第05讲 圆（3知识点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第05讲 圆 课程标准 学习目标 1 理解圆的基本概念，如圆心、半径、直径等； 2 掌握圆的性质，如圆的对称性、弧、弦、圆心角的关系等； 3 能够运用圆的知识解决实际问题； 4 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 1. 全面掌握圆的基础知识； 2. 能够熟练运用圆的知识解决问题； 3. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 知识点一、圆的定义及表示 1. 圆的定义 定义一、如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径. 定义二、圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. （1） 圆上的各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2） 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 2. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. PS：确定一个圆需要两个要素，一个是圆心（确定圆的位置），一个是半径（确定圆的大小）. 知识点二、点和圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语音 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆内 点P在圆上 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆内 点P在圆外 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 知识点三、与圆有关的概念. 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC； 直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB. 弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； 2.弧、半圆、优弧、劣弧 （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧； （2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图所示的（绿色部分）； （4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图所示的（蓝色部分）. ①弧与弦的区别：弧上圆上两点间的部分，是一条曲线，弦是圆上两点间的线段； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆. 3.圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角，如图所示的∠AOB. （1）在同一个圆中，圆的两条半径所夹的角就是圆心角； （2）一条弧所对的圆心角只有一个. 4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（半径相等的两个圆就是等圆），等圆和圆心的位置无关； 5.等弧：能够互相重合的弧叫做等弧（长度相等的弧不一定是等弧）. 题型01 圆的概念 1．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（　　） A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm 2．在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（　　） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 题型02 点与圆的位置关系 1．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外 2．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定 3．平面上有⊙O及⊙O内一点P，P到⊙O上一点的距离最长为10cm，最短为4cm，则⊙O的半径为　　cm． 4．⊙O的半径是6cm，点P与圆心O的距离是4cm，则点P在⊙O 　　．（填写“内”、“上”、“外”） 题型03 弦的概念 1．如图，A，B，C，E四点在⊙O上，点A，O，B，点C，O，D，点B，D，E分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 4．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦长AB＝　　． 题型04 弧的概念 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 　　，以点A为一个端点的优弧有 　． 3．如图，在⊙O中，AB经过O点，C点在圆上，连接AC、BC．写出图中的优弧 　 　． 4．如图，　　是直径，　 　是弦，以E为端点的劣弧有 　 　，以A为端点的优弧有 　　． 题型05 圆的轨迹最值问题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为 　　． 2．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，若⊙O的半径为2，圆心O在线段BC上运动，则点A到⊙O上的点的距离最小值为 　　． 3．如图，点A的坐标为（6，8），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝5，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最小值为 　　． 1．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D在边AB上，且AD＝5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 3．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　） A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定 4．如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 5．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D． 6．如图，已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 　 　． 7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是点P在 　 　． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是 　 　． 9．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在⊙O的 　 　．（填“内部”、“外部”、“上”） 10．如图，点A、B的坐标分别为A（0，4）、B（4，0），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 　 　． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 13．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？ 14．设AB＝2cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形． （2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形． 15．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上． （1）在图中清晰标出点P的位置； （2）点P的坐标是 　 　，⊙P的半径是 　 　． 16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围． 18．如图．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别为AB，AC的中点，以B为圆心，BC为半径画圆．试判断点A，C，E，F与⊙B的位置关系．并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆 课程标准 学习目标 1 理解圆的基本概念，如圆心、半径、直径等； 2 掌握圆的性质，如圆的对称性、弧、弦、圆心角的关系等； 3 能够运用圆的知识解决实际问题； 4 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 1. 全面掌握圆的基础知识； 2. 能够熟练运用圆的知识解决问题； 3. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 知识点一、圆的定义及表示 1. 圆的定义 定义一、如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径. 定义二、圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. （1） 圆上的各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2） 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 2. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. PS：确定一个圆需要两个要素，一个是圆心（确定圆的位置），一个是半径（确定圆的大小）. 知识点二、点和圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语音 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆内 点P在圆上 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆内 点P在圆外 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 知识点三、与圆有关的概念. 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC； 直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB. 弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； 2.弧、半圆、优弧、劣弧 （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧； （2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图所示的（绿色部分）； （4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图所示的（蓝色部分）. ①弧与弦的区别：弧上圆上两点间的部分，是一条曲线，弦是圆上两点间的线段； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆. 3.圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角，如图所示的∠AOB. （1）在同一个圆中，圆的两条半径所夹的角就是圆心角； （2）一条弧所对的圆心角只有一个. 4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（半径相等的两个圆就是等圆），等圆和圆心的位置无关； 5.等弧：能够互相重合的弧叫做等弧（长度相等的弧不一定是等弧）. 题型01 圆的概念 1．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（　　） A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm 【分析】根据圆的认识进行解答即可． 【解答】解：∵AB＝2cm， ∴圆的直径是4cm， 故选：C． 【点评】此题考查圆的认识，关键是根据圆的概念进行解答． 2．在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（　　） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】在平面内与点P的距离为1cm的点在“以点P为圆心，1cm为半径的圆”上． 【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合， 故选：A． 【点评】本题主要考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得． 【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； B．圆有无数条对称轴，正确； C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误； D．圆的对称中心是它的圆心，正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握圆的对称性． 题型02 点与圆的位置关系 1．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外 【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【解答】解：∵点P的坐标是（4，3）， ∴OP5， 而⊙O的半径为5， ∴OP等于圆的半径， ∴点P在⊙O上． 故选：C． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 2．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定 【分析】根据：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断； 【解答】解：∵r＝4，d＝4.5， ∴d＞r， ∴点P在⊙O外． 故选：C． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 3．平面上有⊙O及⊙O内一点P，P到⊙O上一点的距离最长为10cm，最短为4cm，则⊙O的半径为　　cm． 【分析】点P在⊙O的内部，则⊙O的直径为10cm和4cm的和． 【解答】解：点P在⊙O的内部，则⊙O的直径为10+4＝14（cm）， 所以⊙O的半径为7cm； 故答案为7． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 4．⊙O的半径是6cm，点P与圆心O的距离是4cm，则点P在⊙O 　　．（填写“内”、“上”、“外”） 【分析】根据⊙O的半径为r和点P到圆心的距离OP＝d的大小关系判断即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为4cm，4＜6， ∴点P在⊙O内， 故答案为：内． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r； ①点P在圆内⇔d＜r． 题型03 弦的概念 1．如图，A，B，C，E四点在⊙O上，点A，O，B，点C，O，D，点B，D，E分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【解答】解：图中的弦有AC，AB，BE共三条， 故选：B． 【点评】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键． 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫弦）作答． 【解答】解：⊙O中的弦有：弦BD，弦AB，弦CD，共有3条． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆的认识，在圆中，直径是最长的弦． 3．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案． 【解答】解：∵⊙O的半径是5cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm， 故选：B． 【点评】本意主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦长AB＝　　． 【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答． 【解答】解：∵OA＝OB＝5，∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形， 故AB＝5． 故答案为：5． 【点评】同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件． 题型04 弧的概念 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 正确的只有1个， 故选：A． 【点评】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 　　，以点A为一个端点的优弧有 　． 【分析】根据大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧解答即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C在圆上， ∴以点A为一个端点的劣弧有，以点A为一个端点的优弧有， 故答案为：，． 【点评】本题考查的是圆的认识，解答此题时要根据大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧解答． 3．如图，在⊙O中，AB经过O点，C点在圆上，连接AC、BC．写出图中的优弧 　 　． 【分析】根据优弧的定义求解． 【解答】解：图中的优弧有：，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了圆的认识：正确理解与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解决问题的关键． 4．如图，　　是直径，　 　是弦，以E为端点的劣弧有 　 　，以A为端点的优弧有 　　． 【分析】根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义求解． 【解答】解：在⊙O中，AB是直径，CD、EF、AB是弦，以E为端点的劣弧有、、、、，以A为端点的优弧有、、、； 故答案为：AB；CD、EF、AB，、、、、，、、、． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 题型05 圆的轨迹最值问题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为 　　． 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，即可求解． 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE，AD， 在直角△ABC中，AB13， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CEAB＝6.5， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴MEAD＝1.5， M轨迹为以E为圆心，1.5为半径的圆， ∴线段CM长度的最小值为6.5﹣1.5＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 2．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，若⊙O的半径为2，圆心O在线段BC上运动，则点A到⊙O上的点的距离最小值为 　　． 【分析】连接AO，交⊙O于点D，由图可知：点A到⊙O上的点的距离为AD＝AO﹣OD，根据AD＝AO﹣2，可知当AO最小时，AD也最小，根据垂线段最短可知：当AO⊥BC时，AO最小，问题随之得解． 【解答】解：连接AO，交⊙O于点D，如图， 由图可知：点A到⊙O上的点的距离为AD＝AO﹣OD， ∵⊙O的半径为2， ∴OD＝2， ∴AD＝AO﹣2， 即当AO最小时，AD也最小， ∴根据垂线段最短可知：当AO⊥BC时，AO最小， ∵△ABC是等边三角形，， ∴， 当AO⊥BC时，有， ∴， ∴AD＝AO﹣2＝4， ∴点A到⊙O上的点的距离的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及垂线段最短等知识，灵活运用垂线段最短，构造合理的辅助线，是解答本题的关键． 3．如图，点A的坐标为（6，8），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝5，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最小值为 　　． 【分析】作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到BDEC，求出CE的最小值即可． 【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点E（6，﹣8）， 则点B是AE的中点， 又∵点D是AC的中点， ∴BD是△AEC的中位线， ∴BDEC， ∴当EC最小时，BD最小， ∵点C为坐标平面内一点，且OC＝5， ∴点C在以O为圆心，5为半径的⊙O上运动， ∴当EC＝OE减去半径时，EC最小． ∵OB＝6，BE＝8， ∴OE＝10， ∴CE的最小值为10﹣5＝5， ∴BD的最小值． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定BD为最小值时点C的位置是解题的关键． 1．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系． 【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4， ∴d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外． 故选：A． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D在边AB上，且AD＝5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】首先根据三角形中位线的性质得出OPAD，进而利用点与圆的位置关系得出即可． 【解答】解：连接OP，∵以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P， ∴OP是△CAD的中位线， ∴OPAD＝2.5， ∵AO＝COAC＝2， ∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外． 故选：C． 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 3．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　） A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【解答】解：∵点P在⊙O外， ∴d＞3． 故选：A． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 4．如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【分析】根据图中的点在圆的分布位置，即可作答． 【解答】解：A、因为点P在圆上，所以点P到圆心O距离即为半径，为5，故该选项是错误的； B、因为点Q在圆内，所以点Q到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的； C、因为点M在圆内，所以点M到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的； D、因为点N在圆外，所以点N到圆心O距离大于半径5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是点N，故该选项是正确的； 故选：D． 【点评】本题考查了点与圆心的位置关系，难度较小． 5．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．利用三角形的中位线定理可得EH＝1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆． 【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH． ∵CE＝EP，CH＝AH， ∴EHPA＝1， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆， ∵C（0，4），A（3，0）， ∴H（1.5，2）， ∴OH2.5， ∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5， 故选：B． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 6．如图，已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 　4＜r＜4　． 【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【解答】解：如图，连结AC，BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴AC4， ∵以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内， ∴r＞4， ∵至少有一点在圆外， ∴r＜4， ∴⊙A半径r的取值范围是：4＜r＜4． 故答案为：4＜r＜4． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是点P在 　圆内　． 【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解． 【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2）， ∴OP5，因而点P在⊙O内． 故答案为：圆内． 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是 　4＜r＜5　． 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝4，CD＝3， ∴AD5． ∵BC＝7，CD＝3， ∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4． ∵以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内， ∴r的范围是4＜r＜5， 故答案为：4＜r＜5． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 9．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在⊙O的 　外部　．（填“内部”、“外部”、“上”） 【分析】先求出方程x2﹣4x﹣5＝0的根，得到d的值，再根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【解答】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0， 得x＝5或﹣1， ∵d＞0， ∴d＝5， ∵⊙O的半径为4， ∴d＞r， ∴点P在⊙O外． 故答案为：外部． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了一元二次方程的解法． 10．如图，点A、B的坐标分别为A（0，4）、B（4，0），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 　21　． 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝42， ∴OMCD＝21，即OM的最大值为21， 故答案为：21． 【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数． 【分析】先利用互余计算出∠B＝65°，再利用半径相等得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠B＝65°，然后利用三角形外角性质计算∠DCE的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝65°， ∵CB＝CD， ∴∠CDB＝∠B＝65°， ∵∠CDB＝∠DCE+∠A， ∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°． 【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等组成等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 【分析】连结OC、OD，由直角三角形斜边上的中线定理得OA＝OB＝OC＝ODAB，则可得出结论． 【解答】证明：连结OC，OD， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中点为O， ∴OA＝OB＝OC＝ODAB， ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 13．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？ 【分析】连接OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD． 【解答】解：AC与BD相等．理由如下： 连接OC、OD，如图， ∵OA＝OB，AE＝BF， ∴OE＝OF， ∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFD＝90°， 在Rt△OEC和Rt△OFD中， ， ∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL）， ∴∠COE＝∠DOF， ∴， ∴AC＝BD． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 14．设AB＝2cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形． （2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形． 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，则到点A和点B的距离都等于1.5cm的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于1.5cm的点在以A点为圆心，1.5cm为半径圆内；到点B的距离大于1cm的所有点在以B点为圆心，1cm为半径的圆外． 【解答】解：（1）如图1， 分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，它们的交点为所求； （2）以A点为圆心，1.5cm为半径画⊙A；以B点为圆心，1cm为半径画⊙B，如图2， ⊙A和⊙B相交于P和Q，则在⊙A内，除去⊙A与⊙B的公共部分为所求． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 15．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上． （1）在图中清晰标出点P的位置； （2）点P的坐标是 　（6，6）　，⊙P的半径是 　5　． 【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点． 【解答】解：（1）弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，因而交点P的坐标是（6，6）． （2）点P的坐标是，⊙P的半径是P的半径是PA的长，， 故答案为：（6，6），5． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，掌握圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键． 16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC，再利用面积法计算出DE； （2）利用B、C、D、E到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD5， ∵AC•DEDC•AD， ∴DE； （2）∵AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围． 【分析】连接CD，过点A作AE⊥BC于点E．过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判断． 【解答】解：连接CD，过点A作AE⊥BC于点E．过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE， ∵AB＝AC＝2，BC＝4， ∴BEBC＝2， ∴AE4， ∵点D是AB中点，即DF是中位线 ∴DFAE＝2，BFBE＝1， ∴CF＝3， ∴CD， 又DBAB， ∴r的取值范围是r． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 18．如图．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别为AB，AC的中点，以B为圆心，BC为半径画圆．试判断点A，C，E，F与⊙B的位置关系．并说明理由． 【分析】求得A、E、F到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【解答】解：连接BF． C在⊙B上； 在直角△ABC中，AB5＞BC， 则A在⊙B的外部； BEAB53＝BC，则E在⊙B内部； CFAC4＝2，则在直角△BCF中，BFBC，则F在⊙B的外部． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$