21.2.3 二次根式的除法-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 第21章 二次根式 4 21.2 二次根式的乘除 21.2.3 二次根式的除法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次根式的除法 1.【2024辽宁葫芦岛期末】下列运算正确的是( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 【解析】 选项 正确运算过程 判定结果 A 错误 B 错误 C 正确 D 错误 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1， 的三个 顶点，，都在网格格点的位置上，则的边 上的高为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，过点C作，交的延长线于 .由勾股定理可 得,而 , ,, .故 选C. 关键点拨 利用等面积法列方程，解方程时利用二次根式的除法进行计算. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 3.【2023陕西西安灞桥区期中】若，，则化简 ____. 【解析】 ，，，，， 原式 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 4.计算： （1）【2024四川成都期中】 ； 【解】 . （2）【2024广东汕头期末】 . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 知识点2 商的算术平方根 5.若，且，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，解得， . ，，则，解得，故 的取值范围是 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 刷有所得 注意使用商的算术平方根的运算公式时根号下数字的非负性问题，特别是当分母 为根式时还需要注意分母不为0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 6.【2023浙江杭州拱墅区调研】已知，化简 _____. 【解析】 由得，, ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.【2023山东菏泽期末】已知，且是偶数，求代数式 的 值. 【解】由，可得解得.因为是偶数，所以 ， 则 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 知识点3 最简二次根式 8.【2024重庆万州区期末】二次根式，，，， ， 中，最简二次根式有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 【解析】 二次根式 判定结果 （是否为最简二次根式） 判定理由 不是 被开方数含有分母 不是 被开方数含开得尽方的因数， 是 符合最简二次根式的条件 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 二次根式 判定结果 （是否为最简二次根式） 判定理由 是 符合最简二次根式的条件 不是 被开方数含开得尽方的因式， 是 符合最简二次根式的条件 故选C. 续表 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 9.【2023重庆江北区质检】若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 ___. 2 【解析】 当时，,不是最简二次根式;当 时， ,是最简二次根式，故最小的正整数 .故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 知识点4 分母有理化 10.下列各数中，是 的有理化因式的是( ) A A. B. C. D. 【解析】A选项， ，是有理数；B选项， ,不是有理数；C选项， ,不是有理数；D选项， ,不是有理数.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 11.【2023河南开封期中】化简 的结果为( ) A A. B. C. D. 【解析】原式 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 12.【2023河南新乡调研】二次根式，， 的大小关系是_____________. （用“ ”连接） 【解析】 将三个二次根式化成同分母分数比较.， ， ,.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 刷易错 易错点 在计算过程中弄错运算顺序 13.计算： ____. 【解析】 . 易错警示 乘除混合运算的运算顺序是从左到右，注意要先把除法转化为乘法. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 提升 1.【2023湖南长沙雨花区期中，中】已知，，则与 的关系是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】, ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 2.【2024浙江宁波期中，中】已知，，则用， 表示为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，故选D. 关键点拨 将变形为 是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 3. 【2023河南南阳调研，中】对于任意两个和为正数的实数， ，定义“*” 的运算法则如下：.如，那么 ______. 【解析】 ，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 4.【2023浙江衢州期末，中】实数的整数部分___，小数部分 _____. 2 【解析】 .， ， ， 实数的整数部分，则小数部分 .故 答案为2, . 关键点拨 先将 分母有理化，再确定其整数部分和小数部分. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 5.【2023上海闵行区期中，中】已知, ,求 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解】原式 . ，， ， ， 原式 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 6.【2023北京海淀区期中，中】我们规定用 表示一个数对，给出如下定义： 记，，将与称为数对 的一对 “对称数对”.例如：的一对“对称数对”为与 . 关键点拨 由题意可知的一对“对称数对”为和 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）求数对 的一对“对称数对”； 【解】由题意，得，， 的一对“对称数对”为 与 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）若数对的一对“对称数对”相同，求 的值； 【解】 由题意，得，. 数对 的一对“对称数对”相 同，，， . （3）若数对的一对“对称数对”中的一个数对是，求 的值. 【解】 由题意，得，或，，， 或，,或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力【2024江苏淮安期末，较难】【阅读材料】 像， ， ， 这样两个含有二次根式的代数式相乘，积 不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式. 例如：与，与，与， 都是互为有理化 因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解决问题】 （1） 的有理化因式为_______. 【解析】 ， 的有理化因式为.故答案为 . （2）化简： . 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （3）①如图（1）是 的正方形网格，每个小正方形的边长为1， 的三个顶点都在格点上，则点到 边的距离为_____； 【解析】 ， . 设中边上的高为， ，即 ， ， 点到边的距离为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 ②如图（2），中，与的平分线相交于点，若 的周长为 ，面积为3，求点到 边的距离. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 【解】 如图，连结，作，垂足为，作 ， 垂足为，作，垂足为 . 平分，， ， 平分，， ， ， . ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 ， . 故点到边的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 $$