第28章 锐角三角函数知识点总结及思维导图 2023—2024学年人教版数学九年级下册

第28章 锐角三角函数 【思维导图】 28.1锐角三角函数 【知识点】 1.Rt△ABC中，∠C=90°. （1） ∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA= （2） ∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA= （3） ∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA= ∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数. 提示： sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理； 锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF. 2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位. 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值. 3.常用三角函数值： 锐角三角函数 锐角 α 30° 45° 60° sin α cos α tan α （1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小. （2）sin α=cos（90°-α） cos α=sin（90°-α） tan α·tan（90°-α）=1 （3）锐角A的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos2A+sin2A=1 sin2A+sin2（90°-α）=1 （5）tan A= 4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在. 5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α； 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 【知识点】 1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形. 2.在直角三角形中，三边之间的关系是a2+b2=c2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=，cosA=，tanA= 3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c，较简便的方法是用正弦求出BC，用余弦求出AC，也可用勾股定理求出AC，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B. 单元练习 一、选择题 1.已知∠α为锐角，且 则∠α=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.sin 60°的相反数是( ) A.- 3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( ) A． B． C． D． 4.如图，在 4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点 都在这些小正方形的顶点上，那么 sin∠ACB 的值为( ) C. D. 5.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与互为相反数,则∠C的度数是 ( ) A.45° B.75° C.105° D.120° 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝，则AC的长为( ) A．3 B．9 C．4 D．12 7.如图，在离铁塔 150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高 AD为1.5米,则铁塔的高 BC为( ) A.(1.5+150tanα)米 米 C.(1.5+150sinα)米 米 8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A的值为 ( ) A. 9.如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为( ) A. B． C． D． 10.如图，电线杆CD 的高度为h，两根拉线 AC与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B在同一条直线上)( ) D. h·cosα 11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=,则cos 75°的值为 ( ) A. C. 12.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题 13.在△ABC中, 则cos B=_______. 14.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______. 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为_________． 16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米. 17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点H,tan∠ABG=,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______. 18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________． 3、 解答题 19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠ABC=47°. (1)求车位锁的底盒 BC的长； (2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据： 20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图①所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图②所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF⊥AF,垂足为点F.(图②中所有点都在同一平面内,点A、E、F在同一水平线上) 　 (1)求索道AB的长(结果精确到1 m); (2)求AF的长(结果精确到1 m). (参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,≈1.41) 21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 学科网（北京）股份有限公司 $$