3.乘法(数学思维训练)-【训练达人】2025-2026学年四年级上册数学（北师大版）

答案详析 =∠2+∠3、∠COE=∠3+∠4： +(∠1+∠2+∠3)=10×∠1 由三个角组成的角：∠AOD=∠1+∠2+∠3、 又因为10×∠1=200°， ∠BOE=∠2+∠3+∠4。 所以∠1=200°÷10=20°， 最后把所有角相加，计算出角度之和。 ∠AOD=20°×3=60°. ∠1+∠2+∠3+∠4+∠AOC+∠BOD+ 答：∠AOD的度数是60°。 ∠COE+∠AOD+∠BOE 乘法 =∠1+∠2+∠3+∠4+（∠1+∠2）+（∠2+ ∠3)+（∠3+∠4）+（∠1+∠2+∠3）+ 典例讲解1了 (∠2+∠3+∠4) ②4同 =3×(∠1+∠2+∠3+∠4)+2×（∠2+∠3） 36 =3×180°+2×90° 14⑦0 =720 ☑35 答：图中所有小于平角的角的度数之和是720°。 8820 举一反三2 举一反三1 【思路分析】已知射线OB,OC三等分锐角 1.【思路分析】(1)为了方便计算，我们将口中的 ∠AOD,也就是把∠AOD平均分成了3份， 数字用字母代替。 那么∠AOB=∠BOC=∠COD,这三个角都 2AB 是锐角。可以将每个角重新标记如图，方便 2C 后面的计算。列举出所有小于平角的角。 DEF ©48 回2 ①个位数值直接落下来，所以F=2:②由2AB ×2=G48,可知B=9或B=4,因为2A=4或 单一角：∠1、∠2、∠3： 14,所以B≠9，即B=4:A=2或A=7:③由4 由两个角组成的角：∠AOC=∠1十∠2、 ×C=12或4×C=32,可知C=3或C=8。 ∠BOD=∠2+∠3： 因为2ABXC的积是三位数，所以C≠8：④分 由三个角组成的角：∠AOD=∠1+∠2+∠3。 别讨论A=2或A=7的情况，即可求解。 已知∠1=∠2=∠3，则： (2)①先从三位数乘两位数的个位上的数入 ∠1+∠2+∠3+（∠1+∠2）+（∠2+∠3） 手，想2☐9×☐=65☐，看积的最高位百位， +(∠1+∠2+∠3)=10×∠1 2×☐得到结果6，若考虑进位，☐为2的情况 又因为所有锐角度数之和为200°，所以10× 下，并不能得到结果6，所以☐只能是3。此时 ∠1=200°，由此可求得∠1的度数，进而求得 可知2☐9×3=65☐为219×3=657。②从最 ∠AOD的度数。 终结果☐☐98口与657的差可得出三位数与 【规范解答】对图中三个小角进行标注∠1、 两位数十位上的积是☐口33。已知积的后两 ∠2和∠3。 位，看三位数的末尾9，它只能与7相乘得到 因为分成的三个角都相等，所以： 末尾为3的积，那么可以得出两位数的十位 ∠1+∠2+∠3+（∠1+∠2）+（∠2+∠3） 上的口为7。最后将算式计算完整即可。 ◆◆25 小学数学四年级 上册 【规范解答】 【规范解答】1036÷4=259384÷6=64 (1) 224 274 259×64=16576 23 23 答：原来的积应该是16576。 672 822 2.【思路分析】只把其中一个因数的个位写错， 548 另一个因数不变的情况下，看积的变化，一个 ④48 将5错写成3，一个将5错写成8，那么就相差 5152 6302 8一3=5个没有写错的因数。积相对增加了 (2) 21□9 672-552=120,则没写错的因数是120÷5=24， 73 552÷24=23,23→25.所以原式为24×25=600. 657☑ 【规范解答】8-3=5 1533 672-552=120 120÷5=24 15987 552÷24=23 2.【思路分析】①由三位数个位上的数B乘两位 23→25原式为24×25=600 数的积BXD=D,B×C=C可知B=I:②两 答：正确的乘积是600。 步积之和的最高位由B变为C说明有进位， 典例讲解3 所以C=2:③看所求积的十位，由B=1,C=2 531×72=38232积最大是38232 UU1 23 257×13=3341积最小是3341 可知D=3:④则此时竖式确定为2口13，先 答：积最大是38232，积最小是3341。 1▣▣2 举一反三3 2AA33 1.【思路分析】要使两个数的积最大，这两个数 看三位数×3，积的个位没有进位的情况下， 要尽量大，所以两个数的最高位应该选4和 十位上是1，则三位数的十位只能是7：⑤因为 5,并且要使两个数相差的尽可能少。相反的 积的最高位有进位，所以三位数的最高位是8 要使两个数之积最小，两个数尽量小，且两数 或9，经验算为8时，积的千位和百位数相同， 相差的多。①积最大：若把4和5分别放在最 A=0。 高位上且使两数相差尽可能少，52和43相差 【规范解答】分析题中竖式，可以得出A=0, 的少。1最小应该放在最低位上，431和52 B=1,C=2,D=3。则A、B、C、D之和是0+ 相差的少，算式431×52积最大。②积最小： 1+2+3=6 把1和2分别放在最高位上，且让两数相差的 典例讲解2了 多，13和24相差的多。5在个位上，245和13 84÷4=21448÷4=112 21×112=2352 相差的多，能使积最小。算式245×13积最小。 答：正确的积应是2352。 【规范解答】431×52的积最大，245×13的积 举一反三2 最小 1.【思路分析】①已知在另一因数不变的情况 2.【思路分析】要使两个数的积最大，这两个数 下，一个因数增加4，积就增加1036，就是增加 要尽量大，所以两个数的最高位应该选8和 了4个设有变的因数，这个因数为1036÷4 9,并且要使两个数相差的尽可能少。相反， 259。②在一个因数不变的情况下，另一个因 要使两个数的积最小，两个数尽量小，且两个 数减少6，积就减少384，就是减少6个没有变 数相差的多。①积最大：若把8和9分别放在 的因数，这个因数为384÷6=64。③已知两 最高位上且使两数相差尽可能小，83和92相 个因数分别为259和64，计算可得原来的积。 差的少。0最小应该放在最低位上，算式830 26D● 答案详析 ×92或83×920的积最大。②积最小：把2 数，通过规律即可得出最后一题结果。 和3分别放在最高位上，且让两数相差的多， 【规范解答】3×4=12 38和20相差的多，9在个位上，389和20相 33×34=1122 差的多，能使积最小。算式389×20的积 333×334=111222 最小。 333333333×333333334=111111111222222222 【规范解答】830×92或83×920的积最大， 389×20的积最小。 四 运算律 典例讲解4/ 典例讲解1 96÷4×3=72 1+2+3+4+…+99+100 答：最后的积是72。 =(1+100)+(2+99)+…+(50+51) 举一反三4 -101×50 【思路分析】假设另一个因数不变，一个因数 =5050 乘2，那么积就乘2：假设一个因数不变，另一 举一反三1 因数除以5，那么积就除以5。如果两个因数 L.【思路分析】求和时可以运用加法交换律和 同时变化，一个因数乘2，另一因数除以5，则 加法结合律，将91和99,92和98，…共 积先乘2再除以5就是最后的积。 能结合成4组，还余下一个95，再相加计算 【规范解答】70×2÷5=28 即可。 答：积是28。 【规范解答】 典例讲解5 91+92+93+94+95+96+97+98+99 9999×1=9999 9999×2=19998 =(91+99)+(92+98)+(93+97)+(94+ 9999×3=29997 9999×4=39996 96)+95 9999×5=49995 9999×6=59994 =190×4+95 9999×7=69993 9999×8=79992 =855 9999×9=89991 2.【思路分析】2,4,6，…，48,50，可以运用加法 举一反三5 的交换律和结合律，将2和48,4和46,6和 1.【思路分析】第一个算式的计算结果是一个九 44,…分别组合在一起。50÷2÷2= 位数111111111，再观察后面算式可以发现， 12(组)…1（个），共有12组这样的组合，使 第一个因数相同的情况下，第二个因数都与 每一组数的结果都是50，还余一个数字50，最 第一个算式中的9成倍数关系。可以直接通 后再加上50求和即可。 过倍数的应用写出其他几道题的得数。 【规范解答】 【规范解答】12345679×9=111111111 2+4+6+…+48+50 12345679×18=222222222 =(2+48)+(4+46)+·+(24+26)+50 12345679×54=666666666 =50×12+50 12345679×81=999999999 =650 2.【思路分析】通过计算器计算可得3×4=12， 33×34=1122,333×334=111222。观察式 典例讲解2 子可得结果中1和2成规律组合出现，1和2 1832-192-275-208-125 的数量则由因数的位数决定，例如33×34，两 =1832-(192+208)-(275+125) 个因数都为两位数，则所得积中1和2都是2 =1832-400-400 个，为1122。最后一题中，两个因数都为九位 =1032 27数学思维训练 乘法 典例讲解1 在下面的里填上合适的数字，使竖式成立。 4 6 0 5 8 【点拨】运用逆推法的计算法则，寻找两个因数与积之间的关系。①第一步 看4☐×6=1■☐0，由积的个位是0，可以推出第一个因数的个位上 的数是5；把5代入竖式计算，可知积的十位是7；根据170可知第一个因 数的百位上的数是2，从而得到第一个因数是245，第一步算得积是1470。 ②第二步看245×☐=☐5，由积的个位是5，可以推出第二个因数的 十位可能是1、3、5、7或9，再看积是三位数，如果是5、7、9，积就是四位数， 不合题意；如果是1，最终积的千位是3，而不是8，所以，第二个因数的十位 只能是3。 举一反三1 1.在■中填入合适的数字，使竖式成立。 (1) (2) 2 9 2 6 5 4 2 98 DDP5 小学数学四年级上册 2.在下面的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数 字，则A、B、C、D的和是多少？ B × C D C B D B ■ C CAADD 典例讲解2 明明和磊磊做一道乘法算式题，明明误将一个因数增加4，计算的积增加了 84,磊磊误将另一个因数增加4，积增加了448。那么正确的积应是多少？ 【点拨】运用抓不变量法和乘法的性质解决错中求解问题。①由“明明误将 一个因数增加4，计算的积增加了84”可知，相当于增加了4个另一个因数， 另一个因数是84÷4=21；②又由“磊磊误将另一个因数增加4，积增加了 448”可知，这个因数是448÷4=112。所以正确的积应是21×112=2352。 举一反三2 1.两个数相乘，如果一个因数增加4，另一个因数不变，那么积就增加1036， 如果一个因数不变，另一个因数减少6，那么积就减少384。原来的积是 多少？ 2.小颖在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字5误写成3，得出 的乘积是552：另一个学生却把这个5误写成8，得出的乘积是672。正确 的乘积是多少？ 6◆>D 数学思维训练H 典例讲解3 从五张数字卡片1、2、3、5、7中分别选出三张和两张，排出一个三位数和一 个两位数，把它们相乘，积最大是多少？积最小是多少？ 【点拔】要使两个数的乘积大，首先这两个数要尽量大，且两个数尽量接近， 相差的要少。反之，要使两个数的乘积小，那么这两个数要尽量小，且两个 数相差的要多。①要使两个因数的乘积最大，则两个因数最高位上选择 “5”和“7”；然后考虑“2”和“3”的位置，可分别组成“72和53”与“73和52”， 72一53=19,73一52=21，“72”和“53”相差的少，所以选择“72”和“53”；最 后考虑1的位置，可分别组成“721和53”与“72和531”，721一53=668,531 一72=459，“531”和“72”相差的少，所以531和72的乘积最大，则531×72 的积最大是38232。②要使两个因数的乘积最小，则两个因数最高位上选 择“1”和“2”；然后考虑“3”和“5”的位置，可分别组成“13和25”与“15和 23”,25-13=12,23一15=8，“25”和“13”相差的多，所以选择“25”和“13”； 最后考虑7的位置，可分别组成“257和13”与“25和137”，257一13=244， 137一25=112，“257和13”相差的多，所以257×13的积最小是3341。 举一反三3 1.用1、2、3、4、5这5张数字卡组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最 大，应该是哪两个数相乘？要使乘积最小呢？ DDP7 小学数学四年级上册 2.用0、2、3、8、9这5个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大， 应该是哪两个数相乘？要使乘积最小呢？ 典例讲解4 两数相乘，积是96。如果一个因数除以4，另一个因数乘3，那么最后的积 是多少？ 【点拨】一个因数除以4，假设另一个因数不变，积就除以4；另一个因数乘 3,假设一个因数不变，积就乘3。如果一个因数除以4，另一个因数乘3，则 最后的积应是用现在的积先除以4，再乘3。 除以4 96÷4 积是96 同时除以4乘3 96÷4×3=72 乘3 96×3 举一反三4 两数相乘，积是70。如果一个因数乘2，另一个因数除以5，那么积是多少？ 8>D 数学思维训练 典例讲解5 先用计算器计算出前四道算式，再总结规律直接写出其他算式的结果。 9999×1= 9999×2= 9999×3= 9999×4= 9999×5= 9999×6= 9999×7= 9999×8= 9999×9= 【点拨】运用归纳法解决计算规律问题。通过计算可以得出前四道算式的 积分别是“9999、19998、29997、39996”，第一道算式积的万位上没有数字， 暂且用0代替，由前四道算式总结规律：(1)每个积的中间三个数字都是 “9”,(2)积的万位都比第二个因数少1，(3)积的万位数字与个位数字相加 等于“9”。 则：9999×5=499959999×6=599949999×7=699939999×8=79992 9999×9=89991 举一反三5 1.先计算下面的第一题，然后找出规律，并根据规律直接写出后几道题的得数。 12345679×9= 12345679×18= 12345679×54 12345679×81= 2.先用计算器计算出前三道题的结果，找出规律后直接写出最后一道题的 结果。 3×4= 33×34= 333X334= 333333333×333333334= DDP9