1＝(ln x＋1)2≥0，则f(x)单调递增．故函数f(x)单调递增，故无极值点，故A错误，B正确；因为f″(x)＝2(ln x＋1)·，令f″(x)＝0，则x＝，则f′(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，又f′()＝0，故C，D正确．故选BCD. 12. BC　解析：根据题意，函数满足f(x＋2)＝f(－x)，则f(x＋4)＝f(－x－2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，B正确；而函数f(x)(x∈R)是奇函数，则f(2 023)＝f(－1＋2 024)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，A错误；f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，等式两边同时求导，可得－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，f′(x)是偶函数，C正确；f(x＋2)＝f(－x)，则有f(x＋2)＝－f(x)，等式两边同时求导，可得f′(x＋2)＝－f′(x)，令x＝－1可得，f′(1)＝－f′(－1)，又由f′(x)为偶函数，则f′(1)＝f′(－1)，综合可得f′(1)＝0，D错误．故选BC. 13. [0，)∪[π，π)　解析：∵ tan α＝3x2－1，∴ tan α∈[－1，＋∞).当tan α∈[0，＋∞)时，α∈[0，)；当tan α∈[－1，0)时，α∈[，π).∴ α∈[0，)∪[，π). 14. 0　解析：f′(x)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)，令f′(x)＝0，x＝，当x∈(0，)，f(x)单调递增；当x∈(，π)时，f(x)单调递减．当x＝0或π时，f(x)min＝0. 15. [1，＋∞)　解析：不妨设x1＞x2，不等式＞2等价于f(x1)－2x1＞f(x2)－2x2，设函数g(x)＝f(x)－2x＝a ln x＋x2－2x，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴ g′(x)＝＋x－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥－x2＋2 x，而函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当x＝1时，等号成立，∴ a≥1，∴ 实数a的取值范围是[1，＋∞). 16. 　解析：4x－ln (3x)≤aex－ln a恒成立⇔3x－ln (3x)≤aex－ln a－x⇔3x－ln (3x)≤aex－ln (aex)，令f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－＝，故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∵ a＞1，x∈[，＋∞)，∴ 3x，aex∈[1，＋∞)，故3x≤aex⇔≤a恒成立，令g(x)＝，只需a≥g(x)max，由g′(x)＝，故x＝1时，g(x)的最大值是，故a≥，故a的最小值是. 17. 解：(1) y′＝(3－x2)e1－x　(2) y′＝(x>0) (3) y′＝(10分) 18. 解：(1) 选①②均可解得a＝1，b＝4.检验：当a＝1，b＝4时，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，则当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以，当x＝－1时，f(x)有极大值6，当x＝1时，f(x)有极小值2.综上，a＝1，b＝4.(6分) (2) 设切点(x0，x－3x0＋4)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，所以切线的方程为y－(x－3x0＋4)＝(3x－3)·(x－x0).又切线过点(0，4)，则代入切线方程，解得x0＝0.综上，所求切线方程为3x＋y－4＝0.(12分) 19. (1) 解：由g(1)＝1⇒a＝b， 又f′(x)＝，g′(x)＝－－b， 则f′(1)·g′(1)＝－1⇒a＋b＝－2， 解得a＝b＝－1.(6分) (2) 证明：设h(x)＝f(x)＋g(x)－(x≥1)，则h′(x)＝f′(x)＋g′(x)＋＝1＋＋>0，则h(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0.得证．(12分) 20. 解：(1) L(x)＝(x－30－m)·，x∈[35，41].(3分) (2) L′(x)＝[(31＋m)－x]， 因为m∈[2，5]，则31＋m∈[33，36]. 当2≤m≤4时，31＋m∈[33，35]，则L′(x)≤0，即L(x)在x∈[35，41]上单调递减，则g(m)＝L(x)max＝L(35)＝500e5(5－m)； 当4<m≤5时，31＋m∈(35，36]， 则当x∈[35，31＋m]时，L′(x)≥0，即L(x)在x∈[35，31＋m]上单调递增，当x∈[31＋m，41]时，L′(x)≤0，即L(x)在x∈[35，31＋m]上单调递减，则g(m)＝L(x)max＝L(31＋m)＝500e9－m. 综上，g(m)＝ 而显然g(m)在m∈[2，5]上连续，且单调递减，所以其取值范围是[500e4，1 500e5].(12分) 21. 解：(1) x>0，f′(x)＝2x＋>0，则函数f(x)只有单调增区间(0，＋∞)，无减区间．(3分) (2) g′(x)＝f′(x)－2a＝，因为g(x)在(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2，且x1<x2<e，则且x1＋x2＝a，x1x2＝1，且解得a∈(2，e＋)，则x1∈(，1). 检验： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 正 g(x) 增 极大值 减 极小值 增 则g(x)在x＝x1，x＝x2处取得极值，成立． 而g(x1)－g(x2)＝f(x1)－f(x2)－2a(x1－x2) ＝(x－x)＋2(ln x1－ln x2)－2a(x1－x2) ＝2ln －(x－x) ＝4ln x1－x＋ 设h(x)＝4ln x－x2＋，x∈(，1)， 则h′(x)＝－2x－＝<0， 所以h(x)在(，1)上单调递减，则h(x)∈(0，e2－－4). 综上，所求范围是(0，e2－－4).(12分) 22. 解：(1) 当x≥a时，f(x)＝x3＋x－a，f′(x)＝x2＋1>0，则f(x)在[a，＋∞)上单调递增； 当x<a时，f(x)＝x3－x＋a，则令f′(x)＝x2－1≥0恒成立，则a≤－1. 又f(x)在R上连续，所以，当函数f(x)在R上单调递增时，a≤－1.(4分) (2) ①由(1)知，a>－1. 若－1<a<1，则f(x)在[－1，a]上单调递减，在[a，1]上单调递增，则m(a)＝f(a)＝a3，M(a)＝max{f(－1)，f(1)}， 而f(－1)－f(1)＝(＋a)－(－a)＝2a－， M(a)＝ 若a≥1，则f(x)在[－1，1]上单调递减，则m(a)＝f(1)＝a－，M(a)＝f(－1)＝a＋， 综上，M(a)－m(a)＝ ②－b－≤f(x)≤－b＋对任意的x∈[－1，1]恒成立． 1)当－1<a≤时，⇒≤a－b≤a3＋a＋， 又a3＋a＋∈(－，]，此时a－b∈[，]； 2)当<a<1时，⇒2a≤a－b≤a3＋a＋， 又a3＋a＋∈(，2)，2a∈(，2)，此时a－b∈(，2)； 3)当a≥1时，⇒a－b＝2a≥2， 综上，a－b∈[，＋∞).(12分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$