专题 全等三角形常见的基本模型（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》 专题 全等三角形常见的基本模型 题型一 平移模型 平移模型展示 沿同一直线 (BC) 平移可得两三角形重合 (BE=CF) 1．（2024•荔湾区一模）如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF． 求证：△ABC≌△DFE． 2．已知：如图，点E是AC的中点，BA⊥AC于A，DE⊥AC于E，∠B＝∠D， 求证：BE＝DC． 3．（2023秋•枣阳市期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． 求证：AC＝DF． 4．（2023春•埇桥区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．试说明： （1）△ABC≌△DEF； （2）∠A＝∠EGC． 5．已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明． 6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 7．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF． （1）求证：AC＝DF； （2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数． 题型二 对称模型 对称模型展示 有公共边： 有公共顶点： 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合. 1．（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，求证：BC＝ED． 2．（2023•越秀区校级二模）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 3．（2023春•桑植县期末）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：∠B＝∠C． 4．（2024•碑林区校级模拟）如图．已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的中点，连接BE、CD． 求证：BE＝CD． 5．（2024春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作DE∥BC，且AD＝AE，连接BD，CE．试说明：BD＝CE． 6．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：∠ABD＝∠ADB． 7．（2024•凉州区校级三模）如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且OB＝OC． 求证：AO平分∠BAC． 8．（2023春•明水县期中）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF． 求证：（1）∠1＝∠2． （2）CM＝BN． ​ 题型三 旋转共顶点模型 旋转模型展示 绕公共顶点旋转可得两个三角形重合. 1．（2024•海珠区校级二模）如图，AD＝AB，∠D＝∠B，∠EAC＝∠DAB，求证：AE＝AC． 2．（2023•大连）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE． 求证：∠ABD＝∠ACE． 4．（2024•阎良区校级二模）如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD． 5．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 6．（2023•宜兴市二模）如图，△ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，点D在线段AB上（与A，B不重合），连接BE． （1）证明：△ACD≌△BCE． （2）若BD＝3，BE＝7，求AB的长． 7．（2024•杭州三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数． 8．（2032秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F． （1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD； （2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为　　； （3）如图3，直接写出∠AFD的度数为　　 （用含α的式子表示）． 题型四 旋转不共顶点模型 旋转模型展示 1．（2024•泸州校级二模）如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：EF∥BC． 2．（2024•江阳区校级三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF． 3．（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 4．（2023春•连平县期末）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 5．（2023秋•大化县月考）如图，A、E、F、C四点在同一直线上，AE＝CF，过E、F分别作BE⊥AC，DF⊥AC，且AB＝CD．求证： （1）AB∥CD； （2）BD平分EF． 6．（2023春•碑林区校级期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度数． 7．如图所示，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC， 且AB＝CD． （1）如图①所示，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？试说明理由． （2）如图②所示，若将△DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中结论是否还能成立？请说明理由． 题型五 三垂直模型 三垂直模型展示 已知 A , B , C 三点共线,且 ∠1=∠2=∠3=90° . 1．（2023春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． 求证：△ABE≌△CAF． 2．（2023秋•江州区期末）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE＝49cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小和墙AD的高（每块砖的厚度都为a cm）． 3．（2023春•横山区期末）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD． （1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 4．如图，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延长线于点G，EF⊥BD交BD的延长线于点F．求证：CG+EF＝BD． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，在MN绕点C旋转过程中，以上关系保持不变 （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，DE、AD、BE三者之间有怎样的等量关系，证明你的结论； （3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论． 6．（2023秋•邓州市期中）已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，作FA⊥AB于点A，且AF＝BD，连结DC、DF． （1）自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　； （2）思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的 　 　侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时BC＝2，AB＝1，则AF的长度为 　 　． 7．（203秋•阳信县期中）在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D （1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD； （2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD； （3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型六 一线三等角模型 一线三等角模型展示 （1）点 P 在线段 AB 上: （2）点 P 在线段 AB 的延长线上: 已知 A , P , B 三点共线,且 ∠1=∠2=∠3 . 1．（2023•碑林区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE． 2．（1）课本习题回放：如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的长． （2）探索证明：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 3．（2023春•宽甸县期中）已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，点E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠a＝90°，则BE与CF的数量关系是 　 　． （2）如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：　 　.并说明理由． 4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE； （2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝　 　（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝　 　（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明． 5．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知： ∠BAD＝∠C（不需要证明）； （1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF； （2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上， ∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF； （3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为　 　． 6．（2023春•平阴县期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 7．（2024春•温江区校级期末）【模型熟悉】 （1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE； 【模型运用】 （2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN； 【能力提升】 （3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》 专题 全等三角形常见的基本模型 题型一 平移模型 平移模型展示 沿同一直线 (BC) 平移可得两三角形重合 (BE=CF) 1．（2024•荔湾区一模）如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF． 求证：△ABC≌△DFE． 【分析】先证明BC＝EF，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DFE． 【解答】证明：∵BE＝FC， ∴BE+EC＝EC+CF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 2．已知：如图，点E是AC的中点，BA⊥AC于A，DE⊥AC于E，∠B＝∠D， 求证：BE＝DC． 【分析】由已知条件易证△ABE≌△EDC，由全等三角形的性质：对应边相等即可得到BE＝DC． 【解答】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∵BA⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BAE＝∠DEC＝90°， 又∵∠B＝∠D， ∴在△ABE和△EDC中 ， ∴△ABE≌△EDC（AAS）， ∴BC＝DC． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质，注意掌握①判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；②全等三角形的对应边对应角分别相等． 3．（2023秋•枣阳市期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． 求证：AC＝DF． 【分析】首先利用平行线的性质得∠B＝∠DEF，再利用SAS得出△ABC≌△DEF，得出∠ACB＝∠F，根据平行线的判定即可得到结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF． 又∵BE＝CF， ∴BC＝EF 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 4．（2023春•埇桥区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．试说明： （1）△ABC≌△DEF； （2）∠A＝∠EGC． 【分析】（1）根据等式性质，由BE＝CF得BC＝EF，再根据SSS定理得△ABC≌△DEF即可； （2）由全等三角形得∠B＝∠DEF，由平行线的判定定理得AB∥DE，再根据平行线的性质得∠A＝∠EGC． 【解答】解：（1）∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠DEF， ∴AB∥DE， ∴∠A＝∠EGC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 5．已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明． 【分析】结论：AC＝DF，AC∥DF．证明△ABC≌△DEF（SAS）即可解决问题． 【解答】解：结论：AC＝DF，AC∥DF． 理由：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF ∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF，∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【分析】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，根据BE＝CF得BC＝EF，可证明△CAE≌△DAE（SAS），根据全等三角形的的性质和平行线的性质即可证得结论； （2）由全等三角形的性质得到∠DEF＝65°，∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键． 7．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF． （1）求证：AC＝DF； （2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF； （2）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，由三角形内角和定理可求∠ACB＝84°，由角平分线的性质和外角的性质可求∠CDF的度数． 【解答】证明：（1）∵AD＝BE ∴AB＝DE ∵BC∥EF ∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF ∴△ABC≌△DEF（SAS） ∴AC＝DF （2）∵△ABC≌△DEF ∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25° ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84° ∵CD为∠ACB的平分线 ∴∠ACD＝42°＝∠BCD ∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF ∴∠CDF＝42° 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键． 题型二 对称模型 对称模型展示 有公共边： 有公共顶点： 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合. 1．（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，求证：BC＝ED． 【分析】由题意可求得∠BAC＝∠EAD，利用SAS即可判定△ABC≌△AED，即可得到结论． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC， ∴∠BAC＝∠EAD， 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴BC＝ED． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用． 2．（2023•越秀区校级二模）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 【分析】先证DB＝DC，再证Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），得∠BAD＝∠CAD，即可得出结论． 【解答】证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°． ∵∠1＝∠2， ∴DB＝DC， ∵AD＝AD， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）． ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 3．（2023春•桑植县期末）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：∠B＝∠C． 【分析】根据在线段BC上BE＝CF，判断出BF＝EC，利用“HL”证出Rt△ABF≌Rt△DCE，进而判断出∠B＝∠C． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝EC， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴∠B＝∠C， 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，找到全等三角形的判定的适用条件是解题的关键． 4．（2024•碑林区校级模拟）如图．已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的中点，连接BE、CD． 求证：BE＝CD． 【分析】由AB＝AC，且ADAB，AEAC，得AD＝AE，而∠A＝∠A，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，则BE＝CD． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴ABAC， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴ADAB，AEAC， ∴AD＝AE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质等知识，推导出AD＝AE，进而证明△ABE≌△ACD是解题的关键． 5．（2024春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作DE∥BC，且AD＝AE，连接BD，CE．试说明：BD＝CE． 【分析】由DE∥BC，∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，则∠DAB＝∠EAC，而AB＝AC，AD＝AE，即可根据“SAS”证明△DAB≌△EAC，则BD＝CE． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE． 【点评】此题重点考查平行线的性质、“等边对等角”、全等三角形的判定与性质等知识，得出△DAB≌△EAC是解题的关键． 6．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：∠ABD＝∠ADB． 【分析】由∠CAD＝∠EAB，推导出∠CAB＝∠EAD，而AC＝AE，∠C＝∠E，即可根据“ASA”证明△CAB≌△EAD，得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB． 【解答】证明：∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠EAB∠BAD， ∴∠CAB＝∠EAD， 在△CAB和△EAD中， ， ∴△CAB≌△EAD（ASA）， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等边对等角”等知识，证明△CAB≌△EAD是解题的关键． 7．（2024•凉州区校级三模）如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且OB＝OC． 求证：AO平分∠BAC． 【分析】先证明△BOD≌△COE，得出OD＝OE，证出点O在∠BAC的平分线上，即可证出AO平分∠BAC． 【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD＝OE， ∴点O在∠BAC的平分线上， 即AO平分∠BAC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角的平分线的判定；证明三角形全等是解决问题的关键． 8．（2023春•明水县期中）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF． 求证：（1）∠1＝∠2． （2）CM＝BN． ​ 【分析】（1）证△ABE≌△ACF（ASA），得∠BAE＝∠CAF，即可解决问题； （2）由全等三角形的性质得AE＝AF，再证△AEM≌△AFN（ASA），得AM＝AN，即可得出结论． 【解答】证明：（1）在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴∠BAE＝∠CAF， 即∠1+∠3＝∠2+∠3， ∴∠1＝∠2； （2）∵△ABE≌△ACF， ∴AE＝AF，AB＝AC 在△AEM和△AFN中， ， ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴AM＝AN， ∵CM＝AC﹣AM，BN＝AB﹣AN， ∴BN＝CM． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法，准确识图确定出全等的三角形是解题的关键． 题型三 旋转共顶点模型 旋转模型展示 绕公共顶点旋转可得两个三角形重合. 1．（2024•海珠区校级二模）如图，AD＝AB，∠D＝∠B，∠EAC＝∠DAB，求证：AE＝AC． 【分析】由∠EAC＝∠DAB可得到∠EAD＝∠CAB，结合条件可证明△EAD≌△CAB，利用全等三角形的性质可得AE＝AC． 【解答】证明： ∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAB， 即∠EAD＝∠CAB， 在△EAD和△CAB中 ∴△EAD≌△CAB（ASA）， ∴AE＝AC． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 2．（2023•大连）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得结论． 【解答】证明：∵∠ACB+∠ACF＝∠ACF+∠AED＝180°， ∴∠ACB＝∠AED， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AB＝AD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE． 求证：∠ABD＝∠ACE． 【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论． 【解答】证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．（2024•阎良区校级二模）如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD． 【分析】由∠1＝∠2，推导出∠BAC＝∠DAE，而AC＝AE，∠C＝∠E，即可根据“ASA”证明△ABC≌△ADE，则AB＝AD． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AB＝AD． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 5．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 【分析】（1）由BC＝DE，∠B＝∠D，AB＝AD，根据“SAS”证明△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠AEC＝∠ACE，由∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝120°，求得∠ACE＝60°． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACE的度数是60°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 6．（2023•宜兴市二模）如图，△ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，点D在线段AB上（与A，B不重合），连接BE． （1）证明：△ACD≌△BCE． （2）若BD＝3，BE＝7，求AB的长． 【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE，得出∠ACD＝∠BCE，由SAS证得△ACD≌△BCE； （2）由（1）知：△ACD≌△BCE，得出AD＝BE＝6，则AB＝AD+BD＝8． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：由（1）知：△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE＝7， ∴AB＝AD+BD＝7+3＝10． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 7．（2024•杭州三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数． 【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB； （2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】（1）证明∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）； （2）解：∵△ABD≌△ECB， ∴BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝75°， ∴∠DBC＝30°， ∴∠ADB＝∠CBD＝30°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中． 8．（2032秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F． （1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD； （2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为　　； （3）如图3，直接写出∠AFD的度数为　　 （用含α的式子表示）． 【分析】（1）先根据等角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，再根据等腰直角三角形的性质得AC＝BC，EC＝DC，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD，然后根据相似三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论． （3）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理和平角的定义即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD， 又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形 ∴AC＝BC，EC＝DC， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD， ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°， ∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD； （2）∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD， ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝120°， ∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝120°， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°； 故答案为：60°； （3））∵∠ACB＝∠DCE＝α， ∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD， ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α， ∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α∴∠AFB＝∠ACB＝α， ∴∠AFD＝180°﹣α． 故答案为：180°﹣α． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，等边三角形的性质． 题型四 旋转不共顶点模型 旋转模型展示 1．（2024•泸州校级二模）如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：EF∥BC． 【分析】先用“边边边”判定图中的两个三角形全等，再得出对应相等的两个角即可判定两直线平行． 【解答】证明：∵AE＝BD， ∴AE+BE＝DB+BE， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠CBA＝∠FED． ∴EF∥BC． 【点评】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及平行线的判定方法．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键． 2．（2024•江阳区校级三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF． 【分析】先利用等角的补角相等得到∠DCE＝∠CDF，则可判断CE∥DE，所以∠EDC＝∠FCD，然后根据“AAS”可判断△ADE≌△BCF． 【解答】证明：∵∠ACE＝∠BDF， ∴∠DCE＝∠CDF， ∴CE∥DE， ∴∠EDC＝∠FCD， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 3．（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 【分析】（1）先由平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再利用ASA证明△ABC≌△DEF即可； （2）利用全等三角形的性质证明BF＝EC，再结合已知条件即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝120m，BF＝38m， ∴FC＝BE﹣BF﹣EC＝44m． 答：FC的长是44m． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 4．（2023春•连平县期末）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 【分析】（1）由AF＝CD，可求得AC＝DF，由AB∥DE，可得∠A＝∠D，利用SAS可证明△ABC≌△DEF； （2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DFE，再利用平行线的判定可证明BC＝EF.. 【解答】证明： （1）∵AF＝CD， ∴AF﹣FC＝CD﹣FC即AC＝DF． ∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D． 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）∵△ABC≌△DEF（已证）， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴∠BCF＝∠EFC， ∴BC∥EF． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 5．（2023秋•大化县月考）如图，A、E、F、C四点在同一直线上，AE＝CF，过E、F分别作BE⊥AC，DF⊥AC，且AB＝CD．求证： （1）AB∥CD； （2）BD平分EF． 【分析】（1）求出AF＝CE，然后利用“HL”证明Rt△BFA和Rt△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝DE，全等三角形对应角相等可得∠A＝∠C，然后利用内错角相等，两直线平行证明即可； （2）利用“角角边”证明△BFG和△DEG全等，根据全等三角形对应边相等可得EG＝FG，从而得证． 【解答】证明：（1）AB与CD平行． ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， 即AF＝CE， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFA＝∠DEC＝90°， 在Rt△BFA和Rt△DEC中，， ∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL）， ∴BF＝DE，∠A＝∠C， ∴AB∥CD； （2）在△BFG和△DEG中， ， ∴△BFG≌△DEG（AAS）， ∴EG＝FG， ∴BD平分EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． 6．（2023春•碑林区校级期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度数． 【分析】（1）先证得AE＝CF，再根据SAS即可证得△AEB≌△CFD； （2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠DCF，由三角形内角和定理求出∠ADC． 【解答】（1）证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）； （2）解：∵△AEB≌△CFD，∠ABE＝20°， ∴∠CDF＝∠ABE＝20°， ∵DF＝CF， ∴∠DCF＝∠CDF＝20°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAF﹣∠DCF＝180°﹣30°﹣20°＝130°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 7．如图所示，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC， 且AB＝CD． （1）如图①所示，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？试说明理由． （2）如图②所示，若将△DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中结论是否还能成立？请说明理由． 【分析】（1）首先根据在直角三角形中，斜边直角边相等证明Rt△ABF与Rt△CDE全等，得到BF＝DE；然后我们根据AAS又可证明△DEG与△BFG全等，就可以得到EG＝FG； （2）EC移动到题图②的位置，AE＝CF，所以AF＝CE，同（1）我们仍可以得到EG＝FG，是不是很简单呢？ 【解答】解：（1）EG＝FG． 理由如下：∵CF＝AE， ∴CF+EF＝AE+EF，即AF＝CE． 又∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∴在Rt△ABF与Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴DE＝BF， ∴在△DEG与△BFG中， ， ∴△DEG≌△BFG（AAS）， ∴EG＝FG． （2）当△DEC的边EC移动至题图②所示位置时，仍有EG＝FG． 同（1）得：Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴BF＝DE， 在△DEG和△BFG中， ， ∴△DEG≌△BFG（AAS）， ∴EG＝FG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABF≌Rt△CDE是解题的关键． 题型五 三垂直模型 三垂直模型展示 已知 A , B , C 三点共线,且 ∠1=∠2=∠3=90° . 1．（2023春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． 求证：△ABE≌△CAF． 【分析】根据已知可得∠CAF+∠BAE＝90°，根据垂直定义可得∠CFA＝∠BEA＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C+∠CAF＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAE，即可解答． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠CAF+∠BAE＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠CFA＝∠BEA＝90°， ∴∠C+∠CAF＝90°， ∴∠C＝∠BAE， ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三等角构造全等模型是解题的关键． 2．（2023秋•江州区期末）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE＝49cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小和墙AD的高（每块砖的厚度都为a cm）． 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由题意得：一块墙砖的厚度为a， ∴AD＝4a，BE＝3a， 由（1）得：△ADC≌△CEB， ∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a， ∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝49， ∴a＝7， ∴AD＝4×7＝28（cm）， 答：砌墙砖块的厚度a的大小为7cm，墙AD的高为28cm． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 3．（2023春•横山区期末）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD． （1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△FAD≌△DBC，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠ADF＝∠BCD，由∠BCD+∠CDB＝90°得∠ADF+∠CDB＝90°，即可证得DF＝CD且CD⊥DF； （2）由已知证明△FAD≌△DBC，得到DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，由∠DCB+∠BDC＝90°，得到∠FDA+∠BDC＝90°，证出∠FDC＝90°即可得出结论． 【解答】解：（1）DF＝CD，CD⊥DF． 理由：∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， 在△ADF和△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°， ∴CD⊥DF． （2）成立，理由如下： ∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， 在△ADF和△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°， ∴CD⊥DF． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，证明△ADF≌△BCD是解题的关键． 4．如图，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延长线于点G，EF⊥BD交BD的延长线于点F．求证：CG+EF＝BD． 【分析】如图作AH⊥BD于H．只要证明△DEF≌△ADH，△ABH≌△BCG，可得EF＝DH，BH＝CG，由此即可解决问题． 【解答】证明：如图作AH⊥BD于H． ∵AD⊥DE，EF⊥DF，AH⊥BD， ∴∠EFD＝∠EDA＝∠AHD＝90°， ∴∠EDF+∠ADH＝90°，∠E+∠EDF＝90°， ∴∠E＝∠ADH， ∴DE＝AD， ∴△DEF≌△ADH， ∴DH＝EF， 同理可证△ABH≌△BCG， ∴BH＝CG， ∴BD＝DH+BH＝EF+CG． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，在MN绕点C旋转过程中，以上关系保持不变 （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，DE、AD、BE三者之间有怎样的等量关系，证明你的结论； （3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论． 【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD． （2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， 而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE． 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝DC+CE＝BE+AD； （2）DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． 理由如下： 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）DE＝BE﹣AD． 易证得△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质． 6．（2023秋•邓州市期中）已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，作FA⊥AB于点A，且AF＝BD，连结DC、DF． （1）自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　； （2）思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的 　 　侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时BC＝2，AB＝1，则AF的长度为 　 　． 【分析】（1）证△FAD≌△DBC（SAS），得DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，再证∠CDF＝90°，则DF⊥DC； （2）同（1）得△FAD≌△DBC（SAS），则DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，再证∠CDF＝90°，则DF⊥DC； （3）同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS），得DF＝DC，AF＝BD，∠FDA＝∠DCB，再证∠CDF＝90°，则DF⊥DC，然后求出BD＝AD+AB＝3，得AF＝3即可． 【解答】解：（1）∵FA⊥AB，∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBC， 在△FAD和△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴DF＝DC，∠FDA＝∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB＝90°， ∴∠BDC+∠FDA＝90°， ∴∠CDF＝180°﹣90°＝90°， ∴DF⊥DC， 故答案为：DF＝DC，DF⊥DC； （2）（1）中的结论还成立，理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBC＝180°﹣90°＝90°， 同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS）， ∴DF＝DC，∠FDA＝∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB＝90°， ∴∠BDC+∠FDA＝90°， 即∠CDF＝90°， ∴DF⊥DC； （3）如图3，当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的两个结论依然成立，理由如下： 同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS）， ∴DF＝DC，AF＝BD，∠FDA＝∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB＝90°， ∴∠BDC+∠FDA＝90°， 即∠CDF＝90°， ∴DF⊥DC， ∵AD＝BC＝2，AB＝1， ∴BD＝AD+AB＝2+1＝3， ∴AF＝3， 故答案为：左，3． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 7．（203秋•阳信县期中）在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D （1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD； （2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD； （3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【分析】（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC＝BD，AC＝OD，则CD＝AC+BD； （2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC＝BD，AC＝OD，则CD＝AC﹣BD； （3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC＝BD，AC＝OD，则CD＝BD﹣AC． 【解答】解：（1）如图1，∵△AOB中，∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， 直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D， ∴∠ACO＝∠BDO＝90° ∴∠AOC+∠OAC＝90°， ∴∠OAC＝∠BOD， 在△ACO和△ODB中， ， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴OC＝BD，AC＝OD， ∴CD＝AC+BD； （2）如图2，∵△AOB中，∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， 直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D， ∴∠ACO＝∠BDO＝90° ∴∠AOC+∠OAC＝90°， ∴∠OAC＝∠BOD， 在△ACO和△ODB中， ， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴OC＝BD，AC＝OD， ∴CD＝OD﹣OC＝AC﹣BD，即CD＝AC﹣BD． （3）如图3，∵△AOB中，∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， 直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D， ∴∠ACO＝∠BDO＝90° ∴∠AOC+∠OAC＝90°， ∴∠OAC＝∠BOD， 在△ACO和△ODB中， ， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴OC＝BD，AC＝OD， ∴CD＝OC﹣OD＝BD﹣AC， 即CD＝BD﹣AC． 【点评】此题考查了几何变换综合题．需要掌握全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高． 题型六 一线三等角模型 一线三等角模型展示 （1）点 P 在线段 AB 上: （2）点 P 在线段 AB 的延长线上: 已知 A , P , B 三点共线,且 ∠1=∠2=∠3 . 1．（2023•碑林区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE． 【分析】先根据条件得出∠ACD＝∠BDE，BD＝AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD＝DE． 【解答】证明： ∵AC＝BC BC＝BD， ∴AC＝BD， ∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE，∠CDE＝∠A， ∴∠ACD＝∠BDE， 在△ACD与△BDE中， ， ∴△ACD≌△BDE（ASA）， ∴CD＝DE． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（1）课本习题回放：如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的长． （2）探索证明：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF． 【解答】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE+∠3，∠3+∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE+∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（2023春•宽甸县期中）已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，点E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠a＝90°，则BE与CF的数量关系是 　 　． （2）如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：　 　.并说明理由． 【分析】（1）根据“AAS”可以证明Rt△BCE≌Rt△CAF，则BE＝CF； （2）同理证明Rt△BCE≌Rt△CAF，则CE＝AF，BE＝CF，可得EF＝CE+CF＝AF+BE． 【解答】解：（1）BE＝CF，理由： ∵∠BCE+∠ACF＝90°，∠FCA+∠FAC＝90°， ∴∠BCE＝∠FCA（同角的余角相等）， ∵∠BEC＝∠CFA，CA＝CB， ∴Rt△BCE≌Rt△CAF（AAS）， ∴BE＝CF； 故答案为：BE＝CF； （2）EF＝AF+BE，理由： ∵∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠α，∠CAF+∠ACF＝180°﹣∠α， ∴∠BCE＝∠CAF（同角的补角相等）， ∵∠BEC＝∠CFA，CA＝CB， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴CE＝AF，BE＝CF， ∴EF＝CE+CF＝AF+BE． 故答案为：EF＝AF+BE． 【点评】此题考查了两直角三角形全等的判定方法，是从特殊到一般，所用方法一样，依据有所不同． 4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE； （2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝　 　（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝　 　（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明． 【分析】（1）根据BD⊥m，CE⊥m，得出∠DAB+∠ABD＝90°，∠ADB＝∠AEC，再根据∠BAC＝90°，求出∠ABD＝∠EAC，在△ADB和△CEA中，根据“AAS”得出△ADB≌△CEA，从而证出BD+CE＝DE； 则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）补充∠BAC＝α，根据ADB＝∠BAC＝α，得出∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE＝BD，AD＝CE，即可证出BD+CE＝DE （3）补充∠ADB＝∠AEC＝180°﹣α，根据补充的条件得出∠ABD+∠BAD＝α，再根据∠BAD+∠CAE＝α，得出∠ABD＝∠CAE，再根据AAS证出△ABD≌△CAE，得出AE＝BD，CE＝AD，即可证出BD+DE＝CE． 【解答】解：（1）∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ADB＝∠AEC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠ABD＝∠EAC， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD+CE＝AD+AE＝DE； （2）补充∠BAC＝α，理由如下： ∵∠ADB＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴BD+CE＝AE+AD＝DE； （3）补充∠ADB＝∠AEC＝180°﹣α，理由如下： ∵∠ADB＝180°﹣α， ∴∠ABD+∠BAD＝α， ∵∠BAD+∠CAE＝α， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AE＝BD，CE＝AD， ∴BD+DE＝AE+DE＝AD＝CE； 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，关键是根据全等三角形的判定添加适当的条件，求出各边之间的关系． 5．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知： ∠BAD＝∠C（不需要证明）； （1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF； （2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上， ∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF； （3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为　 　． 【分析】（1）根据图②，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可； （3）根据图④，由CD＝2BD，△ABC的面积为3，可求出△ABD的面积为1，根据△ABE≌△CAF，得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，据此即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°， ∴∠BDA＝∠AFC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAF， 在△ABD和△CAF中， ∴△ABD≌△CAF（AAS）； （2）证明：如图③， ∵∠1＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF， ∵∠2＝∠FCA+∠CAF，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中，， ∴△ABE≌△CAF（ASA）； （3）解：如图④，∵△ABC的面积为3，CD＝2BD， ∴△ABD的面积3＝1， 由（2）可得△ABE≌△CAF， 即：S△ACF＝S△ABE， ∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝1 即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积1， 故答案为1． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． 6．（2023春•平阴县期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． ​ 【分析】（1）由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，即可解决问题； （2）同（1）得△ABD≌△CAE（AAS），得BD＝AE，CE＝AD，即可得出结论； （3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵AE+AD＝DE， ∴BD+CE＝DE， 故答案为：BD＝AE，BD+CE＝DE； （2）成立，BD+CE＝DE，理由如下： 同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， ∵AE+AD＝DE， ∴BD+CE＝DE； （3）存在，理由如下： 当△DAB≌△ECA时，AD＝CE，BD＝AE＝7cm， ∵AD+AE＝DE＝10cm， ∴CE＝AD＝DE﹣AE＝3cm， ∴t， ∴x＝32； 当△DAB≌△EAC时， ∴AD＝AEDE＝5cm，DB＝EC＝7cm， ∴t，x＝7， 综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t，x＝2或t，x． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 7．（2024春•温江区校级期末）【模型熟悉】 （1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE； 【模型运用】 （2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN； 【能力提升】 （3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【分析】（1）证△ABC≌△CED即可得证； （2）在AB上截取AF＝DF构造△FDN≌△BNM（AAS），从而证出FD＝BN＝AF，FN＝BM，再用线段和差即可得证； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明BE平分∠ABC，即可得出点E的运动轨迹，再利用面积法求出BN的长度即可． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ACD，∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BAC， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（SAS）， ∴BC＝DE． （2）证明：在AB上截取AF＝DF，连接DF， ∵∠DAN＝30°， ∴∠DAN＝∠ADF＝30°， ∴∠DFN＝60°＝∠B， ∵∠ANM＝∠AND+∠DNM＝∠PMN+∠B，且∠DNM＝∠B＝60°， ∴∠AND＝∠BMN， 在△FDN和△BNM中， ， ∴△FDN≌△BNM（AAS）， ∴FD＝BN，FN＝BM， ∴AF＝BN， ∵AB＝BC， ∴AB﹣NF＝BC﹣BM，即AF+BN＝CM， ∴CM＝2BN． （3）解：如图，在BC上截取BM＝CF，连接EM， ∵AD＝2CF＝BM+CF，且AC＝BC， ∴CD＝FM， ∵△DEF是等边三角形， ∴DF＝EF，∠DFE＝60°， ∵∠DFM＝∠CDF+∠C＝∠MFE+∠DFE，且∠C＝∠DFE＝60°， ∴∠CDF＝∠MFE， ∴△DFC≌△FEM（SAS）， ∴∠FME＝∠C＝60°，EM＝CF， ∵BM＝CF， ∴BM＝EM， ∴∠EBM＝30°， ∴BE平分∠ABC， ∴如图所示，点E在△ABC的内角∠ABC的角平分线上BN上运动． ∴点E的运动路程也就是BN的长度， ∵△ABC是等边三角形，BN是角平分线， ∴BN⊥AC， ∴S△ABCAC•BN＝25， ∵AC＝6， ∴BN， 即点E的运动路程为． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$