第13讲 相似多边形 （2个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第13讲 相似多边形 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 【例1】（2024春•清江浦区期末）观察下列每组图形，是相似图形的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•泰州）两个相似图形的周长比为，则面积比为 　　． 【变式2】（2023秋•临江市期末）下列各组图形中，一定相似的是　　 A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【变式3】（2022秋•平桂区 期末）如图，在中，平分，．若，，，求的长． 【变式4】（2020秋•徐州期末）如图1，将纸2次折叠，发现第一次的折痕与纸较长的边重合，如图2，将1张纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张纸． （1）纸较长边与较短边的比为　　； （2）纸与纸是否为相似图形？请说明理由． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 【例2】（2023秋•船山区期末）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•益阳模拟）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为　　 A．16 B． C． D． 【变式2】（2024•盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 　　． 【变式3】（2024•榆林三模）如图，将矩形沿对折后，矩形与矩形相似，若，则的长为 　　 【变式4】（2023秋•安庆期中）如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 经典题型汇编 题型一、相似图形 1．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24米，主持人小军主持节目时，站在离点A最长 米处，主持节目效果最佳． 3．（21-22九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 题型二、相似多边形 4．（23-24九年级上·广西桂林·期中）下列图形是相似多边形的是（    ） A．所有的等边三角形 B．所有的矩形 C．所有的菱形 D．所有的平行四边形 5．（21-22九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为 ． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 题型三、相似多边形的性质 7．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）若两个相似多边形的相似比为，则它们周长的比为 ． 8．（2024·贵州·一模）如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列各组图形相似的是（    ） A．任意两个直角三角形 B．任意两个菱形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如果两个相似多边形的面积的比为，则它们的周长的比为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 6．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似 7．（2023九年级上·全国·专题练习）下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的等腰梯形 8．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 9．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 10．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 二、填空题 11．（2022九年级上·全国·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 12．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是 ． 13．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 14．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 15．（2021九年级上·全国·专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则 ． 16．（22-23九年级上·江西宜春·期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 17．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．    18．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直角三角板，都按照如图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正 边形，中间围成的图形和较长直角边围成的图形面积之比是 ． 三、解答题 19．（2021九年级上·全国·专题练习）图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由． 20．（21-22九年级·全国·假期作业）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上． (1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①； (2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②； (3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ． 21．（20-21九年级上·全国·课后作业）将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来： 22．（23-24九年级上·贵州安顺·阶段练习）（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 23．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 24．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 25．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 26．（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 相似多边形 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 【例1】（2024春•清江浦区期末）观察下列每组图形，是相似图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【解答】解：．两图形形状相同，故是相似图形； ．两图形形状不同，故不是相似图形； ．两图形形状不同，故不是相似图形； ．两图形形状不同，故不是相似图形； 故选：． 【点评】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 【变式1】（2023•泰州）两个相似图形的周长比为，则面积比为 　　． 【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：两个相似图形，其周长之比为， 其相似比为， 其面积比为． 故答案为：． 【点评】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键． 【变式2】（2023秋•临江市期末）下列各组图形中，一定相似的是　　 A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【解答】解：、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误； 、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确； 、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； 、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中． 【变式3】（2022秋•平桂区 期末）如图，在中，平分，．若，，，求的长． 【分析】根据已知条件判定；然后利用相似三角形的对应边成比例求得答案． 【解答】解：为的平分线， ． ， ． ． ． ， ． ， ，，， ， ． ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义．考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 【变式4】（2020秋•徐州期末）如图1，将纸2次折叠，发现第一次的折痕与纸较长的边重合，如图2，将1张纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张纸． （1）纸较长边与较短边的比为　　； （2）纸与纸是否为相似图形？请说明理由． 【分析】（1）根据折叠的特征可得纸的长边与重合，即长边为正方形的对角线，结论可得； （2）根据相似图形的判定解答即可． 【解答】解：（1）如图1， 由折叠过程可以看到：第一次折叠，与重合，四边形为正方形，折痕为对角线，由勾股定理可得；第二次折叠，第一次的折痕与纸较长的边重合，即与较长边重合．所以，较长边． 纸较长边与较短边的比为：． 故答案为：． （2）纸与纸是相似图形．理由： 纸较长边与较短边的比为：， 设纸较短边的长为，则较长边为． 由图2可知：纸的长边与纸的短边重合，短边等于纸的长边的一半， 纸的长边为，短边为． 纸的长边与短边的比为：． 纸较长边与较短边的比纸的长边与短边的比． 又纸与纸的四个角均为直角， 纸与纸相似． 【点评】此题考查相似图形，关键是根据相似图形的判定和性质解答． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 【例2】（2023秋•船山区期末）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【解答】解：相似多边形的周长的比是， 周长的比等于相似比，因而相似比是， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为； 故选：． 【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键． 【变式1】（2024•益阳模拟）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为　　 A．16 B． C． D． 【分析】由相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【解答】解：矩形与矩形相似， ， 矩形的面积， 矩形的面积． 故选：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方． 【变式2】（2024•盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 　　． 【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可． 【解答】解：两个相似多边形的相似比为， 两个相似多边形周长的比等于， 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比． 【变式3】（2024•榆林三模）如图，将矩形沿对折后，矩形与矩形相似，若，则的长为 　　 【分析】根据折叠的性质可得：，然后利用相似多边形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：由折叠得：， 矩形与矩形相似， ， ， 或（舍去）， 的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，翻折变换，折叠问题，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【变式4】（2023秋•安庆期中）如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【分析】根据矩形的面积是矩形面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值． 【解答】解：矩形的面积是矩形面积的2倍， 各种开本的矩形都相似， ， ． 答：与的比值是． 【点评】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键． 经典题型汇编 题型一、相似图形 1．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24米，主持人小军主持节目时，站在离点A最长 米处，主持节目效果最佳． 【答案】（12 －12） 【分析】直接将24乘以黄金分割比即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割比的实际应用，解题关键是理解黄金分割比的意义，牢记黄金分割比． 3．（21-22九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【答案】（1）A；（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；（3）60.75 【分析】（1）根据阅读材料得到相似体的概念，然后对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析，发现只有球体的形状是完全相同的； （2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系； （3）根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论． 【详解】解：（1）A、两个球体，形状完全相同，是相似体； B、两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； C、两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； D、两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体； 故选：A； （2）根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②相似体表面积的比等于相似比的平方； ③相似体体积的比等于相似比的立方； 故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方； （3）由题意知他的体积比为()3； 又因为体重之比等于体积比， 若设初三时的体重为x千克， 则有()3=， 解得x==60.75． 答：初三时的体重为60.75千克． 故答案为：60.75． 【点睛】本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．根据阅读材料对相似图形的概念进行推广，得到相似体的概念，然后对阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，表面积的比以及体积的比与相似比的关系． 题型二、相似多边形 4．（23-24九年级上·广西桂林·期中）下列图形是相似多边形的是（    ） A．所有的等边三角形 B．所有的矩形 C．所有的菱形 D．所有的平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形，据此即可作答． 【详解】解：A、所有的等边三角形满足对应角相等，对应边成比例，故该选项是正确的； B、所有的矩形对应角相等，边不一定成比例，故该选项是错误的； C、所有的菱形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的； D、所有的平行四边形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的； 故选：A 5．（21-22九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为 ． 【答案】6 【分析】设另一个与它相似的六边形的最短边为，再根据其周长的比等于相似比进行解答即可． 【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为， 由题意，得：， 整理得：， 解得：， 故答案为： 6． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【答案】不能，见解析 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解． 【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）． 题型三、相似多边形的性质 7．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）若两个相似多边形的相似比为，则它们周长的比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形周长之比等于相似比，是解决问题的关键． 根据相似多边形周长之比等于相似比解答． 【详解】∵相似多边形的相似比是，周长的比等于相似比， ∴周长的比是． 故答案为：． 8．（2024·贵州·一模）如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】解：这两个图形两个形状相同， 即两个图形相似， 则对应线段的比相等， 因而， ． 的值是． 故选：D 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 【答案】D 【分析】 本题考查了相似多边形的定义及性质，熟记相关结论是解题关键 【详解】解：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形， 所以相似多边形的边数相同、对应边成比例、对应角相等， 故A、B、C不符合题意； 所有的矩形不一定对应边成比例，故所有的矩形不一定都相似， 故D符合题意， 故选：D 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列各组图形相似的是（    ） A．任意两个直角三角形 B．任意两个菱形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查图形的相似，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．根据定义逐一分析解答即可 【详解】解：A、任意两个直角三角形，两组直角边的比不一定相等，两三角形不一定相似，故选项不符合题意； B、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； C、任意两个矩形，对应边的比不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； D、任意两个正方形，对应角相等，对应边的比相等，故一定相似，故选项符合题意． 故选：D． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义． 【详解】解： 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意， 故选：． 4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如果两个相似多边形的面积的比为，则它们的周长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积的比为， ∴它们的周长的比为：． 故选：D． 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ，，， ， ． 故选：． 6．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似 【答案】A 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为，，， ∴甲与丙相似， 故选：A． 【点睛】本题考查相似多边形的概念与判定，解题的关键是要考虑对应角相等，对应边成比例． 7．（2023九年级上·全国·专题练习）下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的等腰梯形 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义，即可求解． 【详解】解：B菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，是相似多边形，则B选项符合题意； A选项边不对应成比例，不是相似多边形，则A选项不符合题意； C选项菱形有不稳定性，形状不固定，不是相似多边形，则C选项不符合题意； D选项等腰梯形形状不固定，不是相似多边形，则D选项不符合题意． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可. 【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似. 故选：C. 9．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 10．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质：如果两个多边形相似，则其对应边成比例， 根据相似形对应边的比相等，就可以求出． 【详解】解：A、∵五边形五边形， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项符合题意； C、五边形的周长是五边形周长，故选项不符合题间； D、，故选项符合题意； 故选：B． 二、填空题 11．（2022九年级上·全国·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 【答案】 对应成比例 相似比 【解析】略 12．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形周长的比等于相似比可求． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴相似多边形的周长之比相似比， 又∵矩形的周长为， ∴矩形的周长为． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了相似四边形的判定，根据任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似；三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似；四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，逐项判断即可，熟练掌握四边形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似，故①说法错误，不符合题意； 三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似，故②说法错误，不符合题意，③说法正确，符合题意； 四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，故④说法正确，符合题意； 综上所述，真命题的序号是③④， 故答案为：③④． 15．（2021九年级上·全国·专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则 ． 【答案】 【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得． 【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键． 16．（22-23九年级上·江西宜春·期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 【答案】32 【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm， ∴相似比， ∴面积比， ∴这次复印出来的图案的面积． 故答案是：32． 【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 17．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．    【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4） 【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可． 【详解】解：根据相似图形的定义可知： （3），（5），（6）是相似图形， （1），（2），（4）不是相似图形． 故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4） 【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键． 18．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直角三角板，都按照如图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正 边形，中间围成的图形和较长直角边围成的图形面积之比是 ． 【答案】 六 【分析】先计算出外围封闭图形和中间围成的图形的每个内角的度数和边长即可得到答案 【详解】详解：如图，∵，三角板的摆法相同， ∴外周的封闭图形为正六边形，边长， ∵， ∴， ∴中间围成的图形也是正六边形， 故答案为：六； ∵边长，， ∴， ∴， ∴内部和外周的正六边形为相似图形，相似比为， ∴面积比为， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似多边形的判定和性质，读懂图形和题意是解题的关键． 三、解答题 19．（2021九年级上·全国·专题练习）图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由． 【答案】不相似，理由见解析 【分析】根据四边形的内角和为360°以及相似多边形的定义：对应角相等，对应边·成比例的两个多边形，叫做相似多边形进行判断即可． 【详解】解：这两个多边形不相似．理由： ∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°， ∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°， ∴这两个多边形不相似． 【点睛】本题考查四边形的内角和为360°、相似多边形的定义，熟知相似多边形的定义是解答的关键． 20．（21-22九年级·全国·假期作业）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上． (1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①； (2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②； (3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)9：4 【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根据图形放大与缩小的方法，把三角形的底和高按2:1扩大后，得到的是底为6，高为6的三角形，由此可画出这个三角形； （2）原长方形的长和宽分别是8和4，根据图形变大与缩小的变化方法，把长方形的长和宽按1:2缩小后，得到的是长为4宽为2的长方形，由此可画出这个长方形； （3）根据三角形的面积=×底×高和长方形面积=长×宽，分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比． 【详解】（1）解：如图1，①即为所求． （2）解：如图2，②即为所求． （3）解：①的面积： ②的面积： 面积比：18:8=9:4 ∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4． 故答案为：9:4． 【点睛】本题考查图形的放大与缩小（按一定比例把图形放大或缩小，形状不变，边和大小会发生变化，各边的变化都符合指定的比，面积会扩大或者缩小比的平方倍），化简整数比（把比的前项和后项同时除以他们的最大公因数），初步体会图形的相似．解题的关键是理解按2：1放大就是把原图的各边长放大2倍，按1：2缩小就是把原图的各边长乘以及化简比结果是一个比，有比号． 21．（20-21九年级上·全国·课后作业）将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来： 【答案】见解析 【分析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形变换叫作轴对称变换． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是对平移变换，相似变换，旋转变换，轴对称变换的认识，根据概念作出回答是解题关键． 22．（23-24九年级上·贵州安顺·阶段练习）（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 【答案】（1）（2），， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，相似多边形的性质，多边形内角和． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【详解】解：（1） 解得：； （2）四边形四边形， ， ， ，即， ，即， ， ． 23．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质； （1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得； （2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 24．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 【答案】米 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等是解题的关键； 根据多边形的性质之列出比例式，计算即可． 【详解】矩形矩形 ，即， 设的长为x米 ， 解得： ，或（负数不合题意舍去）， 的长为米。 25．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 26．（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$