专题2.4 一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练【四大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.4 一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练 【四大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 4．（2024高三上·河南·专题练习）已知，且，若的最小值为m. (1)求m的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 6．（23-24高一上·福建南平·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 8．（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 9．（2024高三·全国·专题练习）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 10．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）回答下面两题： (1)已知函数，若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 11．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 12．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 13．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 14．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 题型三 一元二次不等式在某区间上有解问题 17．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 19．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 21．（23-24高二下·河北衡水·期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围． 22．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 23．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）设， (1)若使成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 24．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知（）． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，且对任意的，都存在，使得，求实数a的值． 题型四 一元二次不等式恒成立、存在性综合问题 25．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 26．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 27．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围： (2)当时，，关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 28．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 29．（23-24高一上·全国·课后作业）已知不等式． (1)若不等式在时有解，求实数的取值范围； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 30．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数在有解，求的取值范围. 31．（23-24高一上·安徽宣城·期中）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若时函数有解，求的取值范围. 32．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知函数和. （1）若，关于的不等式的解集是.求实数，的值； （2）若，，，解关于的不等式； （3）若，，，对，总，使得，求实数的取值范围､（注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练 【四大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【解题思路】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解； （2）分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题列式求解； 【解答过程】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知，且和是关于的方程的两个实数根， 则，解得. （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，成立， 当时，满足，解得， 综上：实数的取值范围. 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【解题思路】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【解答过程】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 4．（2024高三上·河南·专题练习）已知，且，若的最小值为m. (1)求m的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意结合“1”的灵活应用以及基本不等式运算求解； （2）根据二次函数恒成立问题分析求解，注意讨论是否为0. 【解答过程】（1）因为，且， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值. （2）由（1）可得， 所以， 当时，不等式为，显然成立； 当时，由条件可得，解得 综上可知，实数t的取值范围为. 5．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 【解题思路】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解. （2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解. 【解答过程】（1）∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. （2），即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 6．（23-24高一上·福建南平·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得，恒成立，对分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）当，，不等式即为， 解得或， 所以的解集为或． （2）因为， 所以不等式可化为， 依题意对，恒成立． 所以当时，，不符合要求；         当时，由一元二次函数性质，可知，即，解得， 因此实数的取值范围是． 7．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【解题思路】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案； （2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案. 【解答过程】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 故实数的取值范围为； （2）由可得，即， 即 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 故原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为. 8．（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可； （2）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解； （3）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，，解得； （2）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 即，解得，所以实数a的取值范围为； （3）即， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 9．（2024高三·全国·专题练习）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】法一:利用分离变量法求解参数的范围，、 法二：对二次函数的二次项系数和对称轴进行分类讨论，求带有参数的二次函数的最值，求解变量的范围. 【解答过程】法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质 当时，，成立； 当时，由题可得对任意恒成立， 令，则有，， ， 令，，根据对勾函数的性质可得， 所以， 所以当时，， 故实数的取值范围为； 法二：分类讨论 令， ①当时，， 对任意，恒成立； ②当时，函数图象开口向上， 若对任意，恒成立，只需， 解得， 故当时，对任意，恒成立； ③当时，对任意，，， 恒成立； 综上可知，实数的取值范围为． 10．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）回答下面两题： (1)已知函数，若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【解题思路】（1）转化为根的分布，列式求解； （2）讨论的取值，求解不等式. 【解答过程】（1）由题意可知，， 解得：； （2）当时，，得， 当时，， 的两个根分别为，，， 此时不等式的解集为， 当时，，即，此时不等式的解集为， 当，得，此时不等式的解集为， 当，即时， 的两个根分别为，，， 此时不等式的解集为或， 综上可知，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或. 11．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【解题思路】（1）直接利用一元二次不等式的解法计算即可； （2）带着参数分类讨论解不等式即可； （3）变换主元，利用一次函数的单调性计算不等式即可. 【解答过程】（1）当时，， 则； （2）易知， 若，则， 若，则或， 若，则，此时， 若，此时， 若，则，此时， 综上所述：时，解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为，时解集为； （3）由题意可知对任意恒成立， 所以，解之得. 12．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【解题思路】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解； （2）分类讨论求解即可． 【解答过程】（1）不等式即为：， 当,时，可变形为：， 即, 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：,． （2）不等式， 即， 等价于， 即， 当时， 当时，因为，解不等式得：； 当时，因为，不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 13．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可. （2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可. 【解答过程】（1）因为一元二次不等式的解集为， 所以和1是方程的两个实根，则， 解得．因此所求不等式即为：，解集为或． （2）可化为：，当时显然成立； 当时， 对恒成立， 令，则， 当，即时， 所以，即． 14．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把恒成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以不等式， 可化简为：， ①当时，不等式化为， ②当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为或， ③当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）不等式即， 即对恒成立，令，所以， 因为，当且仅当时取“＝”， 所以，当且仅当时取“＝”， 所以的取值范围为. 15．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得. （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1）原不等式可化为，因为该不等式的解集为， 可知的两根为和， 则，即，解得； 所以. （2）若对任意的恒成立， 则对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数的取值范围是. 16．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）关于的不等式的解集为，转换为，是方程的两个实数根，求值即可. （2）对，恒成立，转换为恒成立，利用恒成立知识求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，即解集为， 所以，是方程的两个实数根， 将代入方程得，此时方程，另一根，即， 所以实数，. （2）若对，恒成立， 即，恒成立， 当时，上述不等式恒成立； 当时，上述不等式恒成立等价于， 而， 当且仅当，即时取等号， 即函数在上有最小值为4，则； 综上，实数的取值范围是. 题型三 一元二次不等式在某区间上有解问题 17．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 18．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解； （2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集； （i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数，因为不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根据， 则，解得. （2）解：（i）由函数， 因为，可得，即， 所以， 由不等式，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，即为 解得； 当时，即时，解得或， 综上可得，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （i i）由（i）知，当时，不等式解集为， 若存在，使得，则满足，解得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）依题意可得是真命题，分和两种情况讨论； （2）依题意参变分离可得存在使得成立，则只需，，利用基本不等式求出即可得解. 【解答过程】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 20．（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值. （2）化简不等式，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或，则， 且是方程的两个根， 所以，解得． （2）时，在有解， 即在有解， 法一：因为的开口向上，对称轴 ①即时，函数取得最小值. ②即时，当取得最小值，此时， 解得或.又. ③当即，当时取得最小值，此时不成立， 即无解. 综上，． 法二：在有解， 当时不成立， 当时，即在有解，， 令，， 当且仅当即取“”，，. 21．（23-24高二下·河北衡水·期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）由f(0)＝2得c，由f(x＋2)－f(x)＝16x得4ax＋4a＋2b＝16x，再根据多项式相等可得答案； （2）转化为存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，求出g(x)max可得答案． 【解答过程】（1）由f(0)＝2，得c＝2， 所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)， 由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b， 又f(x＋2)－f(x)＝16x， 得4ax＋4a＋2b＝16x， 所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2． （2）因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立， 即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立， 令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2， 即m的取值范围为(－∞，－2)． 22．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值； （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 23．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）设， (1)若使成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【解题思路】（1）可转化为，，再利用基本不等式可得答案； （2）等价于，分、、、、讨论解不等式可得答案. 【解答过程】（1）由题知，得， 从而， ， 从而，故； （2）不等式，等价于. 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或. 综上：当时，等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 24．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知（）． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，且对任意的，都存在，使得，求实数a的值． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集的端点为对应的一元二次方程的根求出参数代入求解即可； （2）对参数分成不同情况，使得等式有解，依次求出参数即可. 【解答过程】（1）不等式的解集为， 即方程的两根是和2，即，解得， 所以不等式可化为， 即， 所以解集为． （2）因为，所以， 设，， ①当时，此时在单调递增且恒成立， 所以对任意的，都存在，使得， 即有解， 因为，所以，而， 所以，即， 因为，所以，即， 解得或（舍去）； ②当时的最小值为， 令，这时，此时对任意都不成立； ③当时，此时在单调递减且恒成立， 所以对任意的，都存在，使得， 即有解， 而，所以，而， 所以，即 因为，所以，所以 解得（舍去）或． 综上，实数或． 题型四 一元二次不等式恒成立、存在性综合问题 25．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可. （2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可； 解法二：分离参数，构造函数，利用基本不等式求解最值即可求解； （3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）当时，， 所以，所以，所以的解集为. （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，，对称轴，由题意，只须， ①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以； ②当，即时，在上单调递城，在单调递增， 所以，解得且， 所以. 综上，. 解法二：不等式可化为，即，设，， 由题意，只须，， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即. （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足，， ，对称轴，在递减，在递增， ，，，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增， ，，所以，故； ③即时，在递减，，， 所以，解得，综上：. 26．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 【解题思路】将转化为， （1）讨论和时的情况； （2），显然该函数单调，所以只需即可. （3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可. 【解答过程】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. （3）若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 27．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围： (2)当时，，关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解； （2）根据已知条件及二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）恒成立，即恒成立， 当时，，解得，舍去； 当时，，解得 所以实数的取值范围为． （2）当时，，关于的不等式在有解， 则是的解， 因为抛物线开口向上，对称轴， 所以，解得， 所以的取值范围为． 28．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； (2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答. 【解答过程】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是； (2)不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 不等式， 当时，， 当时，不等式可化为，而，解得， 当时，不等式可化为， 当，即时，， 当，即时，或， 当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 29．（23-24高一上·全国·课后作业）已知不等式． (1)若不等式在时有解，求实数的取值范围； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）设，依题意或成立，即可得到不等式，解得即可； （2）设，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【解答过程】（1）不等式可化为①， 设， 当不等式①在时有解时， 即存在，使得， 所以或成立， 即或， 解得或， 所以实数的取值范围是． （2）不等式化为②， 设， 因为时不等式②恒成立， 即， 所以， 解得或或； 所以实数的取值范围是． 30．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数在有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）若恒成立，则 恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 实数的取值范围为：. （2）当时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 31．（23-24高一上·安徽宣城·期中）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值. （2）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. （3）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）若恒成立，则恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 实数的取值范围为：. （3）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以：的范围为. 32．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知函数和. （1）若，关于的不等式的解集是.求实数，的值； （2）若，，，解关于的不等式； （3）若，，，对，总，使得，求实数的取值范围､（注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.） 【解题思路】(1)由一元二次方程与一元二次不等式的解集的关系求a，b，(2)根据一元二次不等式的解法求解不等式；（3）根据不等式恒成立问题和存在性问题的处理方法转化条件，总，使得，求m的范围. 【解答过程】(1)∵  关于的不等式的解集是， ∴和3是方程的根， ∴，，又， ∴，，， (2)∵，， ∴不等式可化为， ∴， 当时，原不等式可化为 ∴, 当时，方程的解为和，且， 不等式的解集为， 当时，不等式可化为 的解集为， 当时，方程的解为和，且， 不等式的解集为， ∴当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； (3)∵  对，总，使得， ∴  ， 又在上的最小值为， ∵，，， ∴ ∴当时，在上的最小值为， ∴ ∴， 当时，在上的最小值为， ∴ ∴不存在， ∴当时，在上的最小值为， ∴ ∴不存在， 综上可得：实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$