2.4 第4课时 角平分线的性质与判定的应用 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第2章 轴对称图形 2.4 第4课时 角平分线的性质与判定的应用 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 知识回顾 1.角是轴对称图形吗？ 角是轴对称图形， 角平分线所在直线是它的对称轴. 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角平分线定理及其逆定理各是什么？ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. O E D P C A B 1． 画出下面这个三角形的三个内角的平分线，你发现了什么特点? 新知探索 495211216@qq.com (4) - 学生先画图，然后证明，让学生感受合情推理与演绎推理 画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 分析：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可.思路可表示如下： AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PD=PF PD=PE PF=PE 点P在∠BCA的平分线上 A B C P D F 你能给出证明过程吗？ 如何证明？ E 一起探究 发现：三角形的三条角平分线交于一点． 获取新知 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC， PN⊥AC, 垂足分别为F、M、N. ∵AD是△ABC的角平分线，点P在AD上（已知）, ∴PF=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PF=PM. ∴ PM=PN（等量代换）. ∴ 点P在∠BCA的平分线上. A B C P M F N E D 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在∠ACB的平分线上. 验证 三角形三个内角的平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等. 归纳总结 例1：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：AD垂直平分EF. 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAD=∠CAD， ∴∠ADE=∠ADF. ∴DE=DF，AE=AF， ∴点D,A都在EF的垂直平分线上. ∴AD垂直平分EF. 例题讲解 变式：如图,D是△ABC的边BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE=DF.求证:AD垂直平分EF. 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED=∠AFD=90°. 在Rt△ADE和Rt△ADF中, ∴Rt△ADE≌Rt△ADF. ∴AE=AF. 又∵DE=DF, ∴点D,A都在EF的垂直平分线上. ∴AD垂直平分EF. 全品初中 例2 如图直线AB,CD相交于点O,点M在OD上,在∠AOD的内部有一点N,现要在∠AOD的内部找一个点P,使点P到AB,CD的距离相等,且使PM=PN,用尺规作出点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹) 解：如图所示： 1.到三角形三边的距离都相等的点是三角形的 (　　) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 A 随堂演练 全品初中 2.角是轴对称图形,它的对称轴是　　 　 　　　　　　.  角平分线所在的直线 全品初中 3.如图,△ABC的三条角平分线交于点O,OD⊥AB于点D.若△ABC的周长为60,OD=5,则△ABC的面积为　　　　.  4 150 全品初中 4. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G H M ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC, ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC, ∴FM＝FH, ∴FG＝FH, ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 （等量代换） 课堂小结 说说你本节课你有什么收获？ $$