第13讲 二次根式（三）（3个知识点+7种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第13讲 二次根式（三）（3个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【例1】（2024春•包河区期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•麻阳县期末）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024春•海沧区期末）计算： （1）　　； （2）　　． 【变式3】（2024•平房区三模）计算的结果是 　　． 【变式4】（2024春•南昌期中）计算：． 解：原式第1步， 第2步， 第3步， 第4步． （1）以上解答过程中，从 　　开始出现错误； （2）请写出本题的正确解答过程． 知识点2．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【例2】（2024•阿城区一模）化简的结果为　　． 【变式1】（2024•雁塔区校级模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•西青区一模）计算的结果等于 　　． 【变式3】（2024春•潘集区期末）计算： （1）； （2）． 【变式4】（2024春•界首市期末）观察下列各式：；；， 请你猜想： （1）　　，　　． （2）计算（请写出推导过程） （3）请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来 　　． 知识点3．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【例3】（2023•河北）若，，则　　 A．2 B．4 C． D． 【变式1】（2024春•礼县校级月考）已知，则等于　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•松北区期末）已知，则代数式　　． 【变式3】（2024春•开州区期中）若，则的值为　　． 【变式4】（2024春•惠州校级月考）阅读下面计算过程： 试求： （1） 的值为 　　． （2）求的值． （3）若，求的值． 经典题型汇编 题型一、二次根式的加减运算 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）计算： ．（写最后结果） 2．（23-24八年级上·江西吉安·期中）下列运算中，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知，，满足． (1)求a，b，c的值； (2)若以a，b，c为边能否组成三角形？如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说出理由． 题型二、二次根式的混合运算 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）估计的值在（　　） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 6．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、分母有理化 7．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的平方根是 ；的倒数 ，的相反数是 ． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型四、已知字母的值、化简求值 10．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，则代数式的值为 ． 11．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，则式子的值为（    ） A． B． C． D．4 12．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若，，求： (1)； (2)求． 题型五、已知条件式、化简求值 13．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·四川达州·期中）如果，那么 ． 15．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 题型六、比较二次根式的大小 16．（21-22八年级上·福建三明·期末）比较大小： （填“”，“”或“”）． 17．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶ 请回答下列问题∶ (1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________． (2)请直接写出的化简结果∶____________． (3)利用上面所提供的想法，求的值． (4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 题型七、二次根式的应用 19．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 20．（23-24八年级上·四川泸州·期末）若，则xy的立方根为 ． 21．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，从正方形中裁去两个面积分别为和的正方形和正方形． (1)正方形的边长为______，正方形的边长为______； (2)求空白部分的总面积． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）下列二次根式中，与能合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·四川·阶段练习）如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）化简的结果是（    ） A． B．3 C．3 D． 5．（23-24八年级上·河南周口·期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知均为有理数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，则＝ ． 12．（2024·青海西宁·二模）已知，，则 ． 13．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小： （填“，或”）． 14．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 15．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 16．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 ． 17．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是 ．（填序号） 18．（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）将分母有理化可得 ； （2）关于x的方程的解是 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 20．（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）若，求：的值． 21．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)． (2) 22．（23-24八年级上·辽宁本溪·阶段练习）观察下列等式： ①；②； ③； …． 回答下列问题： (1)仿照上列等式，写出第n个等式：________； (2)利用你观察到的规律，化简：________； (3)直接比较大小：________ (4)计算：． 23．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ，，，，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较与的大小． 24．（23-24八年级上·四川达州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式 25．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数x，y满足，求的值． 26．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 二次根式（三）（3个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【例1】（2024春•包河区期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可． 【解答】解：中，没有同类二次根式，不能合并， 故选项不符合题意； ， 故选项不符合题意； ， 故选项不符合题意； ， 故选项符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质以及加减法则是解题的关键． 【变式1】（2023秋•麻阳县期末）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式， 故选：． 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 【变式2】（2024春•海沧区期末）计算： （1）　　； （2）　　． 【分析】（1）根据二次根式的加减法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减法运算法则计算即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式3】（2024•平房区三模）计算的结果是 　　． 【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 【变式4】（2024春•南昌期中）计算：． 解：原式第1步， 第2步， 第3步， 第4步． （1）以上解答过程中，从 　第3步　开始出现错误； （2）请写出本题的正确解答过程． 【分析】（1）与不能合并，所以第3步开始出现错误； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）以上解答过程中，从第3步开始出现错误； 故答案为：第3步； （2）正确解答为： 原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 知识点2．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【例2】（2024•阿城区一模）化简的结果为　1　． 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式 ． 故答案为1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【变式1】（2024•雁塔区校级模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可． 【解答】解：．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，故本选项正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则． 【变式2】（2024•西青区一模）计算的结果等于 　4　． 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式 ． 故答案为4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 【变式3】（2024春•潘集区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先用平方差公式和完全平方公式，再去括号合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【变式4】（2024春•界首市期末）观察下列各式：；；， 请你猜想： （1）　　，　　． （2）计算（请写出推导过程） （3）请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来 　　． 【分析】认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积． 【解答】解：（1），； （2）； （3）． 【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律． 知识点3．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【例3】（2023•河北）若，，则　　 A．2 B．4 C． D． 【分析】把、的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式1】（2024春•礼县校级月考）已知，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】由已知可得，则，代入原式计算即可． 【解答】解：由已知可得， 则，即， 原式． 故选：． 【点评】先化简再代入，是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．本题关键是用配方法将已知等式变形得出的简单结论． 【变式2】（2023秋•松北区期末）已知，则代数式　　． 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【变式3】（2024春•开州区期中）若，则的值为　5　． 【分析】首先把化简为，再进一步代入求得数值即可． 【解答】解：， ． 故答案为：5． 【点评】此题考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算，化简是计算的前提． 【变式4】（2024春•惠州校级月考）阅读下面计算过程： 试求： （1） 的值为 　　． （2）求的值． （3）若，求的值． 【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， ． 【点评】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． 经典题型汇编 题型一、二次根式的加减运算 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）计算： ．（写最后结果） 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂．先化简各数，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期中）下列运算中，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】A选项：和的被开方数不相同，即不是同类二次根式，它们不能合并，，故本选项的运算错误，不符合题意； B选项：，故本选项的运算错误，不符合题意； C选项：，故本选项的运算错误，不符合题意； D选项：故本选项的运算正确，符合题意． 故选：D 3．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知，，满足． (1)求a，b，c的值； (2)若以a，b，c为边能否组成三角形？如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说出理由． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，三角形三边的关系，化简二次根式，二次根式的加减运算，熟知几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键． （1）利用非负数的性质进行求解即可； （2）首先根据三角形三边的关系判断，然后利用二次根式的加减进行求解即可． 【详解】（1）∵ ∴，， ∴，，； （2）∵， ∴以a、b、c 为边能构成三角形， ∴此三角形的周长为 ． 题型二、二次根式的混合运算 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的运算及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）估计的值在（　　） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据二次根式的乘法进行计算，再根据无理数的估算得出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴估计的值在8到9之间， 故选：C． 6．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是： （1）先利用算术平方根、立方根的定义计算，然后合并即可； （2）先利用二次根式的性质化简，然后括号内合并同类二次根式，最后计算除法即可； （3）先去括号并利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （4）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：∵， ∴， ∴． 题型三、分母有理化 7．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的平方根是 ；的倒数 ，的相反数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查实数的性质．根据平方根、相反数以及倒数的定义即可求出答案． 【详解】解：， 又的平方根是， 的平方根是； ， 的倒数是； 的相反数是， 故答案为：，，． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：当时，“□”中添上“−”， 则，其运算的结果为有理数， ∴A选项不符合题意； 当时，“□”中添上“−”， 则，其运算的结果为有理数， ∴B选项不符合题意； 当时，“□”中添上“+”， 则，其运算的结果为有理数， ∴C选项不符合题意， 当时，“□”中添上“+”， 则，其运算的结果为无理数， 当时，“□”中添上“−”， 则，其运算的结果为无理数， 当时，“□”中添上“×”， 则，其运算的结果为无理数， 当时，“□”中添上“÷”， 则，其运算的结果为无理数， ∴D选项符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，先化简，再合并同类二次根式． （1）先化简二次根式，再计算括号，最后计算乘除即可； （2）先化简二次根式，计算零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型四、已知字母的值、化简求值 10．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求代数式的值，实数的混合运算，将代入，求解即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 【详解】∵， ∴， 故答案为：4． 11．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，则式子的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先利用分母有理化求得的值，得到的值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化的法则是解题的关键． 12．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若，，求： (1)； (2)求． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 题型五、已知条件式、化简求值 13．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 14．（23-24八年级上·四川达州·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先求出，再由得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)121 (3) 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 题型六、比较二次根式的大小 16．（21-22八年级上·福建三明·期末）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数 【详解】解：，，， ，即， ，且， ， ，即， 与最接近的整数是， 故选：C． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键． 18．（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶ 请回答下列问题∶ (1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________． (2)请直接写出的化简结果∶____________． (3)利用上面所提供的想法，求的值． (4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）仿照题意进行分母有理化即可； （3）根据，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （4）根据，且，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，，； （2）解： ； 故答案为：； （3）解： ； （4）解：，理由如下： 与 ， ∵， ∴， ∴ ∴． 题型七、二次根式的应用 19．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18， ∴大正方形边长为：． ∴大正方形面积为． ∴留下的阴影部分面积和为：． 故选：C． 20．（23-24八年级上·四川泸州·期末）若，则xy的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，立方根，解题关键是牢记两非负数和为0即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由可得： 解得： 所以的立方根是． 故答案为：． 21．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，从正方形中裁去两个面积分别为和的正方形和正方形． (1)正方形的边长为______，正方形的边长为______； (2)求空白部分的总面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据正方形的面积计算公式即可求解； （）根据空白部分的总面积长方形的面积长方形的面积，进行计算即可求解； 本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：，； （2）解：空白部分的总面积长方形的面积长方形的面积 ， ， ， ∴空白部分的总面积为． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）下列二次根式中，与能合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】A． 不能与合并； B． ，能与合并； C． ，不能与合并； D． ，不能与合并． 故选B． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断是解此题的关键． 【详解】解：A. ，化简不正确； B. ，化简不正确； C. ，化简不正确； D. ，化简正确； 故选D． 3．（20-21八年级上·四川·阶段练习）如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用分母有理化得到a=-()，从而得到a与b的关系． 【详解】解：， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）化简的结果是（    ） A． B．3 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，涉及到最简二次根式与同类二次根式的概念，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式加减运算法则进行化简，然后再利用加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝． 故选：D． 5．（23-24八年级上·河南周口·期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知均为有理数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的混合运算．利用完全平方公式进行展开，利用等式的性质，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 7．（22-23八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④． 【详解】解：，所以①正确； ，所以②正确； 因为，则，所以③正确； 与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键． 8．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 多项式 ， 故选：D． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 10．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2， ∴它们的边长分别为：和， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为， ∴阴影部分的面积为； 故选：B． 二、填空题 11．（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是先对进行分母有理化，然后再根据完全平方公式求解即可． 【详解】∵， ∴ ； 故答案为：． 12．（2024·青海西宁·二模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小： （填“，或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：5． 15．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴是负数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键． 16．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的拼接，根据正方形的面积等于长方形的面积进行计算即可． 【详解】解：∵长方形的长、宽 ∴长方形的面积为：， ∵正方形是由这样的长方形拼接面成的， ∴正方形的面积为， 因此正方形的边长为， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知二次根式的相关运算法则． 根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：①，此选项错误； ②，此选项错误； ③与不是同类二次根式，不能合并，事实上，此选项错误； ④，此选项正确； ⑤，此选项错误； 因此，正确的选项有④， 故答案为：④． 18．（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）将分母有理化可得 ； （2）关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（1）本题考查二次根式的化简，将式子上下同乘，结合平方差公式进行计算，即可解题。 （2）本题考查解一元一次方程，利用（1）中化简方法将化简，再根据解一元一次方程方法和步骤，即可解题。 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 20．（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）若，求：的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据乘法分配律，二次根式的乘除运算法则，即可求解， （2）先将分母有理化，再代入，即可求解， 本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值，解题的关键是：掌握二次根式的运算法则． 【详解】（1）解： （2）解： ， ． 21．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）先计算二次根式的除法与乘法运算，再合并即可； （2）先计算乘方运算，化简二次根式，绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 22．（23-24八年级上·辽宁本溪·阶段练习）观察下列等式： ①；②； ③； …． 回答下列问题： (1)仿照上列等式，写出第n个等式：________； (2)利用你观察到的规律，化简：________； (3)直接比较大小：________ (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键． （1）仿照以上等式，写出第n个等式即可； （2）利用得出的规律化简原式即可； （3）原式利用得出的规律得：，，比较，即可得到结果； （4）利用得出的规律化简原式，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 第n个等式为：； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：由题意得： ，， ， ， ， 故答案为：； （4）解：原式， ． 23．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ，，，，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． （2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． 【详解】（1）∵，，，， ∴ ． （2）∵,, ∴, , ∵, ∴, ∴． 24．（23-24八年级上·四川达州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式 【答案】(1) (2)元 【分析】此题主要考查了二次根式的应用； （1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：长方形的周长为； （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积：， 壁纸的面积：， 整个电视墙的总费用：（元）． 25．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数x，y满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2019 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：，， 即， 则， 故答案为：． （2）解： ， 原式 ； （3）解：， ， ①， 同理②， ①②得 ， ， 即． 26．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． （4）①， ， 又， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， 此时m有最大值，最大值为， 又，结果分母都为正数， ， ②时， ③，， 又， 当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为， 此时m有最小值，最小值为， 又，结果的分母为负数， ， ， 综合①②③得m的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$