专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 2 【题型2 解含有参数的一元二次不等式】 2 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 3 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 3 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 4 【题型6 一元二次不等式有解问题】 5 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 5 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 8 【题型9 三个“二次”关系的应用】 9 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【题型2 解含有参数的一元二次不等式】 【例2】（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式3-2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-1】（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【变式5-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 【变式5-3】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，且对任意的，恒成立． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【变式7-1】（23-24高一·全国·随堂练习）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v单位：km/h）的平方及汽车总质量成正比设某辆卡车不装货物以59 km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20 m．如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20 m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5 m以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s） 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【变式7-3】（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 【例8】（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，如图所示，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式8-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·山西·期中）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型9 三个“二次”关系的应用】 【例9】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【变式9-3】（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 2 【题型2 解含有参数的一元二次不等式】 3 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 5 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 6 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 8 【题型6 一元二次不等式有解问题】 11 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 13 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 16 【题型9 三个“二次”关系的应用】 19 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【解答过程】因为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【解题思路】利用一元二次不等式的解法直接求解即可. 【解答过程】由，得， 得，解得， 所以不等式的解集为， 故选：C. 【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由不等式，可化为，解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 【变式1-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果. 【解答过程】由不等式可得， 即，可得， 因此不等式的解集是. 故选：C. 【题型2 解含有参数的一元二次不等式】 【例2】（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断出，进而解不等式，得到解集. 【解答过程】因为，所以， 故的解集为. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【解答过程】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】将原不等式化为，再分类讨论的取值情况进行求解. 【解答过程】由题意，原不等式可化为 当时，原不等式为，解得，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 故不可能的解集为或. 故选：D. 【变式2-3】（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A. 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集． 【解答过程】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【解题思路】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可. 【解答过程】不等式，即，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】解绝对值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含关系得到答案. 【解答过程】， ， 等价于，解得， 其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-3】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【解答过程】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据不等式的解集得出相应方程的根，再用韦达定理可求. 【解答过程】不等式的解集为， 则方程的两根为， 由韦达定理得：，， 可得， 故. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解. 【解答过程】原不等式可化为， 当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则； 当时，得，此时解集中的整数为，，，则， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出，，再根据，即可求出． 【解答过程】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【解题思路】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【解答过程】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把恒成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以不等式， 可化简为：， ①当时，不等式化为， ②当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为或， ③当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）不等式即， 即对恒成立，令，所以， 因为，当且仅当时取“＝”， 所以，当且仅当时取“＝”， 所以的取值范围为. 【变式5-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得. （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1）原不等式可化为，因为该不等式的解集为， 可知的两根为和， 则，即，解得； 所以. （2）若对任意的恒成立， 则对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数的取值范围是. 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 【解题思路】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得. （2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【解答过程】（1）依题意，，即， 由，恒成立，得， 即，整理得， 解得. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 【变式5-3】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，且对任意的，恒成立． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据恒成立可得恒成立，由一元二次不等式恒成立的求解方法可得不等式组，由此求得，得到； （2）将不等式整理为，令，由一元二次不等式在区间内恒成立求解的方法可得不等式组，解不等式组可求得结果. 【解答过程】（1）对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 则，即， 又因，所以， 所以； （2）由得：， 即， 对任意的，不等式恒成立， 令， 则，解得：， 实数的取值范围为． 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【解答过程】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 【变式6-1】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由存在性问题得即可得解. 【解答过程】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 【变式6-3】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【解答过程】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【解题思路】设花卉带的宽度为，根据已知条件求出的取值范围，求出草坪的长和宽，根据题意可得出关于的不等式，解之即可得出结论. 【解答过程】解：设花卉带的宽度为，则，可得， 所以，草坪的长为，宽为， 则草坪的面积为， 因为草坪的面积不超过总面积的一半，则， 整理可得，解得，又因为，可得. 所以，花卉的宽度至少为. 【变式7-1】（23-24高一·全国·随堂练习）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v单位：km/h）的平方及汽车总质量成正比设某辆卡车不装货物以59 km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20 m．如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20 m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5 m以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s） 【解题思路】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，根据已知条件，先求出的值，当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为，则满足，即可求解. 【解答过程】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则， 当时，， ① 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为， 则满足，即 ② 由①②得③， 由，及③得，最大限制时速应是. 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【解题思路】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【解答过程】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 【变式7-3】（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【解题思路】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 【知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 【例8】（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【解答过程】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D. 【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，如图所示，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【解题思路】根据题意和图形可知，只需要满足且即可，解不等式即可求解. 【解答过程】由图可得，即，解得， 又，所以. 故选：. 【变式8-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【解答过程】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 【变式8-3】（23-24高一上·山西·期中）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【解答过程】由二次函数的图象可知，函数的图象开口向上，且该函数的图象与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 【题型9 三个“二次”关系的应用】 【例9】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 【变式9-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集. 【解答过程】因为二次方程的两根为2，， 又二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解集为或 ， 故选：B. 【变式9-2】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【解题思路】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【解答过程】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【变式9-3】（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$