22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 第22章 一元二次方程 4 专题2 一元二次方程的解法 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 1.【2022四川乐山中考】关于的一元二次方程 有两根，其中一 根为 ，则这两根之积为( ) D A. B. C.1 D. 【解析】 方程的其中一个根是，，解得 两根的 积为， 两根的积为 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2.若，是方程的两个根，则 的值为( ) C A.2 B.4 C.5 D. 【解析】，是方程的两个根，， ， 则 ．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 3.若是方程的一个根，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】设方程的另一个根为是方程 的一个根，， ， . 故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 4. 开放性试题【2024北京门头沟区期末】若一元二次方程的两个根分别是 ，，其中， ，写出一个满足此条件的方程： ______________________________. （答案不唯一） 【解析】 设方程为 一元二次方程的两个根分别是 ， ，，，，， 各系数的取值可以为 ， ，， 方程可以为，故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 5.【2022黑龙江绥化中考】设与为一元二次方程 的两根，则 的值为____. 20 【解析】 由题意得， ， ，故答案为20. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 刷有所得 根与系数关系的常见变形: （1） ; （2） ; （3） . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6.【2024山东滨州期末】一元二次方程的一个根为，则 的 值为__，另一根为__. 【解析】 设方程的另一个根为 一元二次方程 的一个根为 ，，即，解得， 原方程为 ，，.故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知矩形的长和宽是方程 的两个实数根，则矩形的对角线的长 为_____. 【解析】 设矩形的长和宽分别为, 矩形的长和宽是方程 的两 个实数根，，， 矩形的对角线长为 ．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 8.【2022湖北鄂州中考】若实数，分别满足， ， 且，则 的值为__. 【解析】 实数,分别满足，，且 ， , 可看作方程的两个不相等的实数根，则， ， 则原式，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 9.在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数 ，得到的解为 ，.小刚看错了常数项，得到的解为， .请你写出正确 的一元二次方程：_______________. 【解析】 小明看错了一次项系数， 小刚看错了常 数项，， 正确的一元二次方程为 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 10.【2024山东烟台期末】已知关于的一元二次方程 . 关键点拨 熟练掌握并运用, 是解题的关键. （1）若是方程的一个根，求 的值和方程的另一根. 【解】是方程的一个根，，解得 .设方程的另一个 根是，则，，即方程的另一根为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 （2）若，是方程的两个实数根，且满足，求 的值. 【解】 ，是方程的两个实数根， ， ,， . ，，即 ，解得 . , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 11.【2022四川南充中考】已知关于的一元二次方程 有实数根. （1）求实数 的取值范围. 【解】 关于的一元二次方程 有实数根， ，解得，即的取值范围是 . （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求 的值. 【解】 方程的两个实数根分别为， ， ， . ，， ， 解得，即 的值是3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 12.【2023浙江杭州西湖区期中】已知的两边，的长是关于 的一元二 次方程的两个根，第三边的长是10.当 为何值 时,为等腰三角形？并求 的周长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 【解】， 无论 取何值，此方程总有两 个不相等的实数根. 第三边的长是10，为等腰三角形， 为一元 二次方程的一个根.当时，，解得 或 10.①当时，方程变为.设等腰三角形的底边长为 .根 据根与系数的关系，得，， 的周长为 ；②当时，方程变为 .设等腰三角形的 底边长为.根据根与系数的关系，得，解得， 的周长为 .综上，当或10时,为等腰三角形. 的周长为 32或28. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 提升 1.【2023河南洛阳涧西区期中，中】若关于的方程 有两个实数根，，则 的最小值为( ) D A.1 B.2 C. D. 【解析】根据题意得，解得 .由根与系数的 关系得， ， ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 2.【2023山西晋中调研，中】已知，，， 为互不相等的实数，且 ，，则 的值为( ) C A.4 B.1 C. D. 【解析】， ， ，,,, 为互不 相等的实数，，可看作方程 的两实数根， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 3.【2023湖北天门校级模拟，中】关于的方程 的两 个实数根的倒数和为1，则 ( ) C A. 或0 B.2或0 C.2 D.0 【解析】设方程的两个实数根为和 ，则 ，,即，，解得 或0.经检验，或0都是 的解. ，， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 4.【2023浙江宁波海曙区调研，中】已知关于 的一元二次方程 的两个实数根为,，且，则 的值为___. 1 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 5.［中］已知，是关于的一元二次方程 的两根，且 ，则 ___. 3 【解析】 ，是关于的一元二次方程 的两根， ，， ，解得 ， 关于的一元二次方程 有两个实数 根，，解得， 舍去.故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 易错警示 一元二次方程根与系数的关系是建立在二次项系数和 的基础上的，因 此利用根与系数的关系求参数的值或取值范围时，一定要验证这两项是否成立. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 6.【2022四川内江中考，中】已知,是关于的方程 的两实 数根，且，则 的值为___. 2 【解析】 ,是关于的方程 的两实数根， ，，， ， .又 ， ，，解得或 .当 时，关于的方程为，，符合题意；当时，关于 的方程为，，方程无实数解，不符合题意, ，故答案 为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 思路分析 由题意得，， .先把原式变形再整 体代入可得，解出的值，并验证是否满足 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 7.［中］已知 ， 是方程的两个实数根，且 ， 则 的值为____. 【解析】 由 ， 是方程的两个实数根，可得 ， ，，， ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 8.［中］关于的方程的根为整数，则实数 _______ _____. 0或1或 【解析】 若，则是方程的根.若 ，根据一元二次方程的根与系数 的关系，得，，则 ，则 .不妨设，若，，则 ， ，此时，；若，，则 ， ，此时，.综上，的值为0或1或 ．故答案是0或1或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 思路分析 二次项系数含有字母，先判断二次项系数为0时是否符合条件,然后令二次项系数 不为0，因为其根为整数，则两根之和、两根之积都为整数，根据根与系数的关系 列出对应式子即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 刷素养 走向重高 9.核心素养 推理能力【2022湖北黄石中考，较难】阅读材料，解答问题： 材料1:为了解方程，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为 , ，, .我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法. 材料2：已知实数，满足，，且 ，显然 ，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 ， . 根据上述材料，解决以下问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 （1）直接应用：方程 的解为_______________________________ _________； ，，， 【解析】 令，则有，， ， ，或3，，，， .故答案为 ，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 （2）间接应用：已知实数，满足：， 且 ，求 的值； 【解】，或.当时，令， ，则 ，，，可看作方程 的两 个不相等的实数根，, ，此时 . 当时，，此时 . 综上所述，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 （3）拓展应用：已知实数，满足，且，求 的值. 【解】 令，，则， ， ,即，，可看作方程 的两个不相等的实数根， ,， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 $$