第二章 直线和圆的方程（单元复习重点 13类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线和圆的方程（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 知识点03：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 知识点04：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 知识点05：直线的点斜式方程 （1）点斜式方程： （2）斜截式方程： （3）两点式方程： （4）截距式方程： （5）直线的一般式方程：定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方 程(其中,不同时为0，)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 知识点06：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点07：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点08：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 知识点09：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点10：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点11：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点12：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 知识点13：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 知识点14：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 03 题型归纳 题型一倾斜角与斜率　 例题1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 例题2．（多选）（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 例题3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用斜率公式即可求解. 【详解】因为斜率为的直线经过点， 所以，解得. 故选：B. 2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，即可得出答案. 【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 3．（23-24高二上·新疆·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出端点处的直线l的斜率，从而求出斜率k的取值范围. 【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为， l过点的斜率， l过点的斜率，    故直线l的斜率k的取值范围为. 故选：C 题型二 直线与线段相交关系求斜率取值范围　 例题1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 例题2．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 例题3．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足， 当时，直线l的倾斜角，当时，， 所以直线l的倾斜角的取值范围为. 故选：C 巩固训练 1．（23-24高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，，画出图像，根据图像得到答案. 【详解】，，画出图像，如图所示：    根据图像知：. 故选：D. 2．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案． 【详解】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若直线过定点，且与以为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合斜率公式，求得或，进而求得直线的倾斜角的范围. 【详解】如图所示，因为直线过定点，且与以为端点的线段相交， 可得，， 所以直线的斜率不存在或满足或， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：D. 题型三 两条直线平行与垂直　 例题1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若则且所以或 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 例题2．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值． 【详解】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 故答案为：或. 例题3．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【详解】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时，，有，故. 巩固训练 1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 2．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解. 【详解】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果. 【详解】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 题型四 直线方程 例题1．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为4，直线的方程为. 【分析】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案； （2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 例题2．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）利用垂直关系结合（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 例题3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 巩固训练 1．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 2．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值． 【详解】（1）直线方程为， 可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为 （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得. ∴， 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的两点式即可求解； （2）利用两点的斜率公式及直线垂直的条件，结合直线的点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，作出图形如图所示 因为，所以BC的中点为， 因为在BC边上的中线上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的中线所在直线的方程为. （2）由题意可知，作出图形如图所示 因为， 所以直线BC的斜率为， 因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 因为在BC边上的高上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的高所在直线的方程为. 题型五 直线中的距离问题　 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标. 【详解】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 例题2．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解. 【详解】因为，所以，， 解得，所以， 故两平行直线间的距离． 故选：C． 例题3．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 2．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 题型六 圆的方程　 例题1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】    由得,由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 例题2．（23-24高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案. 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 巩固训练 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 3．（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 题型七 直线与圆的位置关系　 例题1．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【答案】D 【分析】求出已知直线过的定点，且判断出定点在圆外可得答案. 【详解】直线，即， 令，解得，故直线l经过点. 又，所以点在圆外， 故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关. 故选：D 例题2．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知直线恒过点，曲线表示圆心，半径为2的半圆，画出图形，由图可知，从而可求出结果. 【详解】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 故选：B 例题3．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 巩固训练 1．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线，圆，则l与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较即可判断求解． 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相离． 故选：C． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】先对曲线进行变形，结合的取值范围，可得其图象为以为圆心，为半径的圆的下半部分，画出曲线及直线的图象，采用数形结合，列出等式即可求得结果. 【详解】因为曲线，所以， 解得，曲线可化为， 两边同时平方有，，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分， 而直线，所以直线的斜率为1，画图象如下： 由于直线与曲线只有一个公共点， 当直线过时，即，解得， 当直线过时，即，解得，由图象可知， 当直线与圆相切时：，解得或， 而即为在轴上的截距，由图象可知， 综上：或. 故答案为：或. 3．（23-24高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法，只需使计算即得. 【详解】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 题型八 直线与圆相切　 例题1．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据圆的相关性质先求出，再利用倍角公式求即可. 【详解】圆即，其圆心，半径， 则过向这个圆作两条切线，切点为，如图： 又， 则， 所以. 故选：B. 例题3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点的直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先设点，再根据向量垂直的坐标运算即可求解，也可以根据圆的定义得到P点的轨迹为以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的，进而得出P点的轨迹方程； （2）根据直线与完整的圆相切时，只有一个交点，即可求解. 【详解】（1）法一：设，因为， 所以由，得， 所以动点P轨迹方程为. 法二：由题，所以P点的轨迹是以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的， 所以P点的轨迹方程为 （2）因为直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点（如图）， ①若斜率不存在，此时直线l方程为：，与圆切于点B， ②当直线l与圆相切斜率存在时，设，即， 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线l方程为.      综上，直线l方程为或. 巩固训练 1．（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】先根据切线长度求出为定值，即，设，两个方程联立，利用求的取值范围. 【详解】由题意：，即. 设，则，代入，得. 因为关于的一元二次方程一定有解， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    题型九 弦长问题　 例题1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 例题2．（多选）（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再由弦长公式得到弦心距离，讨论当斜率存在与不存在时的情况，存在时由圆心到直线的距离等于弦心距求出斜率，再由点斜式写出直线方程即可. 【详解】由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， 直线被圆截得的弦长为8，∴弦心距， 若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意； 若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为， 所求直线的方程为， 圆心到所设直线的距离，解得：， 此时所求方程为，即， 综上，此弦所在直线的方程为或. 故选：AD 例题3．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于 ． 【答案】 【分析】先根据圆心到直线距离与弦长一半的平方和等于半径的平方，求出圆心到直线距离，再根据点到直线的距离公式即可得出结果。 【详解】解：由题知，圆的圆心为，半径为1， 因为，所以圆心到直线的距离， 因为直线，所以， 解得， 故答案为： 巩固训练 1．（2024高二·全国）过点作圆的弦，其中弦长为整数的条数为（    ） A．36 B．37 C．72 D．74 【答案】C 【分析】由圆的方程得到圆心和半径的值，易知点A在圆内，过A点最长的弦为直径 ，最短的弦为与直径垂直的弦，分别求出和的长度，即可确定出弦长为整数的条数. 【详解】    由圆的方程得到圆心，半径，，易知点A在圆内，过A点最长的弦为直径 ，最短的弦为与直径垂直的弦， 连接，在中，，，根据勾股定理，， 设过点A的弦长为，则内的整数共有37个，根据圆的对称性，长度在内且为整数的弦共有（条）. 故选：C. 2．（2024·四川成都·二模）已知直线与圆交于两点，则弦最短时，（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，当⊥时，最小，根据直线垂直与斜率的关系即可得到答案. 【详解】变形为，故直线过定点， 因为，则该定点在圆内， 而的圆心为，半径为，设圆心到该直线的距离为， 因为， 则当最大时，取得最小值，而当时，最大，即取得最小值， 因为，则. 故选：A 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 【答案】2 【分析】求出圆心及半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线l：的距离为， 所以弦长为. 故答案为：2. 题型十直线与圆的位置关系求距离最值 例题1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】思路一：引入参数，得，代入已知等式，结合方程有解即得判别式非负，由此即可得解；思路二：采用三角换元法，将所求式子最值转换为三角函数最值来做；思路三：引入参数，由圆心到直线的距离小于半径即可得解. 【详解】(解法1)令，则，代入原式化简得. 因为存在实数y，则，即，化简得，解得，故的最小值是. (解法2) ，整理得. 令，其中， 则. 因为，所以，则当，即时， 故的最小值是. (解法3)由，可得. 设， 则圆心到直线的距离，解得， 故的最小值是. 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·天津北辰·期末）已知直线，圆，表示函数的图象. (1)写出圆的圆心坐标； (2)求圆被直线截得的弦长； (3)若点P在圆上，点Q在N上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆的标准方程，即可求得圆心坐标； （2）根据题意，结合直线与圆的弦长公式，即可求解； （3）根据题意，先求得的最小值，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心坐标为. （2）解：由（1）知圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 又由圆的弦长公式，可得弦长为. （3）解：由圆心，设是函数图象上任意一点，则， 则， 当时，可得，所以的最小值.    巩固训练 1．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点到直线：的距离为，点在圆上运动，则其到直线的最短距离为，求解即可. 【详解】圆：的圆心， 所以点到直线：的距离为， 所以点在圆上运动，则其到直线的最短距离为：. 故选：A. 2．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知点P为圆上一动点，，，则点P到直线AB的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先得出圆心到直线的距离，以及圆的半径，由此结合即可求解. 【详解】显然点，在圆的外面， 而直线，即， 又圆的圆心、半径分别为， 所以圆心到直线的距离为， 设点P到直线AB的距离的为，则， 即点P到直线AB的距离的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入圆方程求解参数即可. （2）转化为点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则，解得， 圆的一般方程为， 即标准方程为. （2）设，则圆的圆心到直线的距离， 解得，的最大值为. 题型十一圆与圆的位置关系 例题1．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系. 【详解】圆：，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 故选：D 例题2．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围. 【详解】说明在以为直径的圆上， 而又在圆上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以，即，又，解得. 故选：B 例题3．（2024·陕西·模拟预测）圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可. 【详解】圆上总存在两个点到的距离为1， 转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交， 可得，即， 解得或，即a的取值范围是. 故答案为：. 巩固训练 1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 【答案】C 【分析】 首先由圆心到直线距离是列式求出的值，进而可得圆心的坐标以及圆的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 因为，解得或（舍去）， 从而，所以， 因为， 所以圆M与圆的位置关系是内含. 故选：C. 2．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若圆与圆外切，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据两圆外切的条件建立方程求解即可. 【详解】由圆与圆知， 圆心分别为，半径为1，， 因为两圆外切， 所以，解得. 故选：C 3．（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】ACD 【分析】由条件可求两圆的圆心与半径，由圆心距为，可得，求解可判断结论. 【详解】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得. 故选：ACD． 题型十二公共弦问题 例题1．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：D． 例题2．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减即可得解. 【详解】两圆相减可得， 经检验，该方程满足题意， 故公共弦所在直线的方程为. 故选：A. 例题3．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 巩固训练 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 2．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】判断两圆相交，再把两圆方程相减消去二次项即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，因此圆相交， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，即. 故答案为： 3．（23-24高二上·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】将两圆方程作差，消去、项，可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差可得，即. 因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 题型十三直线中的对称问题 例题1．（2024·青海海西·模拟预测）一条光线从点出发，经轴反射后，若反射光线被圆遮挡，则反射光线的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆相交，即可求解斜率的范围. 【详解】点关于轴的对称点为， 设反射光线的斜率为，直线方程为，整理为， 当反射光线与圆相交时，，解得， 可得反射光线的斜率的取值范围为， 故选：C． 例题2．（2024高二下·重庆·竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 . 【答案】 【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，由此可求出，即可得出答案. 【详解】注意点在圆上，且关于直线对称的点必然在圆上， 因为联立两圆方程解得：， 圆与圆仅有唯一公共点， 因此对称点只能是.因为，， 由余弦定理可得：， 所以，因此. 故答案为：. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    巩固训练 1．（2024·重庆·三模）已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】先求点关于轴的对称点，由反射光线性质知反射光线即为圆C的切线，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，由此即可求解. 【详解】点关于轴的对称点，由反射光线性质知， 反射光线即为过点作圆：的切线， 设切线的斜率为，则切线， 由得，解得或2. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 知识点03：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 知识点04：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 知识点05：直线的点斜式方程 （1）点斜式方程： （2）斜截式方程： （3）两点式方程： （4）截距式方程： （5）直线的一般式方程：定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方 程(其中,不同时为0，)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 知识点06：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点07：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点08：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 知识点09：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点10：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点11：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点12：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 知识点13：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 知识点14：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 03 题型归纳 题型一倾斜角与斜率　 例题1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 巩固训练 1．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线与线段相交关系求斜率取值范围　 例题1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 例题2．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 例题3．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若直线过定点，且与以为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 两条直线平行与垂直　 例题1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 例题3．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 巩固训练 1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 题型四 直线方程 例题1．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 例题2．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 例题3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 巩固训练 1．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 2．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 题型五 直线中的距离问题　 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 巩固训练 1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 2．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 题型六 圆的方程　 例题1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 例题3．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 巩固训练 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 题型七 直线与圆的位置关系　 例题1．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 例题2．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 巩固训练 1．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线，圆，则l与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 3．（23-24高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 题型八 直线与圆相切　 例题1．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 例题3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点的直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程． 巩固训练 1．（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 题型九 弦长问题　 例题1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 例题2．（多选）（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于 ． 巩固训练 1．（2024高二·全国）过点作圆的弦，其中弦长为整数的条数为（    ） A．36 B．37 C．72 D．74 2．（2024·四川成都·二模）已知直线与圆交于两点，则弦最短时，（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 题型十直线与圆的位置关系求距离最值 例题1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，则的最小值是 ． 例题3．（23-24高二上·天津北辰·期末）已知直线，圆，表示函数的图象. (1)写出圆的圆心坐标； (2)求圆被直线截得的弦长； (3)若点P在圆上，点Q在N上，求的最小值. 巩固训练 1．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知点P为圆上一动点，，，则点P到直线AB的距离的取值范围是 ． 3．（23-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 题型十一圆与圆的位置关系 例题1．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 例题2．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024·陕西·模拟预测）圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 巩固训练 1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 2．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若圆与圆外切，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 题型十二公共弦问题 例题1．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 巩固训练 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ． 3．（23-24高二上·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 题型十三直线中的对称问题 例题1．（2024·青海海西·模拟预测）一条光线从点出发，经轴反射后，若反射光线被圆遮挡，则反射光线的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二下·重庆·竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 . 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 巩固训练 1．（2024·重庆·三模）已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$