精品解析：天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷

滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 三角形确定一个平面 D. 一条直线和一个点确定一个平面 3. 某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ） A. 53 B. 52 C. 51 D. 24 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 5. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 7. 从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ） A. 所取的2个球中至多有一个是黑球 B. 所取的2个球中恰有1个黑球1个红球 C. 所取2个球都是红球 D. 所取的2个球中至少有一个红球 8. 某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第80百分位数为93分 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分 D. 测试成绩低于80分的人数为450人 9. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 与共线的单位向量的坐标为或 B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与向量垂直，则 11. 已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ） A 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 12. 《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”， 是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论： ①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形 ②该三棱台的表面积为 ③二面角的正切值为 ④三棱锥的外接球的表面积为 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 已知复数（为虚数单位），则 ___________. 14. 一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________． 15. 已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________． 16. 已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________． 17. 如图，用斜二测画法画水平放置的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________． 19. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________． 20. 在中，，并且满足.（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________. 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知向量满足． （1）求向量的数量积； （2）求向量夹角的余弦值； （3）求的值． 22. 甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率； （1）甲、乙两同学都能通过； （2）甲、乙两同学恰有一人通过； （3）甲、乙两同学中至少有一人通过． 23. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 24. 已知的三个内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积是，求； （3）若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的类型可得答案. 【详解】若复数（是虚数单位）是纯虚数， 则，解得. 故选：A. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 三角形确定一个平面 D. 一条直线和一个点确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误， 四边形存在空间四边形，故选项B错误， 三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确， 当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误. 故选：C. 3. 某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ） A. 53 B. 52 C. 51 D. 24 【答案】D 【解析】 分析】根据极差定义即可得到答案. 【详解】由题意得极差为. 故选：D. 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义直接进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 5. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型公式计算即可. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果有种， 记事件A为“所得点数之和小于4”，有，3种， 则事件A的概率为. 故选：A. 6. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求展开图中扇形的弧长，再由圆心角与弧长和扇形半径的关系求圆心角. 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形， 扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：B. 7. 从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ） A. 所取的2个球中至多有一个是黑球 B. 所取的2个球中恰有1个黑球1个红球 C. 所取的2个球都是红球 D. 所取的2个球中至少有一个红球 【答案】C 【解析】 【分析】先列出试验包含的所有可能结果，再根据互为对立事件的定义进行一一判断即得. 【详解】从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球的结果有“2个红球”，“1个红球1个黑球”2种，事件“1个红球1个黑球”. 对于A，“所取的2个球中至多有一个是黑球”包含“2个红球”，“1个红球1个黑球”，与事件不互斥，故A错误； 对于B，“所取2个球中恰有1个黑球1个红球”即事件，故B错误； 对于C，“所取的2个球都是红球”与事件不能同时发生，且并集为必然事件，故C正确； 对于D，“所取的2个球中至少有一个红球”包含“2个红球”，“1个红球1个黑球”，与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 8. 某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第80百分位数为93分 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分 D. 测试成绩低于80分的人数为450人 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，百分位数的概念，平均数概念，逐个计算判断即可. 【详解】，，选项错误； 的频率为0.25，第80百分位数在中， 估计样本数据的第80百分位数为（分，选项错误； （分，选项错误； 测试成绩低于80分的频率为， 测试成绩低于80分的人数为，选项正确． 故选：． 9. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面关系可判断ACD；线面平行的性质定理可判断B. 【详解】对于A，若，则，或与相交，故A错误； 对于B，如图，过作平面，且，由可得， 因为，，所以，又，所以，故B正确； 对于C，若，则，，与相交，故C错误； 对于D，若，则，，故D错误. 故选：B. 10. 已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 与共线的单位向量的坐标为或 B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与向量垂直，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据与共线的单位向量的定义将两坐标除以模长，取两个方向即得；对于B，根据投影向量的定义计算即得；对于C，设出所求向量，由和联立方程组求解；对于D，由计算即得. 【详解】对于A，由可得，，故共线单位向量的坐标为或，故A正确； 对于B，因在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，设与垂直的单位向量为，则有，解得，或， 即与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误； 对于D，由， 解得.故D正确. 故选：C. 11. 已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 12. 《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”， 是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论： ①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形 ②该三棱台的表面积为 ③二面角的正切值为 ④三棱锥的外接球的表面积为 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，利用线面平行的性质易判断截面为四边形；对于②，先证明，再求三棱台的表面积即可排除②；对于③，结合图形，先证得平面，即可得到二面角平面角，计算即得；对于④，先确定外接球球心所在直线，再利用，列出方程求解即得. 【详解】 对于①，如图1，因平面平面，而平面，故平面， 设过三点的截面为平面，则因是的中点，取的中点为,则, 即平面，连接，则得过三点的平面截该“堑堵”的截面是四边形，故①错误； 对于②，如图2，棱台中，因，而平面, 平面,则 ,又，平面,故平面， 则平面,又平面，则. 因则, 故该三棱台的表面积为 ,故②错误； 对于③，如图3，分别取中点和,连接,因,易得, 又平面,平面,则, 因,平面,故平面， 因平面,则,易得, 因,平面,故平面， 因平面，则,故即二面角的平面角， 易得，故③错误； 对于④，如图4，取中点，连接,显然是的外心，因,易得平面， 故棱锥的外接球球心必在线段上，连,设外接球半径为， 因,在中，,解得，， 故三棱锥的外接球的表面积为，故④正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与堑堵有关的截面形状，二面角及外接球问题，属于难题. 解题思路为，一般通过线面平行或者两个平面的交线寻找截线得到截面；通过证明平面的垂线找到二面角的平面角；通过寻找底面多边形的外心得到外接球球心的大致位置，利用直角三角形或者直角梯形列方程求得外接球半径. 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 已知复数（为虚数单位），则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算得，再计算模即可得答案. 【详解】解：因， 所以. 故答案为; 14. 一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】计算出抽取比例可得答案. 【详解】抽取比例为， 那么男运动员应抽取的人数为人. 故答案为：16. 15. 已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________． 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义判断即可. 【详解】依题意可得该组样本数据的众数为，中位数为. 故答案为：； 16. 已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________． 【答案】 ①. 5.6 ②. 2 【解析】 【分析】由已知得，，然后计算的平均数和方差可得答案. 【详解】由已知得， ， 所以， . 故答案为：5.6；2. 17. 如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】在平面图形中求出边上的高，在直观图中过点作交于点，则，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】如图在平面图形中过点，作交于点， 又，所以，所以， 在直观图中过点作交于点，则， 又，所以， 所以其直观图中边上的高的长度为. 故答案为： 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________． 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】（i）由等体积法可得，由题意可得该三棱锥的体积； （ii）连接，易证得，可得与所成的角等于直线与所成的角，在中，求出的值，进而求出的值． 【详解】（i）因为底面是边长为2正方形，底面，，为的中点， 所以； （ii）因为为正方形，连接，则交于， 可得为的中点，因为为的中点，所以， 所以与所成的角等于直线与所成的角， 与所成的角为或其补角， 因为底面，平面， 所以平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，而平面， 所以，所以， 所以，即直线与所成的角为． 故答案为：；． 19. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型的概率求法求解. 【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有个， 满足差的绝对值为3的有，，，，共7个， 则其差的绝对值为5的概率为. 故答案为：. 20. 在中，，并且满足.（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由，可得，从而求得角；由，得，两边平方化简可求出，从而可得，再设，利用共线定理可得，从而得，再将用表示，两边平方化简可得答案. 【详解】在中，设所对的边分别为，则， 因为，所以， 所以，即，又，所以； 因为，所以， 所以， 所以， 所以，化简得， 解得或（舍去）， 所以，即， 设，因为， 所以， 因为三点共线，所以，解得，所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以. 故答案为：，. . 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是利用求出，然后将作为基底，从而利用向量数量积的运算法则计算即可得解.. 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知向量满足． （1）求向量的数量积； （2）求向量夹角的余弦值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标公式计算即可； （2）根据向量数量积夹角坐标公式计算即可； （3）先求出向量坐标再应用向量模长坐标公式计算即可； 【小问1详解】 由题设，. 【小问2详解】 ， 所以. 【小问3详解】 ， . 22. 甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率； （1）甲、乙两同学都能通过； （2）甲、乙两同学恰有一人通过； （3）甲、乙两同学中至少有一人通过． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘法公式计算即可； （2）先应用对立事件求概率再通过独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算即得； （3）根据独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算即得； 【小问1详解】 设“甲通过”，“乙通过”，则 “甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立． 由已知可得，． “两人都通过”，由事件的独立性定义，得 所以两人都通过的概率为 【小问2详解】 “恰好有一人通过”，且与互斥， 根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为 【小问3详解】 事件“至少有一人通过”，且与两两互斥 所以 所以两人中至少有一人通过的概率为 23. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面； （2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （3）根据线面垂直的判定定理证得平面，得为直线与平面所成的角可得答案． 【小问1详解】 连接交于点，连接． 在中，为的中点，为的中点． 是的中位线， ， 平面平面， 平面； 【小问2详解】 在正三棱柱中， 平面平面， ， 在等边中，为的中点， ， 又是平面内的两条相交直线， 平面，又平面， 平面平面； 【小问3详解】 连接， 和都是直角三角形，且， ， ， ， 由（2）得，平面平面，平面平面，又平面， 平面，则为直线与平面所成的角． 在中，，则 所以直线与平面所成角的正切值为. 24. 已知的三个内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积是，求； （3）若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）最大值为4． 【解析】 【分析】（1）用余弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）取的中点为，先证明，得到为等边三角形，再结合余弦定理和基本不等式求解即可． 小问1详解】 由余弦定理可得， 又，即，， ，； 【小问2详解】 ，， 又，，， ，； 【小问3详解】 取的中点为，则， ， ，，又，为等边三角形，， 在中，由余弦定理可得， 即， 又由基本不等式可得， ，当且仅当时等号成立， ，的最大值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$