第23章 大招专题3 相似三角形判定的常考模型-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）
2024-08-13
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教辅
内容正文：
数 学
九年级上册 HS
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第23章 图形的相似
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大招专
题3
相似三角形判定的常考模型
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难关
母题学大招7 A字型
1.【2024北京昌平区期中，中】如图，在中， ，
，点为中点，点在上，当为_____时，
与以点，， 为顶点的三角形相似.
3或
【解析】 为中点，.当 时，
，，；当 时，
，，.综上，或 .故答
案为3或 .
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关键点拨
先得到，再分与 两种情况讨论即可解答.
大招解读 A字型
正A字型 斜A字型（共角） 斜A字型（共边）
______________________
已知： ；结论：
_____________________
已知： ；结
论： _______________________
已知： ；结
论：
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子题练变式
2.［较难］中，， ，过
上一点作，，分别交，
于点， .
（1）如图（1），求证： .
【证明】，，，， .
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（2）如图（1），若四边形是菱形，求 的长.
【解】设 四边形是菱形， ，
，，，即 ，解得
，即的长为 .
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（3）如图（2），若以，，为顶点的三角形与相似，求 的长.
【解】 设，则，， ,
四边形为平行四边形，， ，
,，即，则， ，
， 当时，， ，
即，解得；当时，，即 ，解得
（舍去）或.综上所述，的长为或 .
易错警示
注意本题（3）中两个三角形未用相似符号连接，所以需要分情况讨论，不要漏解
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母题学大招8 8字型
3.［较难］如图，在菱形中，， ，动点
从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，到点
时停止；动点同时从点 出发，以每秒2个单位长度的速度向
点运动，当点停止运动时，点随之停止运动，连结 交
于点.那么在点的运动过程中，线段 的最小值是
( )
B
A. B. C. D.
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【解析】在菱形中，，，.设点 运动的
时间为秒，则，，，.当
时，即当与菱形的高相等时，的长最小.设菱形 的高为
，， ，
，，解得 ，
，故选B.
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大招解读 8字型
正8字型 斜8字型（蝴蝶型）
____________________________
已知： ；
结论： __________________________
已知： ；
结论：
思路分析
由得到,则有，进而得到与 的关系.当
与菱形的高相等时最小，根据面积求出菱形的高,即为 的最小值，
即可求得 的最小值.
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子题练变式
4.【2023安徽六安校级期末，较难】如图，在矩形中，，交于点 .
（1）作于点，求证：点是线段 的二等分点；
【证明】 四边形是矩形， 点为的中点， ，
，，，， 点是 的二等分点.
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（2）连结交于点，作于点，求证：点是线段 的一个三等分点；
【证明】，，， .
，，，， .
， .
,， .
点是线段 的一个三等分点.
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（3）你能在图中作出线段 的一个四等分点吗？
【解】能.如图所示，过点作于点，连结交于点，过点 作
于点，则点为 的一个四等分点.
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母题学大招9 手拉手型
（第5题图）
5.【2024四川成都双流区质检，较难】如图，在 和
中， ，，为
的中点，，.将绕点旋转，直线，
交于点，连结，则 的最小值是 _________.
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【解析】 如图，取的中点，的中点，连结， ，
，则 ， ，
，. ，
， ，
，， ，
， ，
， .又为的中点，为
的中点，., ,
,是的垂直平分线， ，
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.为的中点，为的中点， .
，，,， 的最小值为
.故答案为 .
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思路分析
取的中点,的中点，连结，，,则 .由题
意可知，，进而可得，所以 ，根
据四边形内角和可得 ，再根据三角形和垂直平分线的性质
可得出的长，根据三角形相似可得 的长，由此可得结论.
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大招解读 手拉手型
和共顶点 ，通过两边成比例且夹角相等或利用旋转构造等角来判定
三角形相似.常见模型如下:
在内且拉手线和 无交点
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在外且拉手线和 无交点
在外且拉手线和 有交点
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子题练变式
6.【2024陕西汉中质检，较难】如图，已知正方形的边长为2，对角线 ，
相交于点.将绕点逆时针旋转得到，当，， 三点共线
时， 的长为 _______________.
或
（第6题图）
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【解析】 ①当在的上方时，， 是等腰直角三角形，
. ，
，， ，
，. ，
，， ，
， .
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②当在的下方时，如图所示.同理可证 ，
. ，
， .
，， ，
，， .综上
所述,的长为或 .
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母题学大招10 一线三等角型
7.［中］如图，正方形边长为4，，分别是，上的两个动点，当
点在上运动时，保持和垂直，设 .
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大招解读 一线三等角型
如图，已知，，三点共线，且 .
（1）点在线段 上:
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（2）点在线段 的延长线上:
结论： .
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（1）求证： ；
【证明】在正方形中，， ，
， .在 中，
，， .
（2）当点运动到什么位置时？求此时 的值.
【解】 ， 要使，必须有 .
由（1）知，， 当点运动到 的中点时，
，此时 .
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子题练变式
8.【2023福建福州校级期末，较难】如图，在中，点，分别在边 ，
上，连结，，且 ．
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（1）求证： ；
【证明】由题图（1），得 .在 中，
,, ,
．
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（2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且
是等腰三角形时，求 的长．
【解】， ，
是等腰直角三角形， .
， .
①当时， ， ，
， . 点在上运动（点不与， 重
合）, 此情况不符合题意．
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②当时，如图（1），.由（1）易证 ，
， ．
③当时，如图（2）， ， 是等腰直角三角
形. , ，即， ．
综上所述， 或1．
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关键点拨 当是等腰三角形时，注意分，， 三种
情况进行讨论.
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母题学大招11 射影定理（子母型）
9.［中］如图，在中， ，是斜边 上的高.
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大招解读 射影定理（子母型）
基本模型 结论
_________________________________
中，
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（1）求证： ；
【证明】， ，
.
又 ，， .
（2）求证： ；
【证明】 ，，， ，即
.
（3）若，，求 的长.
【解】， ，
，，， .
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子题练变式
10.【2024安徽六安调研，较难】如图，中，，，点，
分别为，的中点，于点 .
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思路分析 （1）通过证明，可得 ，可得结论；
（2）过点作，交的延长线于，证明 ，可得
，，由相似三角形的性质可得 ，可得
的度数，进而可求解；
（3）通过证明，可得，进而可求，由 可求
，证明，得，可求 ，由三角形面积公式可求解.
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（1）求证： ；
【证明】， ，
， ，
，， ，
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（2）求 的大小；
【解】如图，过点作，交的延长线于 点是 的中点，
.又 ， ，
，，， .
又，， ，
， .
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（3）若，求 的面积.
【解】 如图，， ，
，，，.
点，分别是，的中点，，， ，
.又，， ，
，.， ，
，，，， 的面积为
.
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