第二章 直线和圆的方程（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高二数学单元速记（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线和圆的方程（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 2．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·广西南宁·二模）已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知是圆上的动点，且．是圆的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·四川遂宁·期末）若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 10．（23-24高三上·福建漳州·期中）已知动点在圆：上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 02 多选压轴题 1．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 03 填空题压轴 1．（2024·河北保定·二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则 ， ． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆系，圆过轴上的定点，线段是圆在轴上截得的弦，设，．对于下列命题： ①不论取何实数，圆心始终落在曲线上； ②不论取何实数，弦的长为定值1； ③不论取何实数，圆系的所有圆都与直线相切； ④式子的取值范围是． 其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上） 4．（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 5． （2024·全国·模拟预测）过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点，，则的最大值为 ． 04 解答题压轴 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 2．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 3．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆和圆. (1)判断圆O和圆C的位置关系； (2)过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程； (3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点.试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由. 5．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值. 【详解】设，则， 由切线长定理可得，，，    ， 圆心的坐标为，则， 由图可得，即，则， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，当时，取得最小值. 故选：. 【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值. 2．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意，分别求出直线过点以及与劣弧相切时的值，再结合图形，即可得. 【详解】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点， 所以，，当直线过时，将代入中， 所以，由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上， 设为，则，所以， 解得，且劣弧对应的圆的半径为， 故劣弧对应的圆方程为， 当直线与劣弧相切时得， 所以， 结合图形可知当时直线与两段弧有个交点. 故选：B. 关键点点睛：本题关键在于求出直线过点以及与劣弧相切时的值. 3．（2024·广西南宁·二模）已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得，由，得， 由，得，设 ，则， 即，因此点C的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，即有，则代入， 整理得： ，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为. 故选：B    【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解. 4．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意外切条件等价于，进一步求圆弧上一点到定点的距离的范围即可求解. 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为求圆弧上的点到定点的距离，由此即可顺利得解. 5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为. 【详解】由、， 有，故， 对有，故过定点， 对有，故过定点， 则中点为，即， ，则， 故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为， 又在原，该圆圆心为，半径为， 又，则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题. 6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解. 【详解】由得，即，则. 因为， 所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示：    设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得， 则，即点到直线的距离之和的4倍， 因为是直角三角形，所以， 则点在圆上运动， 显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍， 原点到直线距离，半径， 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将转化为两点到直线的距离之和的倍，从而得解. 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知是圆上的动点，且．是圆的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，由弦长公式求得圆心到AB的距离，设AB中点为D，求出点D的轨迹为圆，从而由化简得，转化成两圆上的点间的距离问题即可求解． 【详解】设AB中点为D， 则由得，， 即D点的轨迹方程为． , 由于P点在圆上， 所以， 所以， 即， 所以. 故选：D． 【点睛】本题属于圆与平面向量结合的问题，由圆的弦长先求出弦的中点轨迹也为圆，再由平面向量加法运算进行转化，从而转化为两圆上的点的距离问题. 9．（23-24高二上·四川遂宁·期末）若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线可化简为，曲线等价于或，直线与圆有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有另外两个不同的交点，数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解. 【详解】曲线可化简为，曲线表示以点为圆心，1为半径的右半圆， 曲线表示两条直线和， 显然直线过圆心与半圆有两个交点和，所以直线与半圆有两个除了外的交点， 由直线得，过定点，， 当直线与半圆相切时，可得， 解得或（舍去）. 所以当时，直线与半圆有两个除了外的交点，此时曲线与曲线有四个不同的交点. 故选：C. 【点睛】思路点睛：曲线为半圆，曲线表示两条直线和，直线与圆有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有另外两个不同的交点，数形结合再找出与之两个交点临界值求解即可. 10．（23-24高三上·福建漳州·期中）已知动点在圆：上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的轴对称的性质，当且仅当圆心与点及点三点共线时，点到两圆的公共弦的距离取得最大（小）值 ,通过求出点坐标及圆的方程，与圆联立求得直线的方程，利用点到直线距离公式即得. 【详解】 如图过点作一条直径交圆于点，以点为圆心，经过点的圆交圆于， 以点为圆心，经过点的圆交圆于，因到直线的距离为，当点与点重合时，取得最小值， 当与点重合时，取得最大值.下面分别求这两个值. 由图知直线的方程为，代入，可解得：， 易知圆的半径即,故得圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：，于是. 同法可得：圆的半径即,故圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：， 于是. 故有： 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查相交两圆的公共弦方程，点到直线的距离公式，以及已知一点和圆心求圆的方程等知识点.解题关键在于能利用圆的对称性特征，判断出两个距离最值取得时点的位置是与点三点共线时，然后分别计算即得. 02 多选压轴题 1．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，连接，则， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确， 对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形， 此时， 则， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为, 所以 , 因为， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为8，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为112，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】ABC 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，说明两直线有公共点即可；对于C，给出作为反例即可；对于D，由说明两直线不垂直即可. 【详解】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，A错误； 对于B，两直线总有公共点，B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，C错误； 对于D，由于，故两直线不垂直，D正确. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对直线方程相关性质的运用. 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 【答案】BC 【分析】对于A，将点带入圆即可；对于B，圆与圆方程相减即可；对于C，由圆心到直线的距离再加半径2即可；对于D，直线经过圆的圆心，圆中不存在比长的弦. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B，圆与圆交于两点， 因为圆和圆相交，将两圆相减可得：， 即公共弦所在直线的方程为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确； 对于D，直线经过圆的圆心， 所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误. 故选：BC. 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由直线穿过圆心即可判断，对于BCD，分别将问题理解成圆上的点与定点的距离平方和、在y轴上的截距和圆上的点和定点连线的斜率，在数形结合即可求得最值情况，进而求解即可判断. 【详解】由题圆C的圆心为，半径为， 对于A，显然圆心满足，故直线穿过圆心， 所以圆关于直线对称，A对； 对于B，， 设，如图， 所以根据代数式的几何意义可知的最小值为：，故B对； 对于C，设，即，动点在圆C上， 则z取得最小值时，即为直线在y轴上截距最小， 如图，过圆C所在平面作直线，直线与直线平行， 由图可知，当直线与圆C相切时其在y轴上截距取得最大值或最小值， 此时圆心C到直线的距离等于半径，即， 或，故的最小值为，故C错； 对于D，因为，设， 则根据代数几何意义可知当圆上的点与定点两点间斜率最大时， 的值最大， 如图，显然当过T的直线与圆相切时斜率最大， 设切线为，， 则有圆心到切线距离，或， ，故D对. 故选：ABD. 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据直线过圆心可得；对于B，由直线时弦可解；对于C，对曲线方程整理，结合圆系方程可得；对于D，由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D即可求解. 【详解】直线过定点， 圆，即，圆心为，半径． 对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，得，故A错误． 对于B选项，圆的圆心为，半径为4， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以的最小值为，故B正确． 对于C选项，当时，直线：， 曲线：，即， 所以曲线即为过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确． 对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为， 将点坐标代入上式得，解得， 所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误． 故选：BC 【点睛】结论点睛：过直线与圆交点的圆系方程为； 圆和圆的公共弦所在直线方程为. 03 填空题压轴 1．（2024·河北保定·二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则 ， ． 【答案】 2 【分析】设直接计算可得，由角平分线定理可得，由此求出，得出点坐标，再由直角三角形求出点坐标即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心， 则为的角平分线，所以． 设，则， 所以，则， 即，解得，则， 所以点与重合， 此时，可得， 所以． 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：根据角平分线定理，可转化为，建立方程求出参数，得到圆的圆心、半径，求出M的坐标是解题的关键. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆系，圆过轴上的定点，线段是圆在轴上截得的弦，设，．对于下列命题： ①不论取何实数，圆心始终落在曲线上； ②不论取何实数，弦的长为定值1； ③不论取何实数，圆系的所有圆都与直线相切； ④式子的取值范围是． 其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上） 【答案】②④ 【分析】对于①，根据圆的方程即可判断①，对于②，根据弦长公式即可判断②，根据圆心到直线的距离即可判断③，对于④，令求出点和点的坐标，根据圆方程求出点坐标，求出和，在利用余弦定理求出，求出的面积即可求出，根据即可判断④. 【详解】对于①，由圆的方程知，圆心在曲线上，故①不正确． 对于②，由弦长公式得：弦的长为，故②正确． 对于③，圆心到直线的距离等于， 而半径为，二者不一定相等，故③不正确． 对于④，在圆方程令，可得， 或，即，，，， 由圆方程知，，， 由基本不等式得（当且仅当，即时等号成立）， 中，由余弦定理得， ，的面积为， ，， ，即，故④正确． 故答案为： ②④． 3．（2024·安徽芜湖·二模）若实数x，y满足，则的最大值为 【答案】 【分析】利用向量不等式并结合x的范围求最值. 【详解】设 则，当且仅当等号成立 故， 又，所以， 所以, 当且仅当等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立. 4．（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，求出点P的纵坐标，利用“折线距离”的定义即可判断；对于②，结合基本不等式即可判断；对于③，设，表示出，分段讨论，去掉绝对值，可求得最小值，即可判断；对于④，利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可判断. 【详解】对于①，若点P的横坐标为，点P在圆上， 则点P的纵坐标为，则，①正确； 对于②，设点，则， ，因为， 故，当且仅当时等号成立， 即的最大值是，②正确； 对于③，设直线上的一点为，则； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，d取得最小值，即的最小值为，故③错误； 对于④，设，，    则， 当时，， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 综上可知的最小值是，④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】难点点睛：本题考查直线和圆的关系中新定义问题，解答时要根据新的定义去解答，难点在于④的判断，解答时要利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可求解. 5．（2024·全国·模拟预测）过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】已知条件得到在直线上运动，设，则，，分析出当直线与直线垂直时，取最小值，最后利用对勾函数单调性得到的最大值． 【详解】由得， 则圆心，半径为1，圆心在直线上运动， 设，则， 因为是圆的切线，所以，故， ∴ ， 当直线与直线垂直时，取最小值， 则取最小值，又， 因为分别是圆C的切线，所以， 所以点在以为直径的圆上．因为， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为 故以为直径的圆的方程为， 整理得到 又因为圆C：， 所以直线的方程为， 化简得 又因为 所以，得到， 所以，且， 则，则． 由“双勾函数”的单调性可知，函数在上为增函数， 且，故函数在上为减函数， 故当时，取得最大值，最大值为．    故答案为：. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于，利用几何关系得出，利用直线为圆和以为直径的圆的公共弦，结合条件得出，再利用函数的单调性即可求解出结果. 04 解答题压轴 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 2．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 3．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解； （2）利用韦达定理结合题意求解. 【详解】（1）（1）设，， 由中点坐标公式得 因为点的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线的方程为． （2）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆和圆. (1)判断圆O和圆C的位置关系； (2)过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程； (3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点.试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)圆O与圆C相离. (2)或 (3)存在圆，圆的方程为：或 【分析】（1）求出两圆的圆心距，在比较其与 的大小关系，从而确定两圆的位置关系； （2）由点 斜式设出切线方程，然后用点线距离公式建立关于的方程； （3）斜率不存在时，易知圆也是满足题意的圆；斜率存在时，假设存在以为直径的圆经过点，则，所以，则可得，再把韦达定理式代入上式可得关于的方程． 【详解】（1）因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径， 所以圆O和圆C的圆心距， 所以圆O与圆C相离. （2）显然当直线的斜率不存在时不合题意， 则设切线l的方程为：，即， 所以O到l的距离，解得. 所以切线l的方程为或 （3）（i）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O， 此时直线m与圆O的交点为，， 即为圆O的直径，而点在圆O上， 即圆O也是满足题意的圆. （ii）当直线m的斜率存在时，设直线， 由，消去y整理，得， 由，得或. 设，， 则有① 由①得，② ，③ 若存在以为直径的圆P经过点，则，所以， 因此， 即， 则，所以，，满足题意. 此时以为直径的圆的方程为， 即，亦即. 综上，在以为直径的所有圆中， 存在圆或，使得圆P经过点.    【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用设线法，将其与圆的方程联立得到韦达定理式，根据，展开化简，将韦达定理式整体代入求出直线方程，同时不忘考虑直线斜率不存在的情况. 5．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)和 (2)存在，或 【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与否，利用圆的弦长公式与点线距离公式列式求解即可； （2）假设存在满足条件的点，分析得两圆心到对应直线的距离相等，从而得到关于的关系式，利用的任意性求得的值，再检验两直线斜率一个为0，另一个不存在的情况，从而得解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线即是轴， 此时直线被圆截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由直线被圆截得的弦长为6，所以到直线的距离为， 则，解得，即直线为； 综上，直线的方程为和. （2）存在满足条件的点，点坐标为或，理由如下： 假设存在满足条件的点， 因为圆的圆心为，半径为， 设，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 又两圆半径相等，所以圆心到直线与到直线的距离相等，    当两直线斜率存在且不等于0时， 设直线的方程分别为， 即. 故有， 整理得或， 因为关于的方程有无穷多解， 所以或，解得或， 故点的坐标为或； 当两直线斜率一个为0，另一个不存在时，点的坐标和也适合； 综上可知，存在点满足条件，此时点的坐标为或. 【点睛】关键点睛：本题第2小题解决的关键是如何处理式子，以及利用的任意性求得的值，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$