数学（辽宁专用）-2024年新高二开学摸底考试卷

高二开学摸底考试卷（辽宁专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围： 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 3．已知函数对任意满足，，且，则等于（    ） A．1 B．0 C．2 D． 4．把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 5．下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（    ） A．80 B． C．160 D． 8．已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（    ） A．当时，相互独立 B．当时， C．当时， D．当时， 10．已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递增 11．一块正方体形木料如图所示，棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（    ） A． B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台 C．截面的面积为 D．以为球心，为半径的球面与截面的交线长为 3、 填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若复数是纯虚数，则m的值为 . 13．设的内角所对边的长分别为 ①若，则； ②若.则； ③若，则一定为等腰直角三角形； ④若，则一定为钝角三角形； ⑤若，则一定为锐角三角形. 则上述命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号） 14．等腰直角中，，，，与交于点，若，则 . 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 10 0.1 x 0.15 20 0.2 30 y 15 0.15 5 0.05 5 0.05 合计 100 1.00 (1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图； (2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）； (3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议． 16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 18．已知函数，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 19．如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 高二开学摸底考试卷（辽宁专用） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( ______________ 1 3 ． ______________ 14 ． ______________ 1 5 . （ 13 ） 分 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 17 分） ) ( 24 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 17 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学摸底考试卷（辽宁专用） 数学·答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B 3．B 4．B 5．A 6．D 7．D 8．A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.AC 10.BC 11.ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12. -2 13. 1245 14. 0.75 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 【详解】（1）,频率分布直方图如图所示， ……………… 2分 ……………… 5分 （2）， 故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2. ……………… 9分 （3）第40百分位数为，故应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号. ……………… 13分 16．（15分） 【详解】（1）中，已知， 由正弦定理得， ……………… 2分 又， 则有， ……………… 4 分 由，，得， 则有， ……………… 6分 由，有，所以，得． ……………… 8分 （2）若选择条件①： 由，余弦定理得， 由，有，得， 由，解得：，或，． 若选择条件②； 由，得， △ABC的面积，得， 由，解得：，或，． ……………… 15分 17．（15分） 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， ……………… 3分 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； ……………… 7分 （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ……………… 10 分 ②当，即时，，不合题意舍去； ……………… 12分 ③当，即时，. ， ； 综上可得或. ……………… 15 分 18．（17分） 【详解】（1）函数的定义域为R，， 所以函数是奇函数. ……………… 4分 （2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增， 因此函数是R上的增函数， ……………… 6分 不等式， 则， ……………… 8分 ，， 于是，当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. ……………… 10分 （3）由，得，而，解得，则， ……………… 12 分 ， 令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，， ，当时，函数在上单调递增， ……………… 15分 当时，，解得与矛盾； 当时，时，，则， 所以. ……………… 17分 19．（17分） 【详解】（1）如图所示， 根据题意，，且平面， 则平面，平面，则.又已知. ，平面，则平面. ……………… 5分 （2）如图所示，连接.设点到平面的距离． 由翻折前状态，可知. 由（1）知道，，则，则． 由（1）知道，，. 由平面.等体积法知道. 即. 代入化简得到，则，则点到平面的距离. ……………… 11分 （3）存在，. 如图所示，取中点，连接.在上取点，使得，连接. 由于点为线段的中点，则，. 又．则，，则四边形为平行四边形． 则，平面，平面，则平面. 此时． ……………… 17分 数学 答案及评分标准 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学摸底考试卷（辽宁专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围： 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 3．已知函数对任意满足，，且，则等于（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】首先分析函数的周期，再利用对称性求值. 【详解】，所以函数的周期为4， 由，知， 则. 故选：B 4．把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 【答案】B 【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以. 故选：. 5．下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误. 故真命题的个数是0个. 故选：A 6．若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，把方程的根转化成两个图象的交点问题，确定出的范围，求解即可． 【详解】解：， ， 令， 要使在有5个不相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（    ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得各个角度，即可得长，根据正弦定理，可得长，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 【点睛】思路点睛；解三角形应用题的一般步骤 （1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． （3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． （4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8．已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为， 故 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，舍去， 综上所述，，故，所以. 故选：A. 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（    ） A．当时，相互独立 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；借助韦恩图可以分析即可判断BC；根据对立事件的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以相互独立，所以相互独立，故A正确； 对于B，如图，小圆圈表示的对立事件，大圆圈表示事件，， 无法判断与的大小，故B错误； 对于C，根据题意，得到如图所示，阴影部分代表事件， 由图可知，，故C正确； 对于D，根据对立事件的定义，，又， 所以，概率相等，不一定事件相等，故D错误； 故选：AC. 10．已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】对于A，根据平移可得，再根据诱导公式求解即可；对于BC，代入表达式求解函数值即可；对于D，利用整体法即可求解. 【详解】由题意，， 对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，由， 解得， 当时，的单调递增区间为（不能再扩大），故D错误. 故选：BC. 11．一块正方体形木料如图所示，棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（    ） A． B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台 C．截面的面积为 D．以为球心，为半径的球面与截面的交线长为 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定、性质推理判断A；作出截面，结合球的截面小圆性质判断BCD. 【详解】对于A，是正方体的对角面，则四边形为矩形，， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 又平面，因此，A正确； 对于B，过点作直线平行于交分别于，连接， 显然，则四边形为过点及直线的正方体的截面， 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误； 对于C，由选项B得，则，， 因此截面矩形面积，C正确； 对于D，过作于，由平面，平面， 得，而平面，则平面， 因此为以为球心，为半径的球面被平面所截小圆圆心， 球面与截面的交线为以为圆心，为半径的半圆弧，显然， ，因此交线长为，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 3、 填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若复数是纯虚数，则m的值为 . 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义求解. 【详解】， 令且，解得. 故答案为：. 13．设的内角所对边的长分别为 ①若，则； ②若.则； ③若，则一定为等腰直角三角形； ④若，则一定为钝角三角形； ⑤若，则一定为锐角三角形. 则上述命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号） 【答案】①②④⑤ 【分析】根据三角形的性质，正弦定理判断①；根据余弦函数的单调性判断②；根据正弦定理边化角，以及三角函数恒等变换，判断③；利用同角三角函数化简不等式，再结合余弦定理，即可判断④，根据两角和的正切公式，化简判断⑤. 【详解】对于命题①②，在中，有， 在区间单调递减，. 因此命题①②正确. 对于命题③，有， 得，即， 即或， 则或 所以是等腰三角形或直角三角形，命题③错误. 对于命题④，根据条件，有， 因此角C为钝角，命题④正确. 对于命题⑤，根据三角恒等式， 有， ， 所以小于0的个数为偶数个， 因为最多有一个钝角，所以锐角三角形. 于是命题⑤正确. 故选：①②④⑤ 14．等腰直角中，，，，与交于点，若，则 . 【答案】/ 【分析】令，利用基底法表示，求得，再利用数量积的运算律即可求解. 【详解】等腰直角中，， 令，则， 又， ，解得， 所以，， 所以 . 故答案为：. 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 10 0.1 x 0.15 20 0.2 30 y 15 0.15 5 0.05 5 0.05 合计 100 1.00 (1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图； (2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）； (3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议． 【答案】(1)，频率分布直方图见解析. (2) (3)选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号. 【分析】（1）根据频率与频数的关系，即可求解，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图. （2）根据平均数计算公式即可求解. （3）根据百分位数公式即可求解. 【详解】（1）,频率分布直方图如图所示， （2）， 故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2. （3）第40百分位数为，故应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号. 16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)，或，． 【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A； （2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求b，c． 【详解】（1）中，已知， 由正弦定理得， 又， 则有， 由，，得， 则有， 由，有，所以，得． （2）若选择条件①： 由，余弦定理得， 由，有，得， 由，解得：，或，． 若选择条件②； 由，得， △ABC的面积，得， 由，解得：，或，． 17．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 18．已知函数，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)奇函数； (2)单调递增，； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可. （2）由，得，结合指数函数单调性判断的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助基本不等式求出最小值即得. （3）求出值，再换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，， 所以函数是奇函数. （2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增， 因此函数是R上的增函数， 不等式， 则，，， 于是，当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. （3）由，得，而，解得，则， ， 令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，， ，当时，函数在上单调递增， 当时，，解得与矛盾； 当时，时，，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 19．如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明平面，得到，联合，可证； （2）运用等体积法可解； （3）取中点，连接.在上取点，使得，连接. 证明即可证明平面，即找出了满足题意的点. 【详解】（1）如图所示， 根据题意，，且平面， 则平面，平面，则.又已知. ，平面，则平面. （2）如图所示，连接.设点到平面的距离． 由翻折前状态，可知. 由（1）知道，，则，则． 由（1）知道，，. 由平面.等体积法知道. 即. 代入化简得到，则，则点到平面的距离. （3）存在，. 如图所示，取中点，连接.在上取点，使得，连接. 由于点为线段的中点，则，. 又．则，，则四边形为平行四边形． 则，平面，平面，则平面. 此时． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$