第24章 解直角三角形全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）
2024-09-13
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教辅
内容正文：
数 学
九年级上册 HS
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第24章 解直角三角形
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全章综合训练
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中考
考点1 直角三角形的性质
1.【2023四川德阳中考】如图，在 中，
，，，，点 是
边的中点，则 ( )
A
A. B. C.2 D.1
【解析】 ，， ，
， ，
.，点是边的中点， .故选A.
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考点2 三角函数的定义
2.【2023四川攀枝花中考】中，，，的对边分别为，， .已知
，，，则 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】在中，，， ，
，，， 是直角
三角形，且 ， .故选C.
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3.【2023江苏宿迁中考】如图，在网格中，每个小正方形的边长均
为1，每个小正方形的顶点称为格点.点，， 三点都在格点上，
则 _ __.
【解析】 如图，连结 ，
，， ，
，，故答案为 .
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4.【2023辽宁锦州中考】如图，在中， ， ，
，按下列步骤作图：①在和上分别截取，，使 .②分
别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点 .③
作射线交于点.若点是线段上的一个动点，连结，则 的最
小值是_____.
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【解析】 由作图步骤可知，射线为的平分线. ，
， .平分， .
过点作于，交于.在中， ， ，
.根据点到直线的距离，垂线段最短可知，此时 的
值最小，为的长.在中， ，， ，
，的最小值为 ，故答案为
.
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关键点拨
根据题目中所给的条件，判断 为角平分线，由问题可知，需要构建直角三角形，
利用三角函数求出线段长度.
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考点3 解直角三角形
5.【2022四川乐山中考】如图，在中， ，，点是
上一点，连结.若，，则 的长为( )
C
A. B.3 C. D.2
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【解析】如图,过D点作于 .
，，， ，
.在中，，， ，
解得，，， ，
， ，故选C.
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6.【2022湖北黄石中考】某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知
无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为 ，
继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为 ，则旗杆的高度约为______
.（参考数据： ，结果按四舍五入保留一位小数）
12.7
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【解析】 如图,设旗杆底部为点，顶部为点，过点 作
交直线于点,则， ，
， .设.在
中，，解得 ，则
.在 中，
，解得 .经检验，
是原方程的解，且符合题意， .故答案为12.7.
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7.【2023浙江衢州中考】下面是勾股定理的一种证明方法：图（1）所示纸片中，
，四边形，是正方形.过点，将纸片 分
别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形， 拼成图
（2）.
（1）若， 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为___.
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思路分析 过作于，由，可得， ，
故.由 的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积
为
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【解析】 过作于 ，如图.
， ，
，即 ，
， ，即
，， 的面积为
16，，，.易得四边形 为矩
形，， ， 纸片Ⅲ的面积为 .故
答案为9.
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（2）若，则 ___.
【解析】 如图.，.设，则， .
，， ，
， ，
，，， ，
，解得或.当时， ，
不符合题意，舍去；当时，，而， ，
.故答案为 .
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章测
一、选择题（本大题共5小题，共35分）
（第1题图）
1.【2023江苏南通中考】如图，四边形 是矩形，分别以
点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点 ，
连结，，.若，，则 的正切值为
( )
C
A. B. C. D.
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【解析】设与交于点，， ，
， 四边形 是矩形，
，， ，， ，
.设，则， .由勾股定理得
，，， .故选C.
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（第2题图）
2.【2024四川内江期末】如图，直立于地面上的电线杆 ，在阳
光下落在水平地面和坡面上的影子分别是， ，坡面的坡度
，测得米，米，在处测得电线杆顶端 的
仰角为 ，则电线杆 的高度为( )
B
A.米 B.米 C. 米 D.
米
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【解析】延长交的延长线于，作于 坡面的坡度 ,
， .又米， 米，
米.易得 ， 米，
米，
米，故选B.
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（第3题图）
3.如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有，， 三个格点，
则 的余弦值为( )
B
A. B. C. D.2
【解析】过点B作交延长线于点D，过点C作于点 ，
则，，如图. ，
. ，
， ，
， .故选B.
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关键点拨
构造含有的直角三角形，过点作于,先利用等积法求出 的长，
再根据勾股定理求出， .
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（第4题图）
4.【2023河南商丘夏邑一模】如图，在平面直角坐标系中，将
边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个 ，得到正
六边形，当 时，正六边形
的顶点 的坐标是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】 ，， 当
时，的坐标与的坐标相同.如图，连结 ，
， ，
.过点D作轴于，过点作 轴
于点， ，
， ，， ，
，， ，故选A.
， 正六边形 的一个外角
， .
，
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关键点拨
由题意得出每旋转8次是一个循环是解题的关键.
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5.【2022湖北荆州中考】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在 轴负半轴
和轴正半轴上，点在上，，连结，过点作交 的
延长线于.若，则 的值是( )
C
A. B. C. D.3
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【解析】如图，
过点作轴于点，， ，
， ，
，，， ，
.故选C.
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二、填空题（本大题共4小题，共20分）
6.【2023四川广安武胜模拟】计算：
_______.
【解析】 原式
.
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7. 【2022江苏扬州中考】在中， ，,,分别为, ,
的对边，若，则 的值为_ ____．
【解析】 在中，,,, ，
，，两边同除以得 .令
，，解得， （舍去），
．故答案为 ．
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难点突破
由和得到， 两边可以同时除以 ，得
到一个关于的一元二次方程，再将 看成一个整体求值即可.
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8.【2023河南开封调研】小明想测量一棵树的高度，他
发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测
得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡
的坡角为 ，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长
为2米，则树的高度为___________米.
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【解析】 如图,延长交延长线于 点，作
于.在中， ，
米，米，
米. 同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置
的标杆在地面上的影长为2米，
， 米，
米,
米.故答案为 .
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9. 【2024江苏常州期末】已知点在内，连结，， ，
在，，中，如果存在一个三角形与 相似，那么
就称点为的自相似点.如图，在中， ，
，，如果点为的自相似点，那么 __.
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【解析】 如图， ，，， ，
故可在内作，过点作 ，则
， 点为的自相似点， ，
，，故答案为 .
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三、解答题(本大题共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或
证明过程)
10.【2024上海崇明区期中】如图，在平面直角坐标系中，已知
点，点在轴负半轴上，且 .
（1）求的长及 的正弦值.
【解】 点，.在 中，
，.由勾股定理得 ，
.
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（2）若点在轴正半轴上，且.点是轴上的动点，当 时，
求点 坐标.
【解】 过点作于 ，如图所示.
设点的坐标为，则.在 中，由勾股定
理得. 点在轴正半轴上，且，
在中，由勾股定理得 .
在中， .
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，在中，，， .
又，， .
由三角形的面积公式得 ，
，
整理得，解得， ，
点的坐标为或 .
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11.【2022四川内江中考】如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的
古树，之间的距离，他们在河边与平行的直线上取相距的， 两点，
测得 ， ， .
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（1）求河的宽度；
【解】如图,过点作，垂足为，设 .
， .
， ，
.
在中， .
在中， ，
，解得 .经检
验,是原方程的根，， 河的宽度为
.
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思路分析 过点作,垂足为，设，则 .先利用平
角定义求出 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出
，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于 的方程，解方
程即可得出答案.
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（2）求古树， 之间的距离.（结果保留根号）
【解】 如图,过点作，垂足为，则 ，
， .在 中，
，
， 古树, 之间
的距离为 .
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12.【2023广西南宁期末】阅读理解 小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：
在中， ， ，求 的值.
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解题思路:小宁先画出了几何图形（如图（1）），他觉得 虽然不是特殊角，
但 是 的一半，于是他尝试着在上截取，再连结 ，构造出
等腰 （如图（2））.
解题过程:如图（2），在上截取，再连结，可证 为等腰三角
形，设 ，则
.
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思路分析 求 角的三角函数值的方法
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尝试应用 如图（3），求 的值.
【解】如图，
作的垂直平分线交于，连结，则， ，
.设.在中，， ，
， ，
.
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拓展应用 如图（4），某同学站在离纪念碑底米的处，测得纪念碑顶点 的
仰角为 ，该同学的眼睛 点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高
度.（结果保留整数，参考数据：， ）
【解】 由题意得，四边形是矩形，米， 米.
在中， ， ， ，
米，（米） 纪念碑的高度
约为20米.
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