专题01 绝对值化简的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（湘教版2024）

专题01 绝对值化简的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用数轴化简绝对值 2 类型二、非负性化简绝对值 4 类型三、求解绝对值方程 5 类型四、分类讨论化简 8 类型五、几何意义化简绝对值 11 压轴能力测评（12题） 17 解题知识必备 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 压轴题型讲练 类型一、利用数轴化简绝对值 例1. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 【变式训练1-1】（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 【变式训练1-2】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，_____2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 【变式训练1-3】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 类型二、非负性化简绝对值 例2．若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义,表示数轴上点到原点的距离,即任意实数的绝对值都是一个非负数. 【详解】解:因为,, 所以, 解得: , 故选D. 【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义,解决本题的关键是要理解绝对值的几何意义. 【变式训练2-1】若x是一个有理数，且，则（   ） A． B． C．4 D．-2 【答案】C 【分析】根据判断在数轴上的位置，从而判断和的正负性，通过绝对值的非负性的解出答案. 【详解】解： 在数轴上 在的左边，的右边 ， 为负数，为正数 故答案选： 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，在解题过程中是否能通过已知条件判断绝对值里面数的正负性是解题的关键. 【变式训练2-2】若，且，求的值． 【答案】或. 【分析】先判定x、y的大小，然后确定x、y的值进行分类解答. 【详解】解：，当时，，则；当时，，则. 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于确定x，y的大小和分类讨论. 类型三、求解绝对值方程 例3.（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)x的值为或3； (2)x的值为6或． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程，理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键． （1）可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得； （2）可表示数轴上与2对应的点的距离，据此求解可得． 【详解】（1）解：∵ 在数轴上与原点距离为3的点表示的数为和3， 所以x的值为或3； （2）解：∵ 在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为6和， 所以x的值为6或． 【变式训练3-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【答案】探究：、1、或；应用：或；拓展： 【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【详解】探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 【变式训练3-2】（23-24七年级上·贵州黔南·期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 【答案】（1）①或；②或；（2）2． 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明确相关概念是解题的关键． （1）表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和； 表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和． （2）根据表示数与表示数和的点之间的距离之和，当表示数的点处于表示和的点之间时，距离最小，可得答案． 【详解】解：（1）①因为， 所以或， 解得：或； 因为， 所以或， 解得：或； （2）表示数与表示数和的点之间的距离之和， 当a在3和5之间时距离之后最小，最小值为2， 的最小值是． 类型四、分类讨论化简 例4. （2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 【变式训练4-1】（2023秋·七年级单元测试）若，则 ． 【答案】 【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， 若，，则； 若，，则； 综上所述，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键． 【变式训练4-2】（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0， 当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2， 故答案为：±2或0． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键． 【变式训练4-3】（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或． 【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可； （2）由（1）可知，结合可知即，化简即可； （3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：1，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （3）∵， ∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况， 当a、b、c中有一个负数、两个正数时， ， 当a、b、c中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质． 类型五、几何意义化简绝对值 例5.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 【答案】(1)3，4 (2)，或0 (3)3 (4)或2 【分析】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和．结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算即可； （4）由（3）可得当或时， 才成立，分和两种情况，去掉绝对值符号，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是． 故答案为：3，4 （2）表示数x的点A和表示的点B之间的距离， 若，则点A到点B的距离为2， ∵点B表示的数是， ∴点A表示的数是或0， ∴x为或0． 故答案为：，或0 （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和，即． 若点M在点A的左侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 若点M在线段上，即，如下图： ， 则， ∴； 若点M在点B的右侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 综上所述，，即的最小值为3． 故答案为：3 （4）由（3）可得当或时， 才成立， 当时，可化为：， 解得：， 当时，可化为：， 解得：， 综上，当或2时，． 故答案为：或2 【变式训练5-1】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是______；表示和两点间的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为． ①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）； ②如果数轴上A、B两点间的距离为，求x的值． (3)直接写出代数式的最小值为______． 【答案】(1)6；4 (2)①  ②或 (3)5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，化简绝对值，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据数轴上两点间距离的求法列出代数式化简即可；②将代入由①所得的式子，求解即可； （3）根据绝对值的性质，分段讨论取值，即当时，当时，当时，分别化简，取最小值比较即可得出答案． 【详解】（1）解：表示4和两点间的距离是， 表示和两点间的距离是， 故答案为：6；4． （2）解：①数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为， 数轴上A、B两点间的距离可以表示为， 故答案为：； ②若数轴上A、B两点间的距离为时， 则，解得或， 的值为或． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上所述得的最小值为5， 故答案为：5． 【变式训练5-2】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 (5)； 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （3）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （4）根据绝对值的几何意义，分在左侧时，在右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解， （5）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，取最小值，当时，取最小值，即可求解， 本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定的范围． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于， 或， 故答案为：或， （2）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于到的距离， 在和之间， ， ， 故答案为：， （3）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小， 在和之间的线段上， 的最小值是， 故答案为：， （4）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离与到的距离之和等于， 当在左侧时，，，解得：， 当在右侧时，，，解得：， 故答案为：或， （5）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离与到的距离之和最小， 由（3）可知在和之间的线段上时，取最小值， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 故答案为：；． 【变式训练5-3】（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】 （1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】 解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）能使式子成立的数是（   ） A．任意一个正数 B．任意一个负数 C．任意一个非正数 D．任意一个非负数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．根据绝对值的性质判断出与同号或为，然后解答即可． 【详解】解：∵， 与同号或为， 是任意一个非正数． 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的相关概念，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故一定是非正数，故A错误，不符合题意； 两个数相等或互为相反数时，它们的绝对值相等， 故B错误，不符合题意； 若，则a与 b互为相反数或， 故C错误，不符合题意； 若，则，则是非正数， 故D正确，符合题意； 故选：D 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴和绝对值，从数轴中提取已知条件是解题的关键． 根据数轴可知，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∵，故选项A不符合题意； ∵，故选项B不符合题意； ∵，故选项C不符合题意； ∵，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 6．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 三、解答题 7．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 8．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】 本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 10．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 11．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或； (5)． 【分析】（）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的几何意义可知，时，求出符合条件的值即可； （）根据绝对值的几何意义进行当时和时两种情况讨论即可； （）表示数轴上到表示的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几何意义可知，当时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解； 本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：若，那么的值为或， 故答案为：； （2）∵， ∴或， ∴或， 故答案为: 或； （3）∵，且 ∴， ∵是整数， ∴的值有， ， ， ，， ，共个， 故答案为：； （4）由（）可得当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 故答案为：或； （5）∵的中间一项是， ∴时， 原式有最小值，， 故答案为：． 12．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【答案】(1)、之间 (2)点 (3)之间 (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查了绝对值的性质、数轴上两点之间的距离，采用分类讨论是解此题的关键． （1）分三种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点点点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （2）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在点时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在之间时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点点点的右边时，， 当点在、之间时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； （2）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在点时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在点时，才能使P到三点的距离之和最小 （3）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在之间时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在之间时，才能使P到四点的距离之和最小； （4）解：①由（1）可得：当时，有最小值，最小值为， 的最小值，此时x的范围是； ②由（2）可得：这是在求点到，，三点的最小距离， 当时，有最小值，最小值为； ③由（3）可得：这是在求点到，，，四点的最小距离， 当时，由最小值，最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值化简的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用数轴化简绝对值 2 类型二、非负性化简绝对值 4 类型三、求解绝对值方程 5 类型四、分类讨论化简 8 类型五、几何意义化简绝对值 11 压轴能力测评（12题） 17 解题知识必备 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 压轴题型讲练 类型一、利用数轴化简绝对值 例1. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【变式训练1-1】（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【变式训练1-2】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，_____2（填“”或“”） (2)化简：． 【变式训练1-3】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 类型二、非负性化简绝对值 例2．若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】若x是一个有理数，且，则（   ） A． B． C．4 D．-2 【变式训练2-2】若，且，求的值． 类型三、求解绝对值方程 例3.（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【变式训练3-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【变式训练3-2】（23-24七年级上·贵州黔南·期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 类型四、分类讨论化简 例4. （2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【变式训练4-1】（2023秋·七年级单元测试）若，则 ． 【变式训练4-2】（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝ 【变式训练4-3】（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 类型五、几何意义化简绝对值 例5.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 【变式训练5-1】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是______；表示和两点间的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为． ①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）； ②如果数轴上A、B两点间的距离为，求x的值． (3)直接写出代数式的最小值为______． 【变式训练5-2】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【变式训练5-3】（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）能使式子成立的数是（   ） A．任意一个正数 B．任意一个负数 C．任意一个非正数 D．任意一个非负数 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 5．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 6．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 三、解答题 7．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 8．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 10．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 11．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 12．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$